Геометрия

Еще древние видели в золотом сечении отражение космического порядка. Учение о символике чисел наделяло эти знаки философским смыслом и даже эстетической значимостью, и число φ, названное так в честь скульптора и зодчего Фидия, среди этих символических величин занимало первое место. Крупный средневековый математик Леонардо Фибоначчи вывел на новый уровень применение свойств золотого деления при решении геометрических задач. Создав бесконечный ряд, он доказал, что соотношение соседних чисел близко к пропорции золотого сечения. Художников эпохи Возрождения озарило: любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие внимание, так называемые зрительные центры, — и они непременно связаны с пропорциями золотого сечения. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», универсальное правило, отражающее структуру и порядок нашего мироустройства. Книга увлекательно рассказывает об истории божественной пропорции и доказывает ее присутствие во всех структурах окружающего мира — как на Земле, так и во всей Вселенной.

Настоящее учебное пособие предназначено в первую очередь для студентов первого курса инженерных специальностей физического факультета Южного федерального университета, но также может быть использовано студентами других естественно-научных факультетов. Его цель - помочь студентам овладеть навыками самостоятельной работы при изучении указанного курса. Оно содержит: лекционный материал по соответствующему модулю с примерами решения наиболее характерных задач.

Книга представляет собой учебное пособие по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии. В ней собраны и объяснены базовые понятия, определения и формулировки, а также содержатся разобранные примеры, типовые задачи и вопросы для самопроверки. Учебное пособие предназначено для начального и быстрого ознакомления с курсом линейной алгебры и аналитической геометрии, а также для повторения и закрепления ранее изученного материала.

Практикум составлен в соответствии ФГОС ВО и программой дисциплины для оказания методической помощи при выполнении чертежей во время аудиторных занятий по дисциплине. Содержит основные теоретические положения, примеры решения задач, контрольные вопросы для проверки усвоения материала, литературу

Данное учебное пособие составлено на основе положений федеральных государственных образовательных стандартов по направлениям подготовки 01.03.01 Математика, 02.03.01 Математика и компьютерные науки, 01.03.02 Прикладная математика и информатика, 02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем и состоит из кратких теоретических сведений и задач по первой части курса, читаемого авторами. Даны примеры решения некоторых задач. Ко всем приведенным в пособии задачам даны ответы. Предназначено для преподавателей и студентов математических специальностей.

Изложены основные понятия и формулировки дисциплины «Начертательная геометрия. Инженерная графика» цикла общеинженерных дисциплин. Предназначена для студентов всех направлений и форм обучения.

В настоящей работе исследованы топологические свойства связных орто-выпуклых множеств на плоскости, т.е. связных множеств, выпуклых вдоль горизонтальной и вертикальной прямых. Приведены и доказаны геометрические формулировки нескольких утверждений об орто-отделимости орто-выпуклых множеств

Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями Федерального государственного стандарта высшего образования для студентов бакалавриата. Предназначено для студентов, обучающихся по программе 21.03.01 - Нефтегазовое дело и 08.03.01 - Гражданское строительство

В монографии изложены результаты аналитического исследования уравнений одномерной изэнтропической газовой динамики, принадлежащих одному из важнейших классов уравнений механики сплошных сред. Решен ряд задач проблемного характера, имеющих большое теоретическое и прикладное значение. Основные результаты принадлежат автору, получены впервые и имеют законченный характер.

В монографии в сжатом виде излагается новый подход к геометризации физической теории и некоторые его применения. Он представляет собой вариант единой теории поля, основанный на конформно-инвариантном обобщении общей теории относительности. В силу конформной (масштабной) симметрии метод пригоден для применения не только в космологии, но и в физике обычных масштабов, а также в микрофизике.

В данном издании представлены основные идеи и понятия фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности, рассматриваются основные фрактальные множества, некоторые физические приложения, дается представление о математическом аппарате дробного интегро-дифференцирования и его физической трактовке.

