МАТЕМАТИКА

В сборнике представлены статьи участников Всероссийской заочной научно-практической конференции, посвящённые актуальным вопросам математического образования. В материалах сборника приведены результаты теоретических и прикладных исследований представителей научного и образовательного сообщества в данной области. Статьи представлены в авторской редакции. Сборник размещен в Российском индексе научного цитирования (РИНЦ). Предлагаемое издание представляет интерес для учителей-математиков образовательных учреждений, педагогов-математиков высшей школы и студентов педагогических вузов, обучающихся по направлению 44.03.01 Педагогическое образование профиль Математическое образование.

в статье рассматривается математическая модель, реализуемая в виде гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными. Установлены условия, достаточные для существования и непрерывности всех производных второго порядка у решения рассматриваемой математической модели

Научный журнал Российской академии наук. Посвящен проблемам российской математической науки. Публикует последние исследования в области алгебры и анализа, труды известных математиков, оригинальные статьи и краткие сообщения.

Первый в мире журнал по теории управления. Журнал РАН «Автоматика и телемеханика» публикует результаты исследований в области теории и практики автоматического управления, тематические обзоры, сообщения о научных конференциях, материалы научных дискуссий, рецензии на новые книги.

Современные компьютерные технологии позволяют находить все новые методы решения задач, связанных с представлением программ на основе теоретико-графовых алгоритмов. Широкое применение графов связано с тем, что они являются естественным средством объяснения сложных ситуаций на интуитивном уровне, что в настоящее время, очевидно, обусловливает возрастающий научный интерес к методам обработки графов.

Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач Единого государственного экзамена преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.

Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ и задач Единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.

На материале задачи поиска подстроки в строке, решению которой посвящены работы многих профессионалов за последние 20–30 лет, показано, как построить занятия по информатике, чтобы побудить школьника к творчеству, развить у него вкус к решению исследовательских проблем.

Книга, посвященная моделированию нервных систем, дает возможные ответы на следующие вопросы: как должна быть устроена нервная система с логически-рациональной точки зрения? можно ли воспроизвести путь «конструкторской мысли», который прошла Природа, конструируя нервные системы? что такое нейрон и как он работает? Рассмотрены способы построения адаптивных систем управления на основе эмпирических знаний, или систем динамической оптимизации. Представлены прототипы некоторых прикладных систем, построенных с использованием предложенного метода.

В книге речь идет о традиционных алгоритмах, которые кажутся очевидными, - об алгоритмах выполнения арифметических операций: о том, сколько тайного смысла и усилий интеллекта многих специалистов по информатике заложено в эти алгоритмы. Материал книги формирует содержательную основу деятельностного изучения алгоритмов компьютерной арифметики, чему способствует стиль изложения, синтезирующий в себе и математический материал, и формализованную запись логики работы компьютера.

Абстракция, абстрагирование — одна из составляющих мыслительного процесса творческой личности. Для развития этого компонента мышления в процессе обучения информатике есть дополнительные возможности, так как знание абстрактных типов данных, умение оперировать ими — необходимый элемент профессиональной культуры специалиста, связанного с разработкой программных комплексов.

Изучается подгруппа группы классов гомеоморфизмов компактной поверхности, порожденная скручиваниями Дэна вдоль семейства простых, замкнутых, попарно негомотопных кривых с некоторыми условиями. Доказано, что эта группа изоморфна свободной абелевой группе ранга k,гдеk — количество кривых семейства. В случае ориентируемой поверхности результат является классическим.

Изучаются асимптотические свойства стационарного распределения процессов обмена на двумерной решетке с фиксированными граничными условиями.

