МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета.

Предложен эффективный метод аналитико-численного решения неосесимметричной краевой задачи теории упругости для многосвязного тела в виде цилиндра с N цилиндрическими полостями. Решение строится в виде суперпозиции точных базисных решений уравнения Ламе для цилиндра в системах координат, отнесенных к центрам граничных поверхностей тела. Граничные условия задачи удовлетво- ряются точно при помощи аппарата обобщенного метода Фурье. В результате исходная задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, оператор которой является фредгольмовым в гильбертовом пространстве l2 . Разрешающая система решается численно методом редукции. Иссле- дована практическая скорость сходимости метода редукции. Проведен численный анализ напряжений в зонах их наибольшей концентрации. Достоверность результатов подтверждается сравнением их для двух случаев: цилиндра с шестнадцатью и с четырьмя цилиндрическими полостями.

В работе предлагается использовать численное решение стохастических дифференциальных урав- нений (СДУ) для нахождения оценок решений краевых задач для линейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами. В качестве приближения обобщенного решения рассматриваемой кра- евой задачи берется решение краевой задачи со сглаженными коэффициентами. Приведены результаты расчетов для теплозащитного покрытия, содержащего композиционный материал с сотовым заполните- лем.

Известны условия обращения и вид обратного оператора к двумерным усеченным операторам сверт- ки на множествах с пологими границами. Наличие угловых точек существенно усложняет эту задачу. В данной работе рассматриваются уравнения с многомерными операторами свертки на многогранниках. Для них предложен приближенный метод решения и получены оценки для погрешностей. Также иссле- дована возможность приближения решения указанных уравнений с помощью многомерных циклических матриц.

В пособии дается краткое описание методики освоения программных продуктов MATLAB и SIMULINK. Основные разделы пособия содержат контрольные задания для самостоятельной работы студентов.

Библиографический указатель посвящен Владимиру Викторовичу Скворцову – доктору технических наук, профессору, Заслуженному работнику Высшей школы РФ. В издание включены: сведения о научной, педагогической, общественной деятельности, указатель научных печатных работ за 1959-2011 гг., расположенный в хронологическом порядке по годам издания, в пределах каждого года – в алфавитном порядке.

Изложены основные подходы к построению математических моделей и этапы математического моделирования. Подробно рассмотрены математические модели структуры потоков в химических аппаратах, тепло- и массообмена, а также кинетики химических реакций. В качестве примера приведено построение моделей химического реактора. Изложен вероятностный подход к математическому моделированию, рассмотрены различные уравнения регрессии, а также методы планирования эксперимента. Большинство теоретических вопросов сопровождается решением конкретных примеров с использованием современных средств.

Изложены основные подходы к построению математических моделей и этапы математического моделирования. Подробно рассмотрены математические модели структуры потоков в химических аппаратах, тепло- и массообмена, а также кинетики химических реакций. В качестве примера приведено построение моделей химического реактора. Изложен вероятностный подход к математическому моделированию, рассмотрены различные уравнения регрессии, а также методы планирования эксперимента. Большинство теоретических вопросов сопровождается решением конкретных примеров с использованием современных средств.

Основная цель работы - подготовить студентов к тестированию по курсу высшей математики. Содержит теоретические сведения, задачи с решениями, 30 вариантов индивидуальных заданий с ответами.

Книга посвящена применению философии в образовании, науке, технике. Компактность образования основана на применении специальных информационных операторов, единых для любых областей знания. Внутренняя структура этих операторов представлена единством математики, физики и прикладной философии для единого образовательного курса, направленного на инженерную деятельность. Рассмотрены методы поиска новых задач в науке, образовании, технике. В методах творчества сочетаются приемы технического творчества, системные операторы, включающие элементы математики, физики и прикладной философии, а также непосредственный комплекс прикладной философии объекта для преодоления противоречий. Рассмотрены математические парадоксы, физические парадоксы, парадоксы прикладной философии в механике. Кратко изложены результаты решения нового класса задач математики и физики — взаимосвязанных нелинейных задач механики. На основе бифуркационной логики анализируются основания классической математики. Единая физика механики рассматривается как единство взаимосвязанных нелинейных задач колебаний, устойчивости, прочности и удара (на основе винтового деформированного движения). Единая физика механики предложена в качестве гена природы, рассматривающая в единстве гипотезы: Большого взрыва, теории света, квантовой механики, элементов полевой структуры эфира. Качественная модель единой физики природы основана на обосновании только известных экспериментальных явлений. Данная книга заканчивает основной цикл работ автора по интеграционной механике, которая показала, что природа описывается не простейшими математическими зависимостями, а сложными нелинейными взаимосвязанными задачами, лежащими в искусственно созданной области нерешаемых задач.

