Антонова, Т. В. Бурзалова ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ х, х2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. В. <...> Антонова, Т. В. Бурзалова ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ в качестве учебного пособия для студентов направления подготовки 01.03.01 Математика ИЗДАТЕЛЬСТВО Улан-Удэ 2016 УДК 514(075.8) ББК 22.151я73 А 724 Утверждено к печати редакционно-издательским советом Бурятского государственного университета Р е ц е н з е н т ы Л. А. Бохоева д-р техн. наук, профессор ВСГУТУ Б. В. <...> Пособие содержит два раздела: Синтетическая геометрия и аналитическая геометрия проективного пространства. <...> Дезарг (1593-1602) внес существенный вклад в создание основ проективной геометрии. <...> Дезарг развил теорию перспективы и разработал аппарат изображений пространственных фигур на плоскости. <...> Он присоединил к евклидовой прямой несобственную точку (бесконечно удаленную). <...> Дезарг получил модель проективной плоскости, дополнив плоскость несобственной прямой. <...> Прямую, дополненную бесконечно удаленной точкой, принято называть проективной прямой. <...> 8 Раздел 1 СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА Г л а в а 1 Проективное пространство в схеме Вейля. <...> Пусть V — векторное пространство n + 1 измерений над полем R вещественных чисел, а V' — множество всех ненулевых векторов этого пространства. <...> Проективное пространство Рз порождается четырехмерным векторным пространством V4. <...> Но так как векторы a, d, ё образуют векторное пространство Vs, то Vs = V3'. <...> В проективной плоскости существуют три точки общего положения. <...> Пусть Q — проективное пространство, которое порождается четырехмерным векторным пространством Vs . <...> Рассмотрим перспективное отображение U прямой а на прямую а' (рис. <...> 14 Для устранения этого дефекта мы добавим к точкам каждой прямой ещё одну несобственную точку, принимая при этом, что две параллельные прямые имеют одну и ту же несобственную точку. <...> Пусть D'x есть несобственная <...>
Проективная_геометрия.pdf
УДК 514(075.8)
ББК 22.151я73
А 724
Утверждено к печати
редакционно-издательским советом
Бурятского государственного университета
Р е ц е н з е н т ы
Л. А. Бохоева
д-р техн. наук, профессор ВСГУТУ
Б. В. Заятуев
канд. физ.-мат. наук, доцент БГУ
Антонова Л. В.
А 724
Проективная геометрия: учеб. пособие / Л. В. Антонова,
Т. В. Бурзалова. — Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета,
2016. — 148 с.
ISBN 978-5-9793-0858-6
Пособие включает конспекты лекций по проективной геометрии,
которые читаются авторами студентам математических факультетов
университетов. Геометрия проективного пространства
изложена в векторном виде по схеме Вейля. Пособие содержит два
раздела: Синтетическая геометрия и аналитическая геометрия проективного
пространства.
Предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлениям
подготовки 01.03.01 Математика, 01.20.3.01 Математика и
компьютерные науки.
УДК 514(075.8)
ББК 22.151я73
ISBN 978-5-9793-0858-6 © Бурятский госуниверситет, 2016
Стр.4
Содержание
Предисловие......................................................................................... 3
О возникновении проективной геометрии ...................................... 4
РАЗДЕЛ 1. СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОЕКТИВНОГО
ПРОСТРАНСТВА
Глава 1. Проективное пространство в схеме Вейля. Взаимное
расположение прямых и плоскостей ........................................... 9
§ 1.1. Понятие проективного пространства. Взаимное расположение
прямых в Р2 и Р3 ........................................................................ 9
§ 1.2. Модели проективного пространства ...................................... 13
§ 1.3. Принцип двойственности. Малый принцип двойственности 20
§ 1.4. Теорема Дезарга ...................................................................... 21
Глава 2. Проективные отображения. Проективные преобразования
................................................................................................. 25
§ 2.1. Проективное отображение пространств ................................. 25
§ 2.2. Основная теорема о проективных отображениях.................. 28
§ 2.3. Перспективное отображение гиперплоскостей пространства.
Теорема Рейе ....................................................................................... 29
§ 2.4. Признак перспективного отображения.................................. 32
§ 2.5. Проективные преобразования прямой. Инволюция ............. 33
§ 2.6 . Проективные преобразования плоскости. Гомология ......... 36
РАЗДЕЛ II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОЕКТИВНОГО
ПРОСТРАНСТВА
Глава I. Проективные координаты................................................ 41
§ 1. Проективный репер. Координаты точек на проективной плоскости
и на проективной прямой ........................................................ 41
§ 2. Уравнение прямой. Координаты прямой ................................. 46
§ 3. Формулы преобразования однородных координат.................. 49
§ 4. Теорема Дезарга на плоскости ................................................... 53
§ 5. Сложное отношение четырёх точек на плоскости. Свойства 55
§ 6. Сложное отношение четырех прямых пучков ........................ 60
§ 7. Полный четырёхвершинник. Г армоническая четвёрка точек 62
Глава 2. Кривые второго порядка ............................................. 66
§ 1. Определение кривых второго порядка. Точки пересечения
прямой и кривой второго порядка на проективной плоскости ..... 66
§ 2. Классификация линии второго порядка .................................... 68
§ 3. Полярное соответствие относительно линии второго порядка.
Полюс и поляры ................................................................................. 71
§ 4. Конструктивное определение поляры ...................................... 76
Стр.147
§ 5. Теорема Штейнера ...................................................................... 77
§ 6. Теорема Паскаля и теорема Брианшона .................................. 80
Глава 3. Аффинная, евклидова геометрия с проективной точки
зрения .......................................................................................... 83
§ 1. Проективная плоскость с фиксированной прямой .................. 83
§ 2. Аффинная геометрия с проективной точки зрения ................ 85
§ 3. Евклидова геометрия с проективной точки зрения ................ 86
СИСТЕМА ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
РАЗДЕЛ 1. СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОЕКТИВНОГО
ПРОСТРАНСТВА
Глава 1. Проективное пространство в схеме вейля. Взаимно
однозначное расположение прямых и плоскостей ................
91
§ 1. Понятие проективного пространства. Взаимное расположение
точек прямых в P2 и P3 ..................................................................... 91
§ 2. Теорема Дезарга. Принцип двойственности ......................... 92
Глава 2. Проективные отображения. Проективные преобразования
.............................................................................................. 97
§ 1. Проективное отображение ......................................................... 97
§ 2. Проективное отображение прямых. Инволюция ..................... 100
РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОЕКТИВНОГО
ПРОСТРАНСТВА
Глава 1. Проективные координаты .......................................... 103
§ 1. Проективный репер. Однородные проективные координаты
точки .................................................................................................. 103
§ 2. Уравнение прямой на проективной плоскости ......................... 106
§ 3. Формулы преобразования проективных однородных координат
(формулы перехода от одного репера к другому).................
110
§ 4. Перспективное и проективное отображения прямых и
пучков. Инволюция .......................................................................... 113
§ 5. Сложное отношение четырех точек на плоскости. Свойства 116
§ 6. Полный четырехвершинник. Г армоническая четверка точек 119
Глава 2. Кривые второго порядка ................................................ 128
Проверочный тест к разделу 1 ............................................................ 137
Проверочный тест к разделу 2 .......................................................... 140
Итоговый тест .................................................................................... 142
Библиографический список .............................................................. 145
Стр.148