Основой для изложения раздела «Кинематика» курса теоретической механики послужил курс лекций, читавшихся автором в Оренбургском политехническом институте (ныне – Оренбургский государственный университет). Побудительной причиной написания учебника явилось стремление сделать изложение учебного материала более последовательным и строгим, чем в большинстве существующих учебников по теоретической механике для технических специальностей. Электронный вариант учебника подготовлен кафедрой математического анализа и МПМ Оренбургского государственного педагогического университета.

Основой для изложения раздела «Кинематика» курса теоретической механики послужил курс лекций, читавшихся автором в Оренбургском политехническом институте (ныне – Оренбургский государственный университет). Побудительной причиной написания учебника явилось стремление сделать изложение учебного материала более последовательным и строгим, чем в большинстве существующих учебников по теоретической механике для технических специальностей. Электронный вариант учебника подготовлен кафедрой математического анализа и МПМ Оренбургского государственного педагогического университета.

Основой для изложения раздела «Кинематика» курса теоретической механики послужил курс лекций, читавшихся автором в Оренбургском политехническом институте (ныне – Оренбургский государственный университет). Побудительной причиной написания учебника явилось стремление сделать изложение учебного материала более последовательным и строгим, чем в большинстве существующих учебников по теоретической механике для технических специальностей. Электронный вариант учебника подготовлен кафедрой математического анализа и МПМ Оренбургского государственного педагогического университета.

Актуальность и цели. Геометрия гладких слоений является одним из основных объектов исследования в дифференциальной геометрии, имеющим многочисленные приложения, в частности в теоретической физике. Дифференциальные инварианты слоений изучались одним из авторов настоящей статьи методами, развитыми в работах А. Виноградова, Д. Алексеевского и В. Лычагина. Однако эти методы не предоставляют инвариантной формы записи дифференциальных уравнений изучаемых объектов, что создает определенные трудности при исследовании сложных дифференциально-геометрических структур. Цель исследования состоит в том, чтобы разработать универсальный подход к изучению слоений различной коразмерности. Материалы и методы. Используется метод внешних форм и подвижного репера, разработанный Эли Картаном и развитый в работах Г. Ф. Лаптева, А. М. Васильева и других геометров. В частности, Г. Ф. Лаптевым была построена инвариантная теория дифференцируемых отображений гладкого многообразия в многообразие большей размерности. В этой работе мы показываем, как исследовать методом Картана – Лаптева геометрию гладких субмерсий и определяемых ими гладких слоений. Результаты. Найден канонический вид структурных уравнений гладкой субмерсии, выяснен геометрический смысл канонизации. Показано, что с субмерсией каноническим образом связаны G-структуры первого и второго порядка и некоторый трехвалентный тензор. Выводы. Метод Картана – Лаптева позволяет эффективно изучать геометрию гладких слоений различной коразмерности как на произвольных гладких многообразиях, так и на многообразиях, снабженных дополнительной структурой.

В статье устанавливаются соответствия между двумя способами описания (посредством явных и канонических уравнений) аффинно-однородных поверхностей 3-мерного вещественного пространства. Множество канонических параметров, описывающих семейство строго выпуклых поверхностей, разбивается на подмножества. Каждому такому подмножеству сопоставлен свой тип явного уравнения однородной поверхности. Промежуточным звеном в установленных соответствиях является описание однородных поверхностей в терминах матричных алгебр Ли. Интегрирование этих алгебр связано с большим количеством случаев и является ключевым моментом в получении результатов статьи

Рассмотрены: виды проецирования, ортогональные системы двух и трех плоскостей проекции, способы задания геометрических объектов на них, методы преобразования проекций, поверхностей, позиционные и метрические задачи, примеры применения методов начертательной геометрии при проектировании рабочих органов сельскохозяйственных машин.

основное содержание статьи составляет рассмотрение геометрических свойств симплексов, а также с помощью привлечения теоремы Гаусса–Остроградского устанавливается, что для любого симплекса найдутся две нормали, такие, что (⃗n ,⃗n) ⩽ − 1/n. Исследование дополняется также рассмотрением частного случая когда неравенство переходит в равенство. Данное направление дополняется также рассмотрением того, что любой развёрнутый набор единичных векторов служит внешними нормалями к некоторому симплексу T с непустой внутренностью. С помощью неравенства (⃗n ,⃗n) ⩽ − 1/n установлено, что в любом наборе развернутых единичных векторов найдутся два таких, для которых оно выполняется. Данная проблема и метод доказательства теоремы мало изучены и требуют дальнейших исследований.