Книга является одним из первых полных и систематических руководств по интенсивно развивающейся области науки, связанной с классическими и квантовыми динамическими системами, а также квантовым хаосом. Изложение начинается с обсуждения нелинейного резонанса, интегрируемости, теоремы Нетер, КАМ-теории и определения хаотического поведения. Затем подробно рассматриваются отображения, сохраняющие площадь, особое внимание при этом уделяется самоподобию, интегрируемым и неинтегрируемым квантовым системам, спектральным свойствам, интегралам по траектории и системам с периодической вынуждающей силой. В заключительной части показано, как эти идеи могут применяться к стохастическим системам. Для лучшего понимания текста в приложениях приводятся все необходимые математические сведения. Монография содержит многочисленные ссылки на современные научные публикации; в конце каждой главы представлены задачи, которые помогут лучше усвоить изложенные основные концепции и методы.

Предпринята попытка создания метагидродинамики как фундаментальной науки. Рассмотрены законы эволюции науки, аксиоматика, проблематика, свершившиеся и несвершившиеся научные революции. Выделены три парадигмы в гидродинамике, в качестве которых выбраны основные математические модели: Эйлера, Навье – Стокса, Рейнольдса. Проанализированы принципы построения физических и математических моделей, теория и классификация вихрей, основные понятия вычислительной гидродинамики, прогностика и диагностика. Обсуждается назначение эксперимента и проблематика, систематизированы опыты в ванной. Систематизированы многочисленные задачи асимптотологии. В приложении приведена элементарная теория возмущений.

В книге собраны основные математические и естественно-научные работы периода 1905-1912 г. Одно из важных мест занимают его доклады на математических конгрессах и геттинские лекции. Большинство работ ранее на русский язык не переводились.

Книга посвящена теории и численным методам гарантированного оценивания и аппроксимации множеств. Техника и математический аппарат интервального анализа строго обобщаются на процедуры работы с множествами. Впервые в монографической литературе детально рассматривается приложение разработанных методов к решению систем нелинейных уравнений и неравенств, задачам оптимизации, оценивания параметров и состояний, робастного управления и робототехники. Приводится подборка примеров и упражнений.

Исследуются задачи оптимального восстановления функций, линейных функционалов и операторов, теория гауссовых формул восстановления на различных чебышевских системах. Освещаются результаты исследований последнего времени, имеющие в том или ином смысле окончательный характер. Особое внимание уделяется методам исследований, которые могут быть использованы в решении ряда других задач.

В математике можно выделить два направления: одно изучает непрерывные объекты, другое – дискретные. Часто к изучению одного и того же явления можно подойти с разных точек зрения. Производящие функции, изучению которых посвящено данное учебное пособие, являются примером плодотворной связи между дискретными и непрерывными объектами. Метод производящих функций особенно продуктивен при решении рекуррентных соотношений и комбинаторных задач.

Кратко представлены основные составляющие современных криптографических систем: симметричные алгоритмы шифрования, асимметричные алгоритмы шифрования, функции хэширования. Основной упор сделан на рассмотрение практической возможности применения существующих способов анализа современных криптосистем с целью оценки их криптографической стойкости. В работе рассмотрен целый ряд параллельных алгоритмов, основанных на различных методах анализа. В качестве примеров приведены способы реализации разработанных алгоритмов с использованием двух наиболее распространенных технологий: с использованием интерфейса передачи данных MPI для организации распределенных многопроцессорных вычислений и технологии CUDA, основанной на использовании графических вычислений. Книга снабжена множеством наглядных примеров и иллюстраций. Впервые описаны подходы к разработке параллельных алгоритмов, ориентированных на программную реализацию, и предназначенных для решения задач в области информационной безопасности.

В учебном пособии рассмотрены основы теории функций комплексного переменного и практикум, в котором дано подробное решение типовых и прикладных задач, иллюстрации, пояснения и индивидуальные задания по 30 вариантов в каждом. Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки специалистов 09030303 «Информационная безопасность автоматизированных систем», бакалавров 090900 «Информационная безопасность», 230100 «Информатика и вычислительная техника», 280700 «Техносферная безопасность», 220400 «Управление в технических системах».

