Министерство образования и науки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет» Л. В. Веселова, О. Е. Тихонов АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Учебное пособие ISBN 978-5-7882-1636-2 © Веселова Л.В., Тихонов О.Е., 2014 © Казанский национальный исследовательский технологический университет, 2014 УДК 51(075.8) Веселова Л.В. <...> Алгебра и теория чисел: учебное пособие / Л.В. Веселова, О.Е. Тихонов; М-во образ. и науки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. <...> Даны расчетные задания и вопросы для проверки остаточных знаний по теме «Общая алгебра». <...> Простые числа и основная теорема арифметики . <...> Системы линейных сравнений и решение диофантовых уравнений . <...> Поле комплексных чисел как простое расширение поля действительных чисел . <...> Евклидово пространство над полем вещественных чисел . <...> Общая алгебра является скелетом, на котором держится вся математика в целом, связующим звеном между различными математическими дисциплинами. <...> Часть линейной алгебры рассматривается над произвольными полями и лишь евклидово пространство – только над полем действительных чисел. <...> В пособии приведены вопросы по проверке остаточных знаний студентов по теме общая и линейная алгебра. <...> Так естественным образом возникла операция сложения натуральных чисел, кстати, обладающая некоторыми очень хорошими свойствами: 1) a+b=b+a – коммутативность, 5 2) a+(b+c)=(a+b)+c – ассоциативность. <...> Таким образом в противовес операции сложения возникла операция вычитания. <...> При этом отрицательное число –a можно рассматривать как обратный элемент к положительному a: a +(–a)=0. <...> Однако, обратный элемент по умножению к целому числу не является целым числом, что ведет нас к введению новых чисел – рациональных дробей. <...> Множество целых чисел является коммутативной группой по сложению, но не является группой по умножению, опять-таки потому, что не выполнено свойство 4 <...>
Алгебра_и_теория_чисел.pdf
УДК 51(075.8)
Веселова Л.В.
Алгебра и теория чисел: учебное пособие / Л.В. Веселова, О.Е. Тихонов;
М-во образ. и науки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во
КНИТУ, 2014.
ISBN 978-5-7882-1636-2
Изложены основы теории чисел и линейной алгебры. Теоретический материал
приведен с доказательствами и иллюстрируется примерами. Даны
расчетные задания и вопросы для проверки остаточных знаний по теме «Общая
алгебра».
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности «Математическое
обеспечение и администрирование информационных систем».
Издается по решению редакционно-издательсткого совета Казанского национального
исследовательского технологического университета.
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент каф. алгебры
и матем. логики К(П)ФУ Ю.А. Альпин,
д-р физ.-мат. наук, проф. каф. вычисл. матем.
К(П)ФУ, член-кор. АН РТ И.Б. Бадриев
Текстовое электронное издание
Минимальные системные требования:
• Windows: процессор Intel 1,3 Гц или аналогичный;
Microsoft Windows XP Service Pack 2
128 МБ оперативной памяти
• MacOS: процессор PowerPC G4 или Intel
MacOS X 10.5
128 МБ оперативной памяти
• Linux: 32-разрядный процессор Intel Pentium или аналогичный
SUSE Linux Enterprise Desktop 10 или Ubuntu 7.10; GNOME или KDE Desktop
Enviroment
Ответственный за выпуск О.М. Дегтерева
Подписано к использованию 15.10.2014
Объем издания 2,66 Мб «С» 132
Издательство Казанского национального исследовательского
технологического университета
420015, Казань, К.Маркса, 68
2
Стр.2
Оглавление
Введение ................................................................................................... 4
§ 1. Основные алгебраические структуры ............................................... 5
§ 2. Теория делимости ............................................................................... 9
§ 3. Простые числа и основная теорема арифметики ........................... 13
§ 4. Теория сравнений ............................................................................. 19
§ 5. Решение линейных сравнений ................................................... 23
§ 6. Системы линейных сравнений и решение диофантовых
уравнений .............. ................................................................................. 26
§ 7. Поле комплексных чисел как простое расширение
поля действительных чисел .................................................................. 28
§ 8. Кольцо многочленов над произвольным полем ............................ 34
§ 9. Неприводимые многочлены. Корни многочленов над
полем P .... ................................................................................................ 38
§ 10. Определители и их свойства .......................................................... 44
§ 11. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы ............................ 47
§ 12. Системы линейных уравнений ...................................................... 53
§ 13. Векторное пространство. Базис и размерность ........................... 58
§ 14. Евклидово пространство над полем вещественных чисел ......... 65
§ 15. Линейные операторы в евклидовом пространстве ...................... 69
§ 16. Спектральная теорема для самосопряженного оператора .......... 73
§ 17. Билинейные и квадратичные формы на конечномерном
евклидовом пространстве......................................................................76
§ 18. Квадратичные формы и скалярное произведение ....................... 81
§ 19. Приложение теории чисел к криптографии .................................83
19.1. Криптосистема без передачи ключей ...........................................83
19.2. Криптосистема с открытым ключом............................................. 85
19.3. Надежность системы ......................................................................87
§ 20. Электронная подпись .....................................................................88
Расчетное задание № 1 по теме «Линейные сравнения» .....................91
Расчетное задание № 2 по линейной алгебре ....................................... 96
Вопросы к проверке остаточных знаний по курсу общей
и линейной алгебры ..............................................................................104
Литература ..............................................................................................107
3
Стр.3