представлен алгоритм последовательности построения конфигурации Дезарга, разработанный на основе анализа ее основных свойств, который позволяет осуществлять построения сложных архитектурных объектов, состоящих из ряда простых пересекающихся форм, в архитектурном и дизайн-проектировании с помощью компьютерной графики

Рассматривается алгоритм распределения солнечной энергии на поверхности приемника концентрирующей системы. Изложен принцип построения изолиний энергии на плоском приемнике. Предложена модель концентрирующей системы с отражателем в виде поверхности вращения и плоским приемником с одноосевым слежением за Солнцем

Содержатся результаты работ, относящиеся к семиотическому анализу и синтезу языка визуализации структурируемых объектов по форме и содержанию. Рассматривается геометрография знаковых систем, морфология которых позволяет использовать единицы множества формализованных элементов в качестве, удовлетворяющем и современным компьютерным технологиям, и прикладным художественным произведениям. Условие структурирования объектов по признакам формализации является необходимым и унифицирующим на основных этапах их восприятия, исследования, отображения — проектирования.

Проанализированы элементарные геометрические образы, их виды, свойства. Рассмотрены композиционные варианты, взаимные влияния, преобразования. Предлагаемый информативный объем геометрографии расширен в сравнении с традиционным. Использованы основные законы гармонии: тождество, равенство, симметрия, золотая пропорция. Рекомендованы для практического использования элементарные изображения в качестве единиц «геометрографического конструктора». Приведены примеры моделирования строительных объектов.

Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач единого государственного экзамена преподавателями факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.

Книга посвящена изложению и анализу геометрического подхода к описанию физического мира, в частности общей теории относительности А. Эйнштейна и многомерной геометрической теории физических взаимодействий. В первой части дано введение в общую теорию относительности. Во второй части детально рассматриваются теория относительности, ее формулировки и обобщения. Третья часть посвящена изложению многомерной геометрической теории микромира. В четвертой части произведен метафизический анализ геометрического и иных подходов к физике с целью обоснования необходимости перехода к более совершенной картине мира.

Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ и задач единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.

Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ и задач Единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал и подборку задач.

В учебнике собран материал второй части единого курса геометрии, изучение которого необходимо будущему учителю математики для успешной работы со школьниками. Изложение теоретического материала проиллюстрировано типовыми примерами.

Цель книги — помочь учителю математики сформировать у учеников универсальные учебные действия при обучении геометрии, что отражает задачу, сформулированную в Федеральном государственном образовательном стандарте общего образования второго поколения.

Книга посвящена метафизическим основаниям современной теоретической физики и раскрытию ведущих тенденций ее развития в XXI веке. Данное издание книги существенно переработано и дополнено. В 1-й части охарактеризовано состояние физики начала ХХ века. Во 2-й части описаны теории и программы в рамках общепринятого теоретико-полевого миропонимания. 3-я часть посвящена геометрическому миропониманию, развивающемуся на основе идей общей теории относительности и многомерных теорий Калуцы—Клейна. В 4-й части проанализированы основания и возможности реляционного подхода, опирающегося на концепцию дальнодействия. В 5-й части изложены принципы бинарной геометрофизики, объединяющей идеи предшествующих физических программ. Наконец в заключительной, 6-й части книги рассмотрены проблемы соотношения науки (физики), философии и религии на основе метафизических принципов, выявленных в ходе анализа развития физики.

В учебном пособии собран материал первой части единого курса геометрии, изучение которого необходимо будущему учителю математики для успешной работы со школьниками. Изложение теоретического материала проиллюстрировано типовыми примерами.

Эта книга выгодно отличается от других пособий по геометрии Лобачевского. Материал излагается на основе школьной аксиоматики абсолютной геометрии и аксиомы Лобачевского. Первая часть книги посвящена планиметрии Лобачевского, а вторая — стереометрии. В конце каждой главы даются задачи, в конце книги — ответы и указания к ним.