Учебное пособие содержит подробное изложение основных базовых понятий и алгоритмов линейной и векторной алгебры. В работе содержатся многочисленные примеры решения типовых задач по каждому из указанных разделов. Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 090303 «Информационная безопасность автоматизированных систем», и студентов-бакалавров по направлениям подготовки 230100 «Информатика и вычислительная техника», 090900 «Безопасность автоматизированных систем», 280700 «Техносферная безопасность», 220400.62 «Управление в технических системах». Оно составлено в соответствии с требованиями образовательных стандартов для указанных направлений подготовки студентов-бакалавров и специалистов, может быть использовано для организации как аудиторной, так и самостоятельной работы слушателей.

В издании введено понятие простейшей задачи вариационного исчисления. Рассмотрен случай закрепленных концов и случай свободного правого конца. Для обеих задач приведено необходимое условие первого порядка. Для простейшей задачи вариационного исчисления в скалярном случае указано необходимое условие второго порядка. Также для этой же задачи в общем случае приведены достаточные условия.

В учебном пособии изложены сведения о физиологических и психологических законах зрительного восприятия, определяющих эффективность воздействия компьютерных и графических визуализаций. В этой связи приводятся некоторые художественные технические приемы построения изображений, создающих иллюзию объемности.

Учебное пособие содержит сведения о численных методах. Наибольшее внимание уделяется последовательности вычислений и их программированию на языке программирования Python. Пособие может быть рекомендовано студентам различных специальностей технических вузов, занимающихся математическим моделированием и изучающим численные методы, служить справочным материалом при выполнении курсовых и дипломных работ, связанных с расчетами на компьютере. Также может быть использовано преподавателями, аспирантами и научными сотрудниками.

Рассмотрены задачи обтекания тел различной геометрической формы при различных скоростях набегающего потока (дозвуковых и сверхзвуковых) в плоском и осесимметричном случаях во всем диапазоне проницаемости: от непротекания до свободного течения. Приведены описания программ по расчету трехмерных нестационарных задач с учетом гравитационного поля (задач неустойчивости Рэлея — Тейлора) с помощью разностной схемы метода крупных частиц на треугольной, шестиугольной и ортогональной расчетных сетках. К учебному пособию прилагается компакт-диск, содержащий тексты 20 рабочих программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН, предназначенных для решения задач аэрогидродинамики с помощью ППП «КРУЧА-2».

В пособии доказана лемма Бернсайда и приведена без доказательства теорема Пойа о производящей функции запаса классов эквивалентности раскрашиваний. Изложение не предполагает никаких предварительных сведений и доступно студентам первого курса. Введены основные алгебраические понятия, начиная с множеств, отображений и бинарных отношений и заканчивая действием группы на множестве. Пособие содержит многочисленные примеры, а также варианты домашнего задания по вычислению количества способов раскрашивания вершин, ребер и граней многогранников.

Рассмотрены вопросы применения функций чувствительности к различным задачам, возникающим в инженерной практике при проектировании технических систем, описываемых уравнениями в частных производных.

Приведены сведения о применении современных технологий, в первую очередь географических информационных систем (ГИС) и систем виртуального окружения, для пространственно-временного моделирования объекта. Рассмотрены вопросы, связанные с анализом данных дистанционного зондирования, а также стереовидеосъемки.

В соответствии с Федеральной космической программой РФ учеными и специалистами российских и международных организаций ведутся работы по созданию космической обсерватории (КО) «Миллиметрон» (проект «Спектр-М»). Головная научная организация: АКЦ ФИАН им. П.Н. Лебедева РАН, головное предприятие — НПО им. С.А. Лавочкина. Планируемый срок запуска — 2019 г. В работе приведено общее описание обсерватории «Миллиметрон», предназначенной для эксплуатации в условиях глубокого вакуума и сверхнизких температур на сверхдальней рабочей орбите в районе либрационной точки Лагранжа L2 в системе Солнце — Земля, удаленной от Земли на расстояние 1,5 млн км. В состав обсерватории входит криогенный космический телескоп (ККТ) с раскрываемым на указанной орбите главным параболическим зеркалом (ГПЗ) диаметром 10 м. Этот телескоп устанавливают на модуль служебных систем (МСС), который должен обеспечивать его ориентацию и стабилизацию. Рабочие диапазоны длин волн ККТ составляют 0,02…3 мм и 0,3…16 мм и определяют требования к прецизионности ККТ и МСС: точность ориентации 1'', точность стабилизации 0,2'', точность рабочей поверхности ГПЗ (после его раскрытия) 10 мкм, температура рабочей поверхности ГПЗ 4,5 K. Показано, что из-за своей протяженности и низкой частоты собственных колебаний ККТ становится гравитационно- и инерциально-чувствительной системой к воздействию внешних и внутренних микродинамических возмущений (ВВМВ). Рассмотрены проблемы обеспечения прецизионности ККТ при эксплуатации в условиях ВВМВ, глубокого вакуума и сверхнизких температур. Показано также, что точность ориентации и стабилизации МСС на порядок ниже требуемых, а упругие колебания низкочастотных крупногабаритных эле- ментов конструкции ККТ от воздействия ВВМВ способны привести к нарушению требуемой прецизионности. Отмечено, что удаление орбиты обсерватории на огромные расстояния от Земли не позволяет осуществлять управление ее системами и планом эксперимента в режиме реального времени. Проведен анализ известных методов и средств, применяемых для решения подобных проблем. Представлена оригинальная концепция интеллектуальной системы активной виброзащиты и высокоточного наведения ККТ обсерватории «Миллиметрон», направленная на решение указанных проблем.