Одной из интересных задач спектральной теории операторов является изучение асимптотического поведения функции распределения при больших значениях спектрального параметра λ. Частным случаем этой задачи является изучение асимптотики собственных значений, собственных функций в зависимости от свойств коэффициентов дифференциального выражения и получение формул регуляризованного следа для соответствующих операторов. Для дифференциального оператора Штурма–Лиувилля, порожденного выражением –yʺ(x) + q(x)y(x) и самосопряженными краевыми условиями в пространстве L2[a, b], с непрерывно дифференцируемым потенциалом существенные результаты были получены И.М. Гельфандом, Б.М. Левитаном в 1953 году. Сравнительно недавно в работах А.А. Шкаликова, А.М. Савчука были впервые получены асимптотика собственных значений, собственных функций и формула регуляризованного следа для операторов Штурма–Лиувилля на конечном отрезке с сингулярными потенциалами, не являющимися локально интегрируемыми функциями, и краевыми условиями Дирихле. При этом применялось определение оператора Штурма–Лиувилля с потенциалом-распределением первого порядка как оператора, порожденного квазидифференциальным выражением второго порядка с локально суммируемыми коэффициентами, впервые рассмотренное в работах А.М. Савчука и А.А. Шкаликова. Такой подход позволил нам в данной работе исследовать асимптотическое поведение собственных значений и получить формулы регуляризованного следа первого порядка для операторов, порожденных выражением –yʺ(x) + hδ(x)y(x), где δ(x) – δ-функция Дирака, h ϵ R, и некоторыми самосопряженными краевыми условиями в пространстве L2[–1, 1], а именно условиями вида: i) y(–1) = y(1) = 0; ii) y[1](–1) = y[1](1) = 0; iii) y(–1) = y[1](1) = 0; iv) y(–1) = = y(1), y[1](–1) = y[1](1). Для нахождения асимптотики собственных значений указанных операторов найдены соответствующие трансцендентные уравнения. Дальнейший анализ полученных уравнений позволяет получить формулы регуляризованного следа первого порядка рассмотренных операторов.

Численное решение системы Нернста-Планка-Пуассона-Стокса около заряженной селективной поверхности показало появление когерентных структур, по форме напоминающих шипы. В этих структурах жидкость выталкивается из зоны пространственного заряда в электронейтральную область. В настоящей работе найдено автомодельное решение полной системы в окрестности кончика шипа. Угол раскрытия шипов в двумерном случае 110, 23 град, а в трехмерном случае 76, 78 град. Величины углов находятся в хорошем соответствии с численными экспериментами.

Изучаются числовые характеристики тождеств ассоциативных и неассоциативных алгебр. Анонсирован результат о том, что у ассоциативной PI-алгебры последовательность коразмерностей асимптотически возрастает и что для произвольных неассоциативных алгебр это неверно.

Для монотонных симметрических булевых функций рассмотрена асимптотика конъюнкторной сложности самокорректирующихся схем.

В связи с тем, что параметры инструментальных погрешностей бескарданной инерциальной навигационной системы меняются в процессе эксплуатации, возникает задача их оценки в полете с использованием информации от спутниковой навигационной системы. Для повышения обусловленности задачи оценки предлагаются специальные движения двух типов - эволюции, практически не нарушающие крейсерского режима самолета, и координированная "змейка". Приводятся результаты ковариационного анализа точности калибровки.

Изучается подгруппа группы классов гомеоморфизмов компактной поверхности, порожденная скручиваниями Дэна вдоль семейства простых, замкнутых, попарно негомотонных кривых с некоторыми условиями. Доказано, что эта группа изоморфна свободной абелевой группе ранга k, где k - количество кривых семейства. В случае ориентируемой поверхности результат является классическим.

Проведено сравнение на модельной задаче с сильной анизотропией алгебраического многоуровневого метода AMG и метода BICGSTAB+ILU. Метод AMG был использован в составе метода CPR для решения задачи фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде. Алгоритм CPR+AMG на данной задаче сравнивался с методом CPR+ILU. Проводился анализ работы CPR+AMG при решении задачи для модельного месторождения.