Пособие включает конспекты лекций по проективной геометрии, которые читаются авторами студентам математических факультетов университетов. Геометрия проективного пространства изложена в векторном виде по схеме Вейля. Пособие содержит два раздела: Синтетическая геометрия и аналитическая геометрия проективного пространства.

Растран - некоммутативеая алгебраическая структура. Порядок записи компонент элементов растрана влияет на свойства пространства-времени с растраном. Ниже установлено, какая из форм записи предпочтительнее.

В статье рассматриваются три известных класса поверхностей вращения и вопрос их пересечения, существуют ли у них общие части.

Памяти известного математика, доктора физико-математических наук Леонида Евгеньевича Евтушика.

В работе классифицируются естественные операторы между тензорными полями различных типов. Рассматриваемые тензорные расслоения выбираются произвольными, без дополнительных структур или симметрий.

Получено полное описание локального устройства минимальных сетей в пространствах Александрова.

В работе исследована топология системы "сферический маятник" и построена целочисленная решетка переменных действия для этой системы. Указан алгоритм вычисления по целочисленным решеткам переменных действия матриц монодромии и меток в инварианте Фоменко-Цишанга. Алгоритм применен к системе "сферический маятник".

В статье рассматривается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Аналитически показано, что решения этой системы обладают свойством изохронности, что нехарактерно для нелинейных систем. Установлено, что в пределе при возрастании амплитуды решение представляет собой периодическую дельта-функцию.

Для доказательства "геометрической теоремы о дробной монодромии" дается удобное эквивалентное определение дробной монодромии в гомологических терминах.

Известно, что свободное вращение трехмерного твердого тела вокруг большой и малой оси инерции устойчиво, а вокруг средней неустойчиво. В настоящей работе этот результат обобщается на твердое тело в пространстве произвольной размерности.

В работе получено обобщение теоремы Радича–Калимана о метрических соотношениях в ломаных Понселе, из которого выводится общий принцип нахождения условия замыкания ломаной Понселе для двух окружностей. В частности, получены явные формулы для вписано-описанных n-угольников при n =5, 6, 8 и алгоритм отыскания таких формул для любого n.

В статье вводится понятие кронекеровых индексов алгебры Ли - целочисленных характеристик, естественным образом связанных с тензором структурных констант алгебры Ли. Доказывается нижняя оценка на степени полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления алгебры Ли, формулируемая в терминах кронекеровых индексов.

Практикум содержит задачи для аудиторной и самостоятельной работы студентов по разделам математических дисциплин: линейная алгебра и аналитическая геометрия, математический анализ.

Содержит теоретический материал, набор задач, вопросы для самоконтроля, глоссарий по всем разделам дисциплины «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», а также итоговые тесты по дисциплине, в том числе тесты с компетентностно-ориентированными вопросами.

Типовой расчет предназначен для студентов, изучающих высшую математику по программе технического вуза. Представлены 120 вариантов типового расчета по аналитической геометрии. В типовом расчете 30 заданий, в которых отражены основные темы аналитической геометрии, изучаемые в техническом вузе.

Типовой расчет предназначен для студентов технических вузов, изучающих раздел теории поля в курсе математики. Представлены 120 вариантов по 11 заданий в каждом варианте.

Типовой расчет предназначен для студентов, изучающих высшую математику по программе технического вуза. Представлены 120 вариантов типового расчета по линейной и векторной алгебре. В типовом расчете 24 задания, в которых отражены основные темы алгебры, изучаемые в техническом вузе.

Доказано, что функция, изменяющая расстояния в конечных метрических пространствах, но сохраняющая типы их минимальных заполнений, имеет вид f(x) = кх + b. При этом достаточно предполагать, что типы заполнений сохраняются у пространств, состоящих не более чем из пяти точек.

В учебно-методическом пособии отражаются основы начертательной геометрии, проекционного и машиностроительного черчения, основные понятия о технике черчения и геометрическом черчении. Рассмотрены основы компьютерной графики на примере программы «Наш Сад». Представлены основные задания по изучаемому курсу.