Описаны преимущества суперэлементного подхода к решению задач статики и динамики деталей и узлов турбомашин. Приведено описание программного комплекса, решающего указанные задачи с помощью метода конечных элементов и суперэлементов. Приведены результаты тестирования комплекса.

Рассмотрен RKDG метод решения двумерных уравнений идеальной магнитной гидродинамики на неструктурированных сетках. Приведены алгоритмы монотонизации решения и бездивергентной реконструкции магнитного поля, позволяющие получать физически адекватные результаты расчетов с высоким порядком точности. Обсуждены результаты тестовых расчетов, подтверждающие порядок сходимости метода и иллюстрирующие качество получаемого решения.

В методических указаниях приведены описания лабораторных работ и варианты заданий для практикума на ЭВМ по курсам «Численные методы и математическое моделирование» и «Вычислительная физика».

Предназначены для студентов, обучающихся по направлению 010200.62 Математика и компьютерные науки (дисциплина "Аналитическая геометрия", цикл БЗ) и специальности 090301.65 Компьютерная безопасность (дисциплина "Геометрия", цикл С2), очной формы обучения.

Рассматривается обобщенная формула Родрига, позволяющая определить некоторые важные семейства многочленов, используемые в комбинаторном анализе. Эта формула применяется для получения рекуррентных соотношений и производящих функций. В частности, с этих позиций исследуются обобщенные многочлены Эйлера и рассматриваются их свойства. Для комбинаторной интерпретации коэффициентов этих многочленов привлекаются обобщенные перестановки Гесселя-Стенли и корневые помеченные r-угольные кактусы. Также рассматриваются конечно-разностные и g-аналоги обобщенной формулы Родрига, с помощью которых, в частности, изучаются g-аналоги экспоненциальных многочленов и многочленов Эйлера, а также их свойства.

Рассматривается вопрос построения аналога симплициальных вырождений в A[бесконечность]-случае. Предъявляется конструкция высших граней, доказывается теорема об их существовании на гомологиях, а также рассматривается вопрос о действии дифференциала на таком объекте. Доказательство теоремы существования конструктивно, что позволяет строить полученные новые объекты на гомологиях цепных комплексов. При доказательстве теорем используется техника SDR-ситуаций.

Рассматриваются четыре комбинаторные задачи, параметризованные кратностью r элемента базового мультимножества: распределение индексов vp-монотонных перестановок, обобщенные перестановки Гесселя-Стенли и обобщенные частично упорядоченные множества Баклавского-Эдельмана, обобщенные числа Стирлинга и обобщенные частично упорядоченные множества разбиений, обобщенные статистики и обобщенные многочлены Эйлера. Для исследования этих задач привлекаются различные методы.

Описано получение уравнений траектории движения точки по касательному и нормальному ускорению. Использованы методы 3-мерной геометрии Галилея.

Рассматривается задача построения динамических математических моделей реальных процессов на основе статистических данных. Решение задачи производится с помощью аппарата теории дифференциальных включений. Задача составления управляемого прогноза для реального процесса сводится к задаче оптимального управления. Для решения данной задачи реализован программный пакет "Cone", который по известным статистическим данным позволяет строить прогноз реальных процессов при наличии управления с функционалом качества или без него.

Статья посвящена методам получения траекторий движения и уравнениям кривых трехмерного галилеева пространства-времени по полю ускорения. Она использует методы 3-мерной геометрии Галилея пространства-времени. Рассмотрен ряд примеров.

Рассматривается оригинальная версия генетического алгоритма для решения систем линейных алгебраических уравнений. Основное внимание уделяется настройке алгоритма на особенности этой задачи и модернизации алгоритма. Методами вычислительного эксперимента выбираются параметры генетического алгоритма, дающие "хорошие" решения.

