Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 520141)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта.

Теория вероятностей (90,00 руб.)

0   0
Первый авторКаширина Ирина Леонидовна
АвторыЧудинова Ксения Владиславовна
ИздательствоИздательский дом ВГУ
Страниц60
ID684892
АннотацияУчебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математических методов исследования операций факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Кому рекомендованоРекомендовано для студентов 2-го курса, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика».
Каширина, И.Л. Теория вероятностей [Электронный ресурс] / К.В. Чудинова, И.Л. Каширина .— Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2017 .— 60 с. — 60 с. — Режим доступа: https://rucont.ru/efd/684892

Предпросмотр (выдержки из произведения)

Теория_вероятностей_.pdf
Стр.1
Стр.3
Стр.6
Стр.7
Стр.8
Стр.9
Стр.10
Теория_вероятностей_.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.Л. Каширина, К.В. Чудинова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебно-методическое пособие Воронеж Издательский дом ВГУ 2017
Стр.1
Оглавление Случайные события .............................................................................................. 5 Действия над событиями ................................................................................... 6 Геометрическое определение вероятности ..................................................... 9 Статистическое определение вероятности .................................................... 11 Аксиоматическое определение вероятности................................................. 11 Понятие условной вероятности ...................................................................... 14 Теорема умножения вероятностей ................................................................. 14 Зависимые и независимые события ............................................................... 15 Формула полной вероятности ......................................................................... 15 Формула Байеса ................................................................................................ 16 Формула Бернулли ........................................................................................... 19 Следствия из формулы Бернулли ................................................................... 20 Приближённое вычисление вероятностей повторных событий ................. 21 Формула Пуассона ........................................................................................... 21 Локальная формула Муавра – Лапласа .......................................................... 22 Интегральная формула Муавра – Лапласа .................................................... 23 Случайные величины .......................................................................................... 25 Функция распределения случайной величины ............................................. 25 Свойства функции распределения случайной величины ......................... 26 Дискретные случайные величины .................................................................. 26 Математические операции над дискретными случайными величинами ... 27 Числовые характеристики дискретной случайной величины ..................... 28 Свойства математического ожидания ........................................................ 29 Свойства дисперсии ...................................................................................... 30 Наиболее известные дискретные случайные величины .............................. 34 Биномиальный закон распределения .......................................................... 34 Закон распределения Пуассона ...................................................................... 36 Геометрическое распределение ................................................................... 37 3
Стр.3
Пример. Бросается игральная кость, «Выпадет число от 1 до 6»  достоверное событие. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступление другого. События А и В называются несовместными, если их произведение – невозможное событие. Пример. Бросается игральная кость. События «выпадет 3» и «выпадет четное»  несовместны, а «выпадет 4» и «выпадет четное»  совместны. События являются равновозможными, если по условиям эксперимента ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Пример. 2»…«выпадет 6» - равновозможные события. Действия над событиями Суммой событий A и B называется событие A+B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих двух событий. Событие А+В состоит из тех элементарных исходов, которые входят хотя бы в одно из событий А или В. Пример. А – четное число очков; В – кратное 3; А+В = {2,3,4,6}. Произведением событий А и В называется событие А*В, заключающееся в том, что события А и В произошли одновременно. А*В содержит только те исходы, которые одновременно входят как в А, так и в В. Пример. Для предыдущего примера А*В = {6}. Разностью двух событий А и В называется событие А\В, когда событие А произошло, а В – нет. Пример. Для предыдущего примера А\В = {2,4}. Отрицанием события A называется событие А, которое заключается в том, что событие А не произошло. А = Ω\А. 6 Бросается игральная кость, «выпадет 1», «выпадет
Стр.6