В статье исследуются свойства точек равновесия по Нэшу в зависимости от величины штрафов, налагаемых на предприятия, в известной игровой модели загрязнения атмосферы, рассмотренной ранее Л. А. Петросяном и В. В. Захаровым.

В статье исследован неявный метод разложения эрмитовых сплайнов 7-й степени на серию “ленивых” вейвлетов со смещенными носителями. Обосновано расщепление алгоритма вейвлет-преобразования на параллельное решение четырех пятидиагональных систем линейных уравнений со строгим диагональным преобладанием. Представлены результаты численных экспериментов по точности на многочленах и сжатию сплайн-вейвлет разложений.

Цель: разработать методику статистического анализа достоверности тестовой формы контроля знаний, отличающуюся от известных подходов наличием правила вычисления критериальных баллов теста по эмпирическим данным экзаменационных оценок. Методы: предложен вероятностно-статистический подход к проверке достоверности теста в виде методики последовательного выборочного анализа, позволяющей выносить суждения на заданном уровне значимости. Результаты: разработана методика оценки достоверности теста, включающая в себя корреляционный анализ результатов тестирования и экзаменационных оценок, проверку гипотезы о виде закона распределения результатов тестирования и построение правила вычисления критериальных баллов на основе эмпирических частот экзаменационных оценок. Практическая значимость: разработанная методика способствует научно обоснованному внедрению тестов в учебный процесс, показано ее успешное применение для оценки достоверности тестов по дисциплине -Методика пре подавания русского языка как иностранного (РКИ)*.

Предлагаемое пособие содержит конспективное изложение значительной части лекционного курса алгебры, соответствующего программе по направлению подготовки 010100.62 – математика. В нем отражены темы: системы линейных уравнений, векторные пространства, линейные операторы векторных пространств, Евклидовы пространства, матрицы и определители.

Для автоматизации проектирования автоматических систем регулирования при ограничениях на управляющие координаты, накладываемых исполнительными механизмами или регулирующими органами, сформирован алгоритм оптимизации параметров настройки регуляторов. Сопоставлено применение различных методов оптимизации при ограничениях и обосновано применение методов нелинейного программирования со штрафными функциями, что позволило свести задачу условного экстремума к последовательности задач на безусловный экстремум. Для ускорения сходимости процессов оптимизации применен градиентный метод нелинейного программирования с матрицей Гессе. В целях обеспечения беспоискового определения вектора-градиента использован анализ чувствительности. Эффективное функционирование алгоритма оптимизации проиллюстрировано примерами. Сходимость обеспечивается для различных начальных значений векторов параметров настройки. Результирующие процессы регулирования имеют высокие качественные показатели. Проведено исследование, вскрывшее зависимость показателей оптимальных процессов регулирования от различных уровней ограничений.

В статье приводится асимптотический анализ полей напряжений, деформаций и сплошности в окрестности вершины трещины в условиях ее усталостного роста в поврежденной среде в связанной постановке задачи, когда параметр сплошности инкорпорируется в определяющие уравнения материа- ла, базирующиеся на законе Гука для изотропного линейно упругого материала. Построено асимпто- тическое решение задачи, основанное на методе разложения по собственным функциям. Показано, что задача определения механических полей у вершины усталостной трещины сводится к нелинейной зада- че на собственные значения, аналитическое решение которой получено в работе. Показано, что метод искусственного малого параметра позволяет найти точное решение нелинейных задач на собственные значения в замкнутой форме.

В работе численно исследуется влияние случайных шумов на поведение траекторий странных ат- тракторов, задаваемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Возникающие при этом стохастические дифференциальные уравнения решаются обобщенным методом Эйлера. Приводятся ре- зультаты численных экспериментов, проведенных на кластере НКС–30Т Сибирского суперкомпьютер- ного центра при ИВМиМГ СО РАН, с использованием комплекса программ PARMONC. Для анализа численных решений используются частотные характеристики, обобщающие интегральную кривую и фа- зовый портрет.

