УДК 372.851
ББК 74.262.21я72
Г68
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Межрегионального центра инновационных технологий в образовании
Книга входит в серию учебных и учебно-методических пособий
«Из опыта работы Лицея № 21 г. Кирова. Математика»
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор А. С. Махнев;
доктор педагогических наук, профессор Г. Н. Некрасова;
кандидат педагогических наук, доцент Н. А. Зеленина;
учитель математики высшей квалификационной категории,
заслуженный учитель Российской Федерации Н. А. Баранова
Горев П. М., Утёмов В. В.
Г68 Уроки развивающей математики. 5–6 классы: Задачи математического
кружка: Учебное пособие. – Киров: Изд-во МЦИТО, 2014. – 207 с.
ISBN 978-5-906642-03-5
Учебное пособие представляет собой сборник задач и материалов для проведения
дополнительных занятий по математике в 5–6-х классах общеобразовательной
школы. В нём содержатся подборки задач как для занятий кружка по математике,
так и для самостоятельной работы учащихся во внеурочное время.
Книга предназначена в первую очередь для учеников 5–6-х классов, желающих
повысить уровень своих знаний по математике, привить себе стойкий интерес к
предмету, приобщиться к опыту творческой деятельности, направленной на оригинальное,
сильное мышление.
Пособие может быть интересно также учителям математики, студентам педагогических
направлений подготовки и всем тем, кто находится в творческом поиске
новых возможностей педагогической деятельности в области математики.
УДК 372.851
ББК 74.262.21я72
ISBN 978-5-906642-03-5 © АНО ДПО «Межрегиональный центр инновационных
технологий в образовании», 2014
© Горев П. М., Утёмов В. В., 2014
2
Стр.2
Предисловие для учеников,
желающих знать больше о математике
Дорогой друг! У тебя в руках книга, которую мы назвали
«Уроки развивающей математики: Задачи математического
кружка». Это учебная книга, хотя она и не похожа на привычный
тебе учебник по математике.
Мы написали её для тех ребят, которые с увлечением занимаются
математикой. Если ты считаешь себя таковым – это
книга для тебя! В ней ты найдёшь огромное количество математических
задач, которые принято называть «нестандартными»,
игр, головоломок и других многочисленных занимательных
материалов по математике.
Но обо всём по порядку.
В первой части книги содержится тридцать серий, каждая
из которых состоит из шести задач. Среди этих заданий ты
обязательно найдёшь задачу, решаемую арифметическим способом,
задачи логического и комбинаторного1 характера, задачу,
связанную с геометрическими фигурами, и задачу на
смекалку. Решение этих задач позволит тебе всесторонне развить
твои математические способности.
Вторая часть посвящена отдельным идеям и методам математики,
представленным в виде подборок задач на определённую
тему. Решая эти задачи, важно запоминать не ход их
решения, а ту общую идею, которая в них заложена. Большинство
заданий этой части относятся к олимпиадным математическим
задачам, которые могут встретиться тебе на соревнованиях
различных уровней.
В третьей части собраны задачи, позволяющие тебе проявить
смекалку и сообразительность. В таких упражнениях
требуется не только догадка, но и крепкая логика – один из
главных атрибутов мышления настоящего математика.
1 Комбинаторика – раздел математики, связанный с изучением количества комбинаций,
подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного
конечного множества.
3
Стр.3
Математические экперименты, описанные в четвёртой части
книги в форме последовательных заданий, позволят тебе
понять, что математика не оторвана от жизни, она встречается
в ней на каждом шагу.
Наши художники специально для тебя в пятой части
книги представили наиболее интересные задачи в форме серий
рисунков. Полагаем, что такие задачи решать тебе будет
ещё более интересно.
Шестая часть вобрала в себя многочисленные задачи, которые
можно встретить в сборниках головоломок. Это специальные
задания, позволяющие развить сильное мышление
при их самостоятельном выполнении. Мы полагаем, что эта
часть книги предназначена для домашней работы.
Изготовив головоломки, описание которых содержится в
седьмой части книги, и выполнив задания с ними, ты окунёшься
в мир необычной математики, требующей ко всему
прочему развитого воображения и фантазии.
Восьмая часть содержит разнообразные занимательные
материалы: правила математических игр и интересные математические
находки. Это лишь то немногое, что можно в полной
мере почерпнуть из тех книг, список которых представлен
в конце нашего учебного пособия.
Особое значение имеет девятая часть книги. В ней собраны
задачи открытого типа – специальные задания, ответы
на которые могут быть неоднозначными. Здесь нет единственно
правильного ответа: решение либо подходит к условию
задачи, либо нет. Для решения таких задач нужны смекалка,
воображение, логика и фантазия.
