В нем отражены темы: системы линейных уравнений, векторные пространства, линейные операторы векторных пространств, Евклидовы пространства, матрицы и определители. <...> 7 1.3 Приведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду . <...> . 40 5.4 Матрица перехода от базиса к базису . <...> 63 7.5 Cобственные векторы и значения линейного оператора . <...> Набор действительных чисел c1,c2,.,cn называется решением уравнения (1), если, полагая x1 = c1,x2 = c2,., xn = cn можно обратить уравнение (1) в верное числовое равенство. <...> 1.2 Элементарные преобразования систем линейных уравнений Определение 1.2.1. <...> Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие действия: 1) перестановка двух уравнений в системе; 2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на действительное число; 3) умножение всех коэффициентов и свободного члена уравнения на действительное число, отличное от нуля. <...> Для доказательства обратного утверждения нужно от верных числовых равенств (5) перейти к равенствам (4), прибавив к первому равенству набора (5) второе равенство, умноженное на число (−c). <...> 9 1.3 Приведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду С помощью указанных выше трех элементарных преобразований и перенумерации переменных можно преобразовыватьсистемы линейных уравнений, упрощая их вид. <...> Если a11 =0,a22 =0,., arr =0, то система уравнений (9) называется системой уравнений ступенчатого вида (ступенчатой системой уравнений). <...> Всякую совместную систему нетривиальных уравнений можно превратить в равносильную ей ступенчатую систему уравнений (с точностью до порядка следования чисел в решениях). <...> 3) Слева от знаков равенства в системе (14) имеются ненулевые коэффициенты. <...> Заметим, учитывая теорему 1.2.1 и замечание после теоремы 1.2.1, что все системы уравнений, получающиеся в результате преобразований и перенумерации переменных, будут иметьточно такие же решения как система (2) или решения системы (2) будут легко находится из решений <...>
Алгебра._Конечномерные_пространства._Линейные_операторы_Курс_лекций.pdf
УДК 512
ББК 22.14
К756
Рецензенты:
А. В. Царев, профессор кафедры алгебры МПГУ, доктор физико-математических наук
В. Г. Чирский, профессор кафедры теории чисел МПГУ,
доктор физико-математических наук
К756 Кочетова Ю. В., Ширшова Е. Е. Алгебра. Конечномерные пространства.
Линейные операторы: Курс лекций. – М.: Прометей, 2013. – 80 с.
Предлагаемое пособие содержит конспективное изложение значительной части
лекционного курса алгебры, соответствующего программе по направлению подготовки
010100.62 – математика. В нем отражены темы: системы линейных уравнений,
векторные пространства, линейные операторы векторных пространств, Евклидовы
пространства, матрицы и определители.
ISBN 978-5-7042-2454-9
© Ю. В. Кочетова, Е. Е. Ширшова 2013
© Издательство «Прометей», 2013
Стр.2
Содержание
Предисловие
1 Системы линейных уравнений
5
6
1.1 Основные понятия и определения . . ............. 6
1.2 Элементарные преобразования систем
линейных уравнений ....................... 7
1.3 Приведение системы линейных уравнений
к ступенчатому виду ....................... 10
1.4 Метод Гаусса исследования и решения
систем линейных уравнений ................... 12
1.5 Матрицы системы линейных уравнений ............ 14
2 Векторные пространства
15
2.1 Основные определения ...................... 15
2.2 Подпространства ......................... 16
2.3 Линейная зависимостьвекторов ................ 18
2.4 Базис, ранг, размерностьпространства ............ 21
2.5 Изоморфизм векторных пространств .............. 24
3 Ранг матрицы
26
3.1 Элементарные преобразования матриц ............. 26
3.2 Строчный и столбцовый ранги матрицы ............ 28
3.3 Ранги матриц системы уравнений ............... 29
3.4 Пространство решений однородной системы уравнений . . . 30
4 Сопутствующие пространства
32
4.1 Факторпространства ....................... 32
4.2 Взаимное расположение подпространств ............ 34
5 Матрицы
36
5.1 Действия над матрицами .................... 36
5.2 Алгебра матриц .......................... 39
5.3 Транспонированные матрицы. Ранг произведения матриц. . 40
5.4 Матрица перехода от базиса к базису ............. 41
5.5 Обратимостьматриц ....................... 42
5.6 Метод Гаусса на языке умножения матриц .......... 44
3
Стр.3
6 Подстановки и определители
45
6.1 Группа подстановок ....................... 45
6.2 Определители квадратных матриц ............... 48
6.3 Алгебраическое дополнение элемента определителя ..... 52
6.4 Дополнительный минор элемента определителя ....... 54
6.5 Способы вычисления определителей .............. 55
6.6 Правило Крамера. Способ вычисления обратной матрицы . 57
6.7 Теорема о ранге матрицы .................... 59
7 Гомоморфизмы векторных пространств
60
7.1 Простейшие свойства линейных отображений ......... 60
7.2 Матрицы линейного оператора ................. 61
7.3 Связьматриц оператора в различных базисах ........ 62
7.4 Ядро и образ линейного отображения ............. 63
7.5 Cобственные векторы и значения линейного оператора . . . 65
7.6 Характеристическое уравнение линейного оператора ..... 66
7.7 Диагонализируемостьматрицы оператора ........... 67
8 Евклидовы пространства
68
8.1 Скалярное умножение ...................... 68
8.2 Норма вектора .......................... 69
8.3 Ортогональные системы векторов ............... 70
8.4 Ортогональное дополнение к подпространству ........ 73
8.5 Изоморфизм Евклидовых пространств ............. 74
8.6 Действия над линейными отображениями ........... 75
Список литературы
78
4
Стр.4