Соотношения между длинами сторон и величинами углов в прямоугольном треугольнике Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, будем считать, что его угол C прямой (то есть его величина равна π/2), длины отрезков AB, AC и BC (которые везде в пособии будут обозначены как |AB| , |AC| , |BC|) равны c, b и a соответственно. <...> Полезно знать, что эти формулы на самом деле есть не что иное, как переписанные утверждения, вытекающие из определений тригонометрических функций величин острых углов, а именно: Синус величины острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины катета, противолежащего этому углу, к длине гипотенузы; Косинус величины острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины катета, прилежащего к этому углу, к длине гипотенузы; Тангенс величины острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины катета, противолежащего этому углу, к длине катета, прилежащего к этому углу; Котангенс величины острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины катета, прилежащего к этому углу, к длине катета, противолежащего этому углу. bc A |BC| = a |AC| = b |AB| = c 8 Теория и задачи 2. <...> Соотношения между длинами сторон и величинами углов в равнобедренномтреугольнике Пользуясь вышеизложенными фактами, получим непосредственно вытекающие из них важные соотношения между длинами сторон, длиной высоты, проведенной к основанию, и величинами углов в равнобедренном треугольнике. <...> Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором |AB| = |BC| , BH — высота, проведенная к основанию AC. <...> Длина высоты равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию, равна частному длиныэтого основания и удвоенного котангенса величины угла при основании этого треугольника: |BH| = |AC| 2ctg BAC , |AC| =2·|BH|· ctg |AH| = |HC| , а, с другой стороны, из прямоугольного треугольника ABH следует, что |AH| = |AB|· cos BAC, |AH| = |BH|· ctg |AC| =2·|AH| =2·|AB|· cos BAC. <...> Формула площади прямоугольного треугольника Площадь прямоугольного треугольника <...>
Геометрия._Углубленный_курс_с_решениями_и_указаниями.pdf
ББКУДК 514
22.151.0я721.9
Б90
Будак Б. А.
Б90 Геометрия. Углубленный курс с решениями и указаниями
: учебно-методическое пособие / Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва,
М. В. Федотов ; под ред. М. В. Федотова. — 8-е изд.,
электрон. —М. : Лаборатория знаний, 2022. — 601 с. —(ВМК
МГУ—школе). — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. —Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-959-6
Настоящее пособие составлено преподавателями факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ и задач Единого государственного
экзамена. Пособие содержит теоретический материал, подборку
задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению
как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репетиторам,
руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
ББКУДК 514
22.151.0я721.9
Деривативное издание на основе печатного аналога: Геометрия.
Углубленный курс с решениями и указаниями : учебно-методическое
пособие / Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов ; под
ред. М. В. Федотова. — 7-е изд. —М. : Лаборатория знаний, 2021. —
596 с. : ил. —(ВМК МГУ—школе). — ISBN 978-5-00101-369-3.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-959-6
© Б. А. Будак,
Н. Д. Золотарёва,
М. В. Федотов, 2015
© Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
Оглавление
От редактора ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .
Предисловие ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .
Часть I. Теория и задачи
1. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Теоремы синусов и косинусов . .
. .
5
6
7
7
7
. . ... .. .. ... .. . 19
1.3. Биссектриса, медиана, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. Подобие треугольников .
2.2. Касательные, хорды, секущие .. .. .. ... .. .. ... .. . 75
3. Четырёхугольники и многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1. Параллелограммы .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 86
3.2. Трапеции .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 94
3.3. Четырёхугольники и многоугольники общего вида . . . . . . . 106
4. Задачи на доказательство .
. .
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 41
1.5. Площадь треугольника . .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 53
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 64
2. Окружности .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 64
2.1. Углы в окружностях . .
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 120
4.1. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2. Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.3. Окружности ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 128
4.4. Площади . . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 132
5. Задачи на построение .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 134
5.1. Алгебраический метод . .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 134
5.2. Метод геометрических мест точек .
5.3. Метод симметрии и спрямления .
. .
. .
. .
6. Стереометрия .
5.4. Метод параллельного переноса . .. .. ... .. .. ... .. . 149
5.5. Метод подобия . .
. . ... .. .. ... .. . 138
. . ... .. .. ... .. . 145
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 155
5.6. Метод поворота и смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . 160
. . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 164
6.1. Введение в стереометрию . ... .. .. ... .. .. ... .. . 164
6.2. Многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.3. Тела вращения .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 173
6.4. Комбинации тел . .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 180
Часть II. Указания и решения
. .
181
1. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
1.1. Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
1.2. Теоремы синусов и косинусов . .
. . ... .. .. ... .. . 208
1.3. Биссектриса, медиана, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
1.4. Подобие треугольников .
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 265
1.5. Площадь треугольника . .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 287
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 317
2. Окружности .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 317
2.1. Углы в окружностях . .
2.2. Касательные, хорды, секущие .. .. .. ... .. .. ... .. . 347
Стр.4
4
3. Четырёхугольники и многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
3.1. Параллелограммы . ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 384
3.2. Трапеции .. .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 413
3.3. Четырёхугольники и многоугольники общего вида . . . . . . . 446
4. Задачи на доказательство ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 473
4.1. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
4.2. Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
4.3. Окружности .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 489
4.4. Площади . .
. .
5. Задачи на построение .
. . ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 493
. . ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 495
5.1. Алгебраический метод . .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 495
5.2. Метод геометрических мест точек . . . . . . . . . . . . . . . . 503
5.3. Метод симметрии и спрямления ... .. .. .. ... .. .. .. 514
5.4. Метод параллельного переноса ... .. .. .. ... .. .. .. 524
5.5. Метод подобия . .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 534
5.6. Метод поворота и смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . 545
6. Стереометрия ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 554
6.2. Многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
6.3. Тела вращения .
. . ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 560
Задачи ЕГЭ последних лет
Варианты ДВИ МГУ последних лет
Ответы
Список литературы
6.4. Комбинации тел . . ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 568
578
580
587
596
Стр.5