В статье рассмотрено несколько автоматизированных приемов ускорения программ. Ускорение до- стигается за счет распараллеливания и оптимизации обращений к памяти. Оптимизация обращений к оперативной памяти достигается за счет перехода к блочному коду и блочным размещениям массивов. В случае распределенной памяти используются автоматизированные распределения массивов и распре- деления массивов с перекрытиями. Автоматизация реализуется с помощью прагм языка Си в Оптими- зирующей распараллеливающей системе. Приводятся результаты численных экспериментов для задач линейной алгебры и математической физики. Некоторые демонстрационные функции этого конвертора имеют удаленный доступ.

Изложены основы теории чисел и линейной алгебры. Теоретический материал приведен с доказательствами и иллюстрируется примерами. Даны расчетные задания и вопросы для проверки остаточных знаний по теме «Общая алгебра».

В методических указаниях на примере простых гидравлических систем представлена методология математического моделирования статических и динамических режимов теплоэнергетического оборудования. Приведен способ выбора оптимальных алгоритмов расчета, базирующийся на использовании стандартных вычислительных методов. Методология математического моделирования проиллюстрирована на примере конкретной гидравлической системы. По дисциплине «Моделирование гидрогазодинамических процессов» предполагается реализация динамической модели системы.

За 40 лет своей работы в Лос-Аламосской Национальной лаборатории математик Станислав Улам написал большое число лабораторных отчетов, обычно в соавторстве с коллегами. Некоторые из них остаются засекреченными по сей день. Остальные, будучи собранными в настоящий сборник, теперь впервые становятся доступными для математиков, физиков и историков науки. Замечательна актуальность этих работ. Они содержат основополагающие идеи в таких областях, как нелинейные стохастические процессы, параллельные вычисления, клеточные автоматы, математическая биология. Собрание этих работ представляет также исторический интерес. В период второй мировой войны и после нее сложность задач на передних рубежах науки далеко превосходила возможности существовавшей тогда техники. Еще предстояло создать электронные вычислительные машины и разработать новые методы расчета на основе наиболее абстрактных идей фундаментальной математики и теоретической физики. В решение этих и других задач физики, астрономии и биологии Улам сумел привнести как общие представления, так и конкретные концептуальные предложения. Его плодотворные идеи далеко опередили свое время и охватили многие области науки. Его математическая многосторонность может служить иллюстрацией к высказыванию его друга и наставника великого польского математика Стефана Банаха о том, что наиболее выдающиеся математики «умеют видеть аналогии между аналогиями». Отчеты Лос-Аламосской лаборатории, подготовленные к печати А.Р. Беднареком и Фр. Улам, представляют собой уникальную возможность познакомиться поближе с одним из выдающихся умов и пионеров науки двадцатого века.

Книга посвящена проблеме построения некоторых классов решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этой цели разработана процедура построения решений в виде рядов, которые аналогичны рядам, используемым в первом методе Ляпунова. Особое место в книге отведено асимптотическим решениям, стремящимся к положениям равновесия при неограниченном возрастании или убывании независимой переменной. При этом рассматривается так называемый сильно нелинейный случай, когда существование таких решений невозможно вывести, основываясь лишь на анализе системы первого приближения. Книга иллюстрируется большим количеством конкретных примеров, в которых наличие частных решений того или иного класса свидетельствует о некоторых особенностях динамического поведения системы.

Первый том монографии является математическим введением в методы решения современных научных задач физики, механики сплошной среды, техники. В доступной форме излагаются наиболее востребованные разделы математики: элементы теории аналитических функций комплексного переменного, некоторые аспекты математической физики, основы функционального анализа, теория регулярных интегральных, сингулярных и гиперсингулярных уравнений, а также некоторые их приложения к решению целого круга задач.

В трех известных очерках обсуждаются наиболее важные этапы жизни великого французского математика Анри Пуанкаре. В очерке Сажере, который вышел отдельной книгой в Казанском университете в 1913 г., жизнь ученого охвачена с позиции современника, который пытался оценить вклад Пуанкаре в мировую науку практически сразу после его смерти.