Полагаем, что это учебное пособие будет полезным для
твоего всестороннего математического развития и станет отправной
точкой в нелёгком пути к покорению вершин математического
знания. Дерзай! Творческих успехов тебе!
Твои авторы
4
Стр.4
Оглавление
Предисловие для учеников,
желающих знать больше о математике ....................................................... 3
Часть первая.
Тридцать серий развивающих задач ............................................................ 5
Первая серия задач .......................................................................................................... 7
Вторая серия задач .......................................................................................................... 8
Третья серия задач .......................................................................................................... 9
Четвёртая серия задач ................................................................................................ 10
Пятая серия задач .......................................................................................................... 11
Шестая серия задач ...................................................................................................... 12
Седьмая серия задач .................................................................................................... 13
Восьмая серия задач .................................................................................................... 14
Девятая серия задач ..................................................................................................... 15
Десятая серия задач ..................................................................................................... 16
Одиннадцатая серия задач ....................................................................................... 17
Двенадцатая серия задач .......................................................................................... 18
Тринадцатая серия задач .......................................................................................... 19
Четырнадцатая серия задач .................................................................................... 20
Пятнадцатая серия задач .......................................................................................... 21
Шестнадцатая серия задач ....................................................................................... 22
Семнадцатая серия задач .......................................................................................... 23
Восемнадцатая серия задач ..................................................................................... 24
Девятнадцатая серия задач ..................................................................................... 25
Двадцатая серия задач................................................................................................ 26
Двадцать первая серия задач .................................................................................. 27
Двадцать вторая серия задач .................................................................................. 28
Двадцать третья серия задач .................................................................................. 29
Двадцать четвёртая серия задач .......................................................................... 30
Двадцать пятая серия задач .................................................................................... 31
Двадцать шестая серия задач ................................................................................. 32
Двадцать седьмая серия задач ............................................................................... 33
Двадцать восьмая серия задач ............................................................................... 34
Двадцать девятая серия задач ............................................................................... 35
Тридцатая серия задач ............................................................................................... 36
Часть вторая.
Идеи и методы математики в задачах ....................................................... 37
Разберём все варианты .............................................................................................. 39
«Табличная» логика ..................................................................................................... 40
Эффект «плюс-минус один» ..................................................................................... 42
200
Стр.200
Запутанные истории .................................................................................................... 44
Анализ задачи с конца ................................................................................................ 46
Переливания .................................................................................................................... 48
Правила комбинаторики ........................................................................................... 49
Круги Эйлера .................................................................................................................... 52
Игровые ситуации ......................................................................................................... 54
Метод «от противного» .............................................................................................. 56
Разумный перебор ........................................................................................................ 57
Остров рыцарей и лжецов ........................................................................................ 59
Чётность.............................................................................................................................. 60
Подсчёт двумя способами ......................................................................................... 62
Принцип крайнего ........................................................................................................ 64
Чашечные весы ............................................................................................................... 67
Оценка плюс пример .................................................................................................... 69
Принцип Дирихле .......................................................................................................... 71
Инвариант .......................................................................................................................... 72
Раскраски ........................................................................................................................... 74
Часть третья.
Задачи на логику, смекалку и сообразительность ............................... 77
Железная логика! .......................................................................................................... 79
Трудно не догадаться! ................................................................................................ 80
Задачи на сообразительность ................................................................................ 81
А ну-ка, смекни! .............................................................................................................. 82
Найди закономерность ............................................................................................... 83
Разные задачи на сообразительность ............................................................... 84
Задачи-шутки .................................................................................................................. 85
Мастерская озарения ................................................................................................... 86
Простые вопросы ........................................................................................................... 87
И снова разные задачи ................................................................................................ 88
Часть четвёртая.
Математические эксперименты ................................................................... 89
Эксперименты с полоской бумаги ....................................................................... 91
Площади клетчатых фигур ...................................................................................... 92
Невозможные объекты .............................................................................................. 94
Кривые дракона ............................................................................................................. 96
Не отрывая карандаша ............................................................................................... 98
Голодная коза ................................................................................................................ 100
Часть пятая.
Десять задач в рисунках ................................................................................. 101
Завтрак Винни-Пуха ..............................................................................................103
Гуси-лебеди ................................................................................................................ 103
Кто же всегда говорит правду? ....................................................................... 104
201
Стр.201
Задача туриста ......................................................................................................... 104
Иван-царевич и Змей Горыныч ...................................................................... 105
Емелина работа ........................................................................................................ 105
Крестьянин и чёрт ................................................................................................. 106
Дед Мороз и Снегурочка ..................................................................................... 106
Насреддин и арбузы .............................................................................................. 107
Русские богатыри ................................................................................................... 107
Часть шестая.