На основе коэффициентов квадратичных форм поверхности одулярного галилеева пространства с сибсоном (единственным 3-мерным нильпотентным одулем Ли) составлена система дифференциальных уравнений с частными производными, решение которой приводит к определению поверхности.

Рассматривается задача дифракции стороннего электромагнитного поля на локально неоднородном теле, помещенном в свободном пространстве. Поставленная задача сводится к объемному сингулярному интегральному уравнению. Решение задачи производится параллельно численным методом Галеркина и численным методом коллокации. В связи с большой емкостью решение задачи численным методом Галеркина при различных параметрах было реализовано с использованием двух программных продуктов для суперкомпьютерных вычислительных комплексов: реализации MPI и программной системы x-com. Исследованы особенности выполнения задачи на суперкомпьютерном комплексе.

Изучаются поверхности одного из 3-мерных пространств Галилея с коммутативной и нелинейной геометрией. Линейное пространство определено на тройках действительных чисел, в компонентах троек операции заданы нелинейными функциями. Для векторов введено галилеево скалярное произведение. Получены формулы дифференцирования векторных функций. В аксиоматике Г. Вейля на основе указанного нелинейного пространства строится пространство-время Галилея. Уравнения прямых и плоскостей полученного пространства нелинейны. Определены регулярные поверхности, ее первая и вторая квадратичные формы, нормальная кривизна поверхности, полная и средняя кривизны. Проведена классификация обыкновенных точек поверхностей. Вычислена полная кривизна некоторых поверхностей.

Получены первые результаты по теории поверхностей 4-мерного пространства-времени Галилея. Рассматриваются поверхности, имеющие Галилеевы касательные плоскости. Введены первая и вторая квадратичные формы поверхности, нормальная кривизна поверхности. Проведена классификация обыкновенных точек поверхности. Вычислены полная и средняя кривизна поверхности.

Установлена определяемость метрической функции поверхности 3-мерного пространства-времени Галилея символами Кристоффеля, а значит, установлена определяемость и первой квадратичной формы поверхности символами Кристоффеля. Приведены примеры получения метрической функции по заданным символам Кристоффеля. Поверхности являются изометричными только в случае, если у них одни и те же символы Кристоффеля. Указаны поверхности, определяемые символами Кристоффеля, и поверхности, для которых не существует изометричных (неизгибаемость поверхностей). Рассмотрен пример класса поверхностей пространства Галилея с евклидовой метрической функцией. Получено выражение полной кривизны поверхности через символы Кристоффеля.

Построены итерационные методы решения следующих задач электростатики и электродинамики: 1) распределение заряда на поверхности идеального проводящего тела, находящегося во внешнем поле, 2) вычисление электрической емкости идеально проводящих тел, 3) приближенное решение задачи рассеяния излучений на малых телах произвольной формы. Исследование этих задач основано на общем математическом аппарате - приближенном решении слабосингулярных интегральных уравнений на спектре.

Эргономика прочно вошла в нашу жизнь и продолжает развиваться. В работе собраны и обобщены современные представления в области эргономики. Рассмотрены психофизиологические особенности человека, основы проектирования рабочей зоны оператора, математические методы моделирования деятельности человека, вопросы надежности персонала, применения САПР на примере модуля Human Builder.

Ни гиперболическая, ни экспоненциальная кривая полностью не описывает кривую падения добычи. Была разработана новая методика анализа кривой падения добычи, в которой используется экспоненциальная кривая для экстраполяции гиперболической кривой, чтобы избежать получения нереально больших сроков разработки и завышенных запасов.

Приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач, приведены задачи для упражнений с пояснениями и ответами, а также варианты контрольных работ и рас- четных заданий.

Геометрическая модель инвариантных сечений, анализ нетривиальной закономерности изменения модуля электростатического поля вдоль эквипотенциальной линии.

Методы решения логических уравнений.

Предлагаемое пособие основано на курсе, который в течение нескольких лет читался авторами на математическом факультете Воронежского государственного университета. Хотя идейно (по мнению авторов) проинтегрированные полугруппы присутствуют еще в классической книге [Кре], но, видимо, следует считать, что оформление этого раздела математики в самостоятельное направление началось именно с работы [Are], после которой в течение последних двадцати лет это направление находится в состоянии постоянного развития. Структура представленного курса соответствует авторскому видению вопроса, подробно разработанному в книге [Вас] дляобычныхC0-полугрупп, которая, по замыслу авторов, является базовой для изучения настоящего курса.