Книга Бриджмена является первой удачной попыткой упорядочить метод размерностей для представления его в такой форме, которая была бы доступна не только искушенному и опытному исследователю, но и начинающему научному работнику. Достоинство книги — в ее простоте, конкретности и увлекательности. Помимо оригинального, критического изложения теоретических основ метода, читателю предлагается большое число искусно подобранных несложных примеров. В новое издание вошла также нобелевская лекция П. Бриджмена, посвященная физике высоких энергий.

Книга является введением в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных уравнений и посвящена анализу нелинейных математических моделей и динамических систем на предмет их точного решения (интегрируемости). Предложены выводы нелинейных математических моделей, интенсивно изучаемых в последнее время. Представлены алгоритмы анализа особых точек решений дифференциальных уравнений. Обсуждаются свойства точно решаемых нелинейных уравнений. Дано обобщение аналитической теории на случай нелинейных уравнений в частных производных. Представлены методы нахождения аналитических решений нелинейных уравнений. Применение методов проиллюстрировано многочисленными примерами.

Учебное пособие включает в себя такие разделы курса «Алгебра и теория чисел», как элементарная теория чисел, теория сравнений, цепные и непрерывные дроби, p-адические числа. Предназначено для студентов института радиоэлектроники и информационных технологий – РТФ.

Кратко изложены теоретические основы статистической обработки экспериментальных данных, получаемых в практике медико-биологических исследований, рассмотрен подход к проектированию диагностических комплексов, основанный на создании приборных, аппаратно-программных средств и системы дешифрирования с учетом стохастических особенностей медико-биологических сигналов.

На данном диске представлена обучающая программа «Азы чтения», ориентированная на дошкольников разного возраста, и позволяющая родителям в кратчайшие сроки научить детей воспринимать буквы, слова и цифры в виде зрительных образов (картинок). Программа поддерживает интерактивный режим, построена в игровой форме, содержит познавательную информацию об окружающем мире, элементы мультипликации, а также специальную кнопку «Сюрприз», что обеспечивает интерес со стороны ребенка к процессу обучения. Предлагаемые приемы помогут научить детей читать, писать и считать, укрепить их память, снять напряжение с глаз, улучшить осанку, а также ускорить развитие образного мышления и интеллекта, что позволит хорошо подготовить ребенка к школе и обеспечить высокую успеваемость в первом классе.

В этой книге + CD-диске изложена новейшая методика обучению детей дошкольного возраста чтению и счёта. Данная методика помогает родителям, не имеющих элементарных навыков преподавания, научить ребёнка правильно читать и считать. Методическое пособие объясняет родителям особый порядок изучения букв и цифр, который необходим ребёнку для лучшего закрепления пройденного материала. Постепенно, овладевая новым способом чтения, ребёнок получает первоначальные навыки быстрого чтения и счёта, что улучшает его понимание и запоминание прочитанного материала. Новый способ чтения помогает ребёнку сохранять остроту своё зрение, преодолевать трудности при встрече с новыми, ранее незнакомыми словами. Ребёнок, получив начальные навыки быстрого чтения и счёта, решит главную школьную задачу - читать быстро и качественно, т.е. всё понимать и запоминать.