Увлекательные задания для развития сильного мышления ....... 109
Дома и калитки ............................................................................................................. 111
Где пройдут провода? ............................................................................................... 111
Раскачивающийся медвежонок коала ............................................................. 111
Японская поговорка ................................................................................................... 112
Кошки и собаки ............................................................................................................. 112
Разъезд паровозов ...................................................................................................... 113
Пара лабиринтов .......................................................................................................... 113
Фигурный рак ................................................................................................................ 114
Лабиринт Дедала ......................................................................................................... 114
Продолжи цепочку ...................................................................................................... 114
Пропавшая звезда ....................................................................................................... 115
Шнуровка тапочек ...................................................................................................... 115
Три кольца ....................................................................................................................... 115
Беседка Розамунды..................................................................................................... 116
Взломай код .................................................................................................................... 116
Детективная история ................................................................................................ 117
Непослушный глобус ................................................................................................. 118
Кто из них левша? ....................................................................................................... 118
Четыре стакана ............................................................................................................. 118
Подопытная крыса ...................................................................................................... 119
Лабиринт из кубиков ................................................................................................ 119
Сколько? ............................................................................................................................ 120
Урок каллиграфии ...................................................................................................... 120
Два цветка ........................................................................................................................ 121
Как освободить вишни? ........................................................................................... 121
Пример с фигурами .................................................................................................... 121
Сколько весит деталь? .............................................................................................. 122
Лишняя рыбка ............................................................................................................... 122
Сообразительные сыщики ..................................................................................... 122
Так говорил Демокрит .............................................................................................. 123
В зоопарке ........................................................................................................................ 123
Неразрывная цепочка ............................................................................................... 123
Разноцветный квадрат ............................................................................................. 124
Сколько узлов? .............................................................................................................. 124
202
Стр.202
Прогулка по городу .................................................................................................... 124
Отдели коз от капусты ............................................................................................. 125
Сколько кубиков .......................................................................................................... 125
Какой ящик тяжелее? ................................................................................................ 125
Оригинальный календарь ...................................................................................... 125
Ещё один лабиринт из кубиков ........................................................................... 126
Сколько белых клеток? ............................................................................................ 126
Найди одинаковые фигуры ................................................................................... 127
Лабиринт с числами ................................................................................................... 127
Костяшки домино ........................................................................................................ 127
Волшебные кубики ..................................................................................................... 128
Задача про заключённых ........................................................................................ 128
Президентская головоломка ................................................................................. 129
И снова лабиринт ........................................................................................................ 129
Охлаждение теплового двигателя ..................................................................... 130
Фальшивые монеты ................................................................................................... 130
Задание для робота .................................................................................................... 131
Мечта пирата .................................................................................................................. 131
В сумме – тысяча .......................................................................................................... 132
Квадратные суммы ..................................................................................................... 132
Разные фигуры.............................................................................................................. 132
Что здесь написано? ................................................................................................... 133
Сцепленные кольца .................................................................................................... 133
Сумасшедшие мухи ..................................................................................................... 133
По какому плану? ......................................................................................................... 134
Попробуй отыскать .................................................................................................... 134
Как пройти? .................................................................................................................... 134
Загадочный алфавит ................................................................................................. 135
Отпечатки стакана ...................................................................................................... 135
Загадочный талисман ............................................................................................... 135
Набор карточек ............................................................................................................. 136
Часть седьмая.
Головоломки своими руками ....................................................................... 137
Танграм ............................................................................................................................. 139
Топологическая головоломка .............................................................................. 140
Колумбово яйцо ............................................................................................................ 140
Квадрат .............................................................................................................................. 141
Монгольская игра ........................................................................................................ 142
Колючки ............................................................................................................................ 142
Пентамино ....................................................................................................................... 143
Часть восьмая.
