Вероятность события и ее вычисление по классической схеме.............9
§ 3. <...> Однако если такие явления носят массовый характер (токарная обработка деталей происходит непрерывно), то существуют общие закономерности распределения их исходов,
которые не зависят от конкретного исхода. <...> Так, при бросании игральной кости будет 6 исходов – выпадение
какого - нибудь очка. <...> Каждый исход опыта представляет собой элементарное событие. <...> Несколько событий называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает
возможность появления любого из остальных в том же опыте. <...> События А1, А2, ,Аn образуют полную
группу событий, если в результате данного опыта обязательно должно
произойти хотя бы одно из них. <...> Если полная группа событий состоит из двух несовместных событий, то эти события называют противоположными. <...> а) опыт «бросание монеты», событие: А – появление герба,
В
– появление цифры; <...> б) опыт «бросание двух монет», событие: А – появление двух
гербов, В – появление двух цифр, С – появление герба и цифры; <...> а) опыт «бросание монеты»; событие А – появление герба на монете, событие В – появление цифры;
6 <...> б) опыт «бросание двух монет»; событие А – появление герба на
первой монете, В – появление цифры на второй монете; <...> б) опыт «бросание двух монет»; событие: А – появление двух
гербов; В – появление двух цифр; <...> Рассматриваются события:
А1 – остановка первого станка;
А2 – остановка второго станка;
А3 – остановка третьего станка;
А1 – первый станок работает;
А 2 – второй станок работает;
А 3 – третий станок работает. <...> Записать события:
А – остановка трёх станков;
В – остановка двух станков;
С – остановка хотя бы одного станка;
Д – остановка не менее двух станков. <...> Рассматриваются следующие события:
А – появление герба на первой монете;
В – появление цифры на первой монете;
С – появление герба на второй монете;
Д – появление цифры на второй монете;
Е – появление хотя бы одного герба;
F – появление хотя бы одной цифры;
G <...>
Теория_вероятностей_в_примерах_и_задачах.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА"
УДК 519.2 (075)
ББК 22.171
Б 432
Рецензенты: д-р техн. наук, зав. кафедрой математических методов
в экономике СГАУ Б.А. Горлач;
д-р физ.-мат. наук, заведующий кафедрой высшей
математики ПГАТИ И.А. Блатов
Беликова Н.А.
Б 432 Теория вероятностей в примерах и задачах: учеб. пособие /
Н.А. Беликова, О.Г. Савельева. – Самара: Изд-во СГАУ, 2008. – 112 с.
Н.А. Беликова, О.Г. Савельева
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ПРИМЕРАХ
И ЗАДАЧАХ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве методических указаний к практическим занятиям
ISBN 978-5-7883-0580-6
Учебное пособие представляет собой систематизированную
подборку задач и упражнений по теории вероятностей. Все задачи
снабжены ответами, а большинство и решениями. Задачи, помещённые
в приложении, предназначены для составления индивидуальных
заданий и контрольных работ. В начале каждой главы приведена
сводка основных теоретических положений и формул, необходимых
для решения задач.
Пособие выполнено на кафедре высшей математики СГАУ и
предназначено в помощь студентам, осваивающим вероятностные
методы для решения практических задач.
УДК 519.2 (075)
ББК 22.171
ISBN 978-5-7883-0580-6
САМАРА
Издательство СГАУ
2008
2
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2008
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Введение.......................................................................................................4
§ 1. Понятие события. Алгебраические операции
над событиями.............................................................................................5
§ 2. Вероятность события и ее вычисление по классической схеме.............9
§ 3. Элементы комбинаторного анализа и его применение
к непосредственному подсчету вероятностей........................................13
§ 4. Статистические вероятности....................................................................20
§ 5. Геометрические вероятности...................................................................22
§ 6. Формулы сложения и умножения вероятностей....................................28
§ 7. Формула полной вероятности и формула Бейеса..................................37
§ 8. Повторение опытов...................................................................................44
§ 9. Случайные величины. Законы распределения.Числовые
характеристики случайных величин.......................................................50
§ 10. Некоторые типичные законы распределения случайных величин......67
§ 11. Центральная предельная теорема............................................................79
§ 12. Закон больших чисел................................................................................84
Библиографический список....................................................................108
Приложение.............................................................................................109
На результаты, исходы различных процессов, явлений в природе
и технике влияют многочисленные факторы и причины, которые невозможно
учесть и даже выявить. Например, движение молекулы вещества
обуславливается влиянием на нее других многочисленных
частиц или отклонение размера поверхности обрабатываемой на токарном
станке от заданного номинала зависит от погрешностей установки
детали в приспособлении, погрешности закрепления приспособления,
качества заточки инструмента и т.д. Вследствие этого исходы
таких явлений точно определить невозможно, сами явления и их
исходы называют случайными. Однако если такие явления носят массовый
характер (токарная обработка деталей происходит непрерывно),
то существуют общие закономерности распределения их исходов,
которые не зависят от конкретного исхода. Данные закономерности и
изучает математическая наука – теория вероятностей.
Данная наука возникла в середине восемнадцатого века, ее основные
понятия были установлены выдающимися математиками
прошлого Паскалем, Ферма, Бернулли и др. В конце ХIХ столетия
работы в основном русских математиков Чебышева, Маркова, Ляпунова
позволили применить теорию вероятностей к решению практических
задач в страховании, демографии, статистике. После установления
связи между вероятностью и понятием меры, а также связи между
теорией вероятностей и метрической теорией функций Колмогоровым,
Хинчиным и другими русскими математиками в 30 годах ХХ
столетия сказалось возможным разработать теорию стохастических
(вероятностных, случайных) процессов. После этого теория вероятностей
стала одним из главных методов исследования задач естествознания
(физики, химии и др.), экономики и технологических процессов
машиностроения. На основе теории вероятностей разработана
теория надежности деталей и узлов машин, определяется качество
технологического процесса обработки деталей, рассчитываются допуски
и припуски.
3
4
Стр.2
§1. Понятие события. Алгебраические операции над событиями
Основным понятием теории вероятности является событие. Под
событием подразумевается всякий факт, который может произойти
или не произойти в результате опыта.
Событие называется достоверным, если оно в данном опыте не
может не произойти. Событие называется невозможным, если оно в
данном опыте не может произойти. Событие называется случайным,
если оно может произойти в данном опыте, а может и не произойти.
Например, в реакции разложения воды событие, что при этом
выделится кислород, будет достоверным, а событие, что будет выделяться
хлор, невозможным. Событие, что в этой реакции образуется
озон, будет случайным.
Результат осуществления опыта называют его исходом. Опыт
может иметь конечную или бесконечную последовательность исходов
(w1, w2,…wn), случайное событие А может происходить в каких-то m
исходов (m
Стр.3