При моделировании кинетики химических реакций, расчете электронных схем и электрических сетей и других важных приложений возникает необходимость решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения таких задач применяются L-устойчивые численные схемы. В таких методах при большой размерности системы дифференциальных уравнений основные вычислительные затраты приходятся на декомпозицию матрицы Якоби. Сокращения затрат достигают замораживанием матрицы Якоби, т. е. применением одной матрицы на нескольких шагах интегрирования. Дополнительного сокращения затрат добиваются за счет применения алгоритмов интегрирования на неоднородных схемах. В состав таких алгоритмов включаются явные и L-устойчивые методы. Эти алгоритмы сами распознают, является задача жесткой или нет. Эффективная численная схема выбирается на каждом шаге по критерию устойчивости. Здесь разработан неоднородный алгоритм интегрирования на основе L-устойчивого и явных двухстадийных методов. Построено неравенство для контроля устойчивости схемы Рунге-Кутта второго порядка точности. На основе стадий этого метода предложена численная формула первого порядка с расширенным до 8 интервалом устойчивости. На основе L-устойчивой (2, 2) -схемы и численных формул типа Рунге-Кутта первого и второго порядков точности разработан алгоритм переменной структуры, в котором эффективный метод выбирается на каждом шаге по критерию устойчивости. При расчетах по L-устойчивому методу допускается замораживание матрицы Якоби, которая может вычисляться как аналитически, так и численно. Алгоритм предназначен для решения как жестких, так и нежестких задач. Приведены результаты расчетов, подтверждающие эффективность построенного алгоритма.

Рассматриваются абелевы подгруппы действительных унитреугольных групп третьего, четвертого и пятого порядков и изоморфные им группы кортежей длины 2, 3, 4 действительных чисел. На последних получены линейные пространства, альтернативные арифметическому пространству. Операции над векторами альтернативных пространств задаются нелинейными формулами. Группы автоморфизмов пространств одной размерности задаются нелинейными формулами различного вида. Все рассматриваемые линейные пространства являются подсибсонами. Определены сибсоны размерностей 3, 6, 10.

Исследуются системы управления объектами, которые могут работать в нескольких режимах, причем переход от одного режима к другому осуществляется автоматически без передачи информации в устройство управлениями. Каждый режим описывается своей системой дифференциальных или разностных уравнений. Получены достаточные условия одновременной стабилизации систем.

Рассматривается классический подход к аппроксимационным алгоритмам, даются примеры, иллюстрирующие основное определение данных алгоритмов. Рассматриваются полиномиально-временные аппроксимационные схемы и совершенные полиномиально-временные аппроксимационные схемы. В качестве примера приводится псевдометрический вариант задачи коммивояжера, для которого пока не разработаны эффективные алгоритмы, дающие оптимальное решение.

Показано, что если к каждому из неприводимых полных базисов добавить еще три неконгруентные булевы функции, зависящие не более чем от двух переменных, то в полученных базисах асимптотическая оценка ненадежности схем равна 2 [эпсилон] для почти всех функций.

Разработана постановка задачи, позволяющей формально оценить выполнимость планов мероприятий, реализуемых при управлении промышленным предприятием, построены математические модели и алгоритмы ее решения. Разработанное математическое обеспечение формирует методологическую основу для создания информационной системы, осуществляющей оперативную проверку выполнимости планов мероприятий, и дает возможность повысить эффективность планирования производственного процесса.

В работе рассматриваются модели процессов мониторинга распределенного программного проекта, построенные с привлечением алгебры процессов Робина Милнера, более известной как пи-исчисление. Для учета вычислений, возникающих при обработке информации, исходная алгебра расширена арифметикой над полем вещественных чисел.

Рассматривается задача определения характеристик систем массового обслуживания (СМО) GL/GI с бесконечной очередью и потерями. На данный момент не существует точных методов анализа таких систем. В работе на основе двумерной диффузионной аппроксимации фундаментальных процессов поступления и ухода заявок получены аналитические выражения для определения основных характеристик таких СМО на уровне средних значений и дисперсий распределений времен поступления и обслуживания.

Рассматриваются вопросы асинхронного моделирования NCES-сетей с помощью формализма, основанного на сетях Петри. Приводятся правила трансформации NCES-сетей в асинхронную модель. Предложенный метод демонстрируется на примере. Асинхронное моделирование рассматривается как шаг к формальной верификации NCES-сетей с помощью метода Model Checking.

Предлагается программа для моделирования и анализа рассуждений.