Говорят, что событие А включено в событие В (А ⊂ В), если появление события А влечет за собой появление события В. Все исходы, входящие в А обязательно входят и в В. Задача 1. Два человека играют в шахматы. Событие А – «выиграл первый». Событие В – «выиграл второй». Сформулируйте словами следующие события: а) 𝐵; б) 𝐴∆𝐵; в) 𝐴 + 𝐵. Задача 2. Из таблицы целых чисел взято случайное число. Событие 𝐴 − «число делится на 5». Событие 𝐵 − «число оканчивается на 0». Найти 𝐴𝐵, 𝐴 − 𝐵. Задача 3. Событие 𝐴 – «хотя бы одно из четырех изделий бракованное». Событие 𝐵 – «из четырех изделий не менее двух бракованные». Найти события 𝐵, 𝐴. Задача 4. Рабочий изготовил 𝑛 деталей. Событие 𝐴𝑖 – «i-я деталь имеет дефект». С помощью операций над событиями запишите события: а) «хотя бы одна деталь имеет дефект»; б) «ни одна из деталей не имеет дефектов». Классическое определение вероятности Классическое определение вероятности применяется в том случае, когда пространство элементарных исходов Ω конечно, и все исходы, входящие в него, равновозможны. Вероятностью события А называется число Р(А) = 𝑚 𝑛 , где m – число исходов, благоприятствующих событию А, n – общее число исходов. Свойства, вытекающие из классического определения вероятности: 1) 𝑃(𝐴) ≥ 0 для любого события А; 2) вероятность достоверного события 𝑃(Ω) = 1; 3) 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵), если события А и В несовместны. Докажем, например, свойство 3. Пусть n – общее число исходов, 𝑚1– 7
Стр.7
число исходов, благоприятствующих А, 𝑚2 – число исходов, благоприятствующих В. Тогда событию 𝐴 + 𝐵 будет благоприятствовать 𝑚1 + 𝑚2 исходов (так как среди них нет общих). Тогда 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑚1 + 𝑚2 𝑛 = 𝑚1 𝑛 + 𝑚2 𝑛 = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) Пример. Студент выучил 20 из 25 вопросов к экзамену. Билет содержит 3 вопроса. Какова вероятность, что он ответит на них верно? Решение. P(A) = С203 /𝐶253 = 3∗19 23∗5 = 0.496 Задача 1. Для участия в лотерее нужно на карточке отметить 6 чисел из 49. Какова вероятность выигрыша, если для этого необходимо угадать все 6 цифр? Задача 2. Из карточек с буквами, образующими слово «мастер», выбирают 4. Найти вероятность того, что получится слово «тема». Задача 3. Четырем детям на новый год приготовили подарки, но Дед Мороз их перепутал и вручил в случайном порядке. Какова вероятность того, что каждому ребенку достанется его подарок? Задача 4. В классе учится 20 учеников. Для дежурства после уроков нужно выбирать троих. Какова вероятность того, что выберут первых трёх человек по списку? Задача 5. Шифр кодового замка состоит из 4 цифр. Злоумышленник пытается открыть замок, не зная шифра. Какова вероятность того, что он откроет замок с первого раза? Задача 6. В коробке лежат 𝑚 белых шаров и 𝑛 черных. Из нее по очереди вытаскивают 2 шара. Найти вероятность того, что оба – белые. Задача 7. В выпуклом многоугольнике 20 вершин, случайным образом выбирают 2 вершины и соединяют их прямой линией. Найти вероятность того, что эта линия – диагональ. Задача 8. Телефонный номер состоит из 5 цифр. Найти вероятность 8
Стр.8
того, что все цифры в нем различные. Задача 9. На библиотечной полке стоит 15 книг, 5 из них – в переплете. С полки берут 3 книги. Найти вероятность того, что они все будут в переплете. Задача 10. В коробке лежит 20 шаров с номерами от 1 до 20. Наугад выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них есть шары с номерами 1 и 2. Геометрическое определение вероятности Геометрическое определение вероятности обобщает классическое определение на случай бесконечного числа исходов в случае, если пространство элементарных исходов Ω является подмн-вом ℝ или ℝ2, … , ℝ𝑛, при этом рассматриваются только такие подмножества, которые имеют конечную меру, а вероятность выбора точки, принадлежащей любому подмножеству А множества Ω, зависит только от меры этого подмножества и не зависит от его расположения внутри Ω. В качестве меры в ℝ используется длина; в ℝ2 − площадь; в ℝ3,… , ℝ𝑛  объем. Вероятностью события А называется число Р(А) = 𝑀(𝐴) 𝑀(Ω), равное отношению меры множества А к мере множества Ω. Свойства, вытекающие из геометрического определения вероятности: 4) 𝑃(𝐴) ≥ 0 для любого события А; 5) вероятность достоверного события 𝑃(Ω) = 1; 6) 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵), если события А и В несовместны. Пример (Задача о встрече). P и D договорились встретиться в определенном месте между 6 и 7 часами вечера. Необходимо найти вероятность их встречи, если они могут появиться на этом месте в течении данного часа случайным образом, причем P сможет подождать 20 минут, а D – 5 минут. Решение. Обозначим через x – через сколько минут после начала часа 9
Стр.9
пришел P; y – через сколько минут после начала часа пришел D. 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 60. Тогда, чтобы P и D встретились, необходимо выполнение условий: {𝑦 − 𝑥 ≤ 20 𝑥 − 𝑦 ≤ 5 Графически область пересечения данных неравенств изображена на рис.1. 𝑀(Ω) = 3600, 𝑀(𝐴) = 3600 − 402 Рис. 1. Задача о встрече. 2 − 552 2 = 1287.5 ; 𝑃(𝐴) = 1287,5 3600 = 0.353 Задача 1. Из отрезка [0; 2] выбирают случайным образом два числа. Какова вероятность, что их сумма больше единицы? Задача 2. Выбирают 2 числа из отрезка [0; 1]. Определите вероятность того, что их произведение меньше 0.5. Задача 3. Два человека договорились о встрече. Они приходят на место встречи в интервале от 0 до 𝑇 часов и ждут в течение времени 𝜏 < 𝑇. Какова вероятность того, что они встретятся? Задача 4. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата 𝑎 бросается монета радиуса 𝑟 < 𝑎 2. Определить вероятность того, что: а) монета попадает целиков внутрь одного квадрата; б) монета пересечет не более одной стороны квадрата. Задача 5. Внутри квадрата с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) наудачу выбирают точку 𝑀 с координатами (𝑥, 𝑦). Найти вероятность события 𝐴 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑎2, 𝑎 > 0}. 10
Стр.10

Облако ключевых слов *


* - вычисляется автоматически