Занимательные материалы для внеклассной работы ..................... 145
Математико (итальянская игра)......................................................................... 147
203
Стр.203
Фотограф .......................................................................................................................... 148
Таблица умножения на пальцах .......................................................................... 148
Очередь к зубному ...................................................................................................... 149
Математический кроссворд................................................................................... 150
В лунопарке .................................................................................................................... 150
Арифметический лабиринт ................................................................................... 151
Досчитай до 82 .............................................................................................................. 151
Индеец................................................................................................................................ 152
Точки .................................................................................................................................. 152
Археологи ......................................................................................................................... 153
Восточный способ умножения ............................................................................. 153
Русская изба ................................................................................................................... 154
Математические слова ............................................................................................. 155
Робот ................................................................................................................................... 155
Быки и коровы .............................................................................................................. 156
Алхимик ............................................................................................................................ 156
Три приёма быстрого счёта ................................................................................... 157
Топологическая игра ................................................................................................. 157
Весёлый автобус .......................................................................................................... 158
Куда девался воин? ..................................................................................................... 159
Фокус «Кто что взял?» .............................................................................................. 159
Счастливый человек .................................................................................................. 161
Числобус ........................................................................................................................... 161
Меандр ............................................................................................................................... 162
В троллейбусе ................................................................................................................ 162
Считай, не сбейся! ........................................................................................................ 163
Гонки .................................................................................................................................. 163
Рыбак .................................................................................................................................. 164
Флексагон ........................................................................................................................ 164
Цифровые стихи ........................................................................................................... 165
Дедушка Джамбей ....................................................................................................... 167
Две лисы и двадцать кур ......................................................................................... 167
Слабое звено ................................................................................................................... 168
Часть девятая.
Творческие задания математического
и лингвистического характера ................................................................... 169
Упражнения с карточками ..................................................................................... 171
Больше, чем кажется! ............................................................................................... 171
Числа спрятались ........................................................................................................ 171
Всего три цифры .......................................................................................................... 171
Новый взгляд на цифры .......................................................................................... 171
Квадратные дырки ..................................................................................................... 172
Эй, фигуры, стройся в ряд! ..................................................................................... 172
204
Стр.204
Числа не для счёта ...................................................................................................... 172
Время и шнурки ............................................................................................................ 172
Развёртка куба .............................................................................................................. 173
Злой волшебник Местамименяйка.................................................................... 173
Счёт без чисел ............................................................................................................... 173
Катящийся карандаш ................................................................................................ 174
О пицце .............................................................................................................................. 174
Крепкая дружба ............................................................................................................ 174
Неизвестный язык ..................................................................................................... 174
Жидкость в километрах........................................................................................... 175
Шифрулька ...................................................................................................................... 175
История арифметики ................................................................................................ 175
Ровный, как шар ........................................................................................................... 176
Вытянутая точка .......................................................................................................... 176
Египетская пирамида ................................................................................................ 176
Короткий кран .............................................................................................................. 176
Весы из котелка ............................................................................................................ 177
Проблемная операция ............................................................................................. 177
Язык камушков ............................................................................................................. 177
Цифробуквопутаница .............................................................................................. 178
Куб из соломинок ........................................................................................................ 178
Проделки волшебника .............................................................................................. 178
Круги на воде ................................................................................................................. 179
Гласные сбежали .......................................................................................................... 179
Буквенная арифметика ............................................................................................ 179
Слова в клеточках ........................................................................................................ 179
Из мухи сделали слона… .......................................................................................... 180
Арифметическая грамматика ............................................................................... 180
Кругозвучие .................................................................................................................... 180
Огромное дерево .......................................................................................................... 180
Китайская азбука Морзе .......................................................................................... 181
Проблема паучка .......................................................................................................... 181
Самый-самый ................................................................................................................. 181
Примеры изменений ................................................................................................. 181
Герда спасает Кая ........................................................................................................ 181
Огромная киска в маленькой миске ................................................................. 182
И быстро, и медленно ................................................................................................ 182
Эффект бумеранга .......................................................................................................182
Необычные часы .......................................................................................................... 182
Кубические овощи и фрукты ................................................................................ 182
Потеря измерения ....................................................................................................... 183
Числа без цифр .............................................................................................................. 183
Искажения без разрыва ........................................................................................... 183
Скорость роста баобаба ............................................................................................ 183
205
Стр.205
Не расцепляя рук ......................................................................................................... 183
Считаем ворон ...............................................................................................................184
Нулевой посёлок .......................................................................................................... 184
Полёт мухи....................................................................................................................... 184
Ручеёк из светлячков ................................................................................................ 185
Древние цифры ............................................................................................................. 185
Почти пи ........................................................................................................................... 185
Видимый звук ................................................................................................................ 186
Давненько не было дождя! ..................................................................................... 186
Солнечная проекция .................................................................................................. 186
Измерим информацию ............................................................................................. 186
Хватаем точки ................................................................................................................ 187
Вращающийся круг ..................................................................................................... 187
Плавкие колёса ............................................................................................................. 187
Площадь страны ........................................................................................................... 188
Сложное сложение ...................................................................................................... 188
Бумажная трубочка .................................................................................................... 188
Грибные весы ................................................................................................................. 188
Число волос ..................................................................................................................... 188
Цифровая последовательность ........................................................................... 189
Несуществующий размер ........................................................................................ 189
Несколько слов о кружках по математике ............................................ 190
Библиографический список ......................................................................... 194
206
Стр.206