МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
И.Л. Каширина, К.В. Чудинова
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методическое пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2017
Стр.1
Оглавление
Случайные события .............................................................................................. 5
Действия над событиями ................................................................................... 6
Геометрическое определение вероятности ..................................................... 9
Статистическое определение вероятности .................................................... 11
Аксиоматическое определение вероятности................................................. 11
Понятие условной вероятности ...................................................................... 14
Теорема умножения вероятностей ................................................................. 14
Зависимые и независимые события ............................................................... 15
Формула полной вероятности ......................................................................... 15
Формула Байеса ................................................................................................ 16
Формула Бернулли ........................................................................................... 19
Следствия из формулы Бернулли ................................................................... 20
Приближённое вычисление вероятностей повторных событий ................. 21
Формула Пуассона ........................................................................................... 21
Локальная формула Муавра – Лапласа .......................................................... 22
Интегральная формула Муавра – Лапласа .................................................... 23
Случайные величины .......................................................................................... 25
Функция распределения случайной величины ............................................. 25
Свойства функции распределения случайной величины ......................... 26
Дискретные случайные величины .................................................................. 26
Математические операции над дискретными случайными величинами ... 27
Числовые характеристики дискретной случайной величины ..................... 28
Свойства математического ожидания ........................................................ 29
Свойства дисперсии ...................................................................................... 30
Наиболее известные дискретные случайные величины .............................. 34
Биномиальный закон распределения .......................................................... 34
Закон распределения Пуассона ...................................................................... 36
Геометрическое распределение ................................................................... 37
3
Стр.3
Пример. Бросается игральная кость, «Выпадет число от 1 до 6»
достоверное событие.
События называются совместными, если наступление одного из них
не исключает наступление другого. События А и В называются
несовместными, если их произведение – невозможное событие.
Пример. Бросается игральная кость. События «выпадет 3» и «выпадет
четное» несовместны, а «выпадет 4» и «выпадет четное» совместны.
События являются равновозможными, если по условиям
эксперимента ни одно из этих событий не является объективно более
возможным, чем другие.
Пример.
2»…«выпадет 6» - равновозможные события.
Действия над событиями
Суммой событий A и B называется событие A+B, которое происходит
тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих двух событий.
Событие А+В состоит из тех элементарных исходов, которые входят хотя
бы в одно из событий А или В.
Пример. А – четное число очков; В – кратное 3; А+В = {2,3,4,6}.
Произведением событий А и В называется событие А*В,
заключающееся в том, что события А и В произошли одновременно. А*В
содержит только те исходы, которые одновременно входят как в А, так и в
В.
Пример. Для предыдущего примера А*В = {6}.
Разностью двух событий А и В называется событие А\В, когда
событие А произошло, а В – нет.
Пример. Для предыдущего примера А\В = {2,4}.
Отрицанием события A называется событие А, которое заключается в
том, что событие А не произошло. А = Ω\А.
6
Бросается игральная кость, «выпадет 1», «выпадет
Стр.6
Говорят, что событие А включено в событие В (А ⊂ В), если
появление события А влечет за собой появление события В. Все исходы,
входящие в А обязательно входят и в В.
Задача 1. Два человека играют в шахматы. Событие А – «выиграл
первый». Событие В – «выиграл второй». Сформулируйте словами
следующие события:
а) 𝐵; б) 𝐴∆𝐵; в) 𝐴 + 𝐵.
Задача 2. Из таблицы целых чисел взято случайное число. Событие
𝐴 − «число делится на 5». Событие 𝐵 − «число оканчивается на 0». Найти
𝐴𝐵, 𝐴 − 𝐵.
Задача 3. Событие 𝐴 – «хотя бы одно из четырех изделий
бракованное». Событие 𝐵 – «из четырех изделий не менее двух
бракованные». Найти события 𝐵, 𝐴.
Задача 4. Рабочий изготовил 𝑛 деталей. Событие 𝐴𝑖 – «i-я деталь
имеет дефект». С помощью операций над событиями запишите события: а)
«хотя бы одна деталь имеет дефект»; б) «ни одна из деталей не имеет
дефектов».
Классическое определение вероятности
Классическое определение вероятности применяется в том случае,
когда пространство элементарных исходов Ω конечно, и все исходы,
входящие в него, равновозможны.
Вероятностью события А называется число Р(А) = 𝑚
𝑛 , где m – число
исходов, благоприятствующих событию А, n – общее число исходов.
Свойства, вытекающие из классического определения вероятности:
1) 𝑃(𝐴) ≥ 0 для любого события А;
2) вероятность достоверного события 𝑃(Ω) = 1;
3) 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵), если события А и В несовместны.
Докажем, например, свойство 3. Пусть n – общее число исходов, 𝑚1–
7
Стр.7
число исходов, благоприятствующих А, 𝑚2 – число исходов,
благоприятствующих В. Тогда событию 𝐴 + 𝐵 будет благоприятствовать
𝑚1 + 𝑚2 исходов (так как среди них нет общих). Тогда
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑚1 + 𝑚2
𝑛 = 𝑚1
𝑛 + 𝑚2
𝑛 = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Пример. Студент выучил 20 из 25 вопросов к экзамену. Билет
содержит 3 вопроса. Какова вероятность, что он ответит на них верно?
Решение. P(A) = С203 /𝐶253 = 3∗19
23∗5 = 0.496
Задача 1. Для участия в лотерее нужно на карточке отметить 6 чисел
из 49. Какова вероятность выигрыша, если для этого необходимо угадать
все 6 цифр?
Задача 2. Из карточек с буквами, образующими слово «мастер»,
выбирают 4. Найти вероятность того, что получится слово «тема».
Задача 3. Четырем детям на новый год приготовили подарки, но Дед
Мороз их перепутал и вручил в случайном порядке. Какова вероятность
того, что каждому ребенку достанется его подарок?
Задача 4. В классе учится 20 учеников. Для дежурства после уроков
нужно выбирать троих. Какова вероятность того, что выберут первых трёх
человек по списку?
Задача 5. Шифр кодового замка состоит из 4 цифр. Злоумышленник
пытается открыть замок, не зная шифра. Какова вероятность того, что он
откроет замок с первого раза?
Задача 6. В коробке лежат 𝑚 белых шаров и 𝑛 черных. Из нее по
очереди вытаскивают 2 шара. Найти вероятность того, что оба – белые.
Задача 7. В выпуклом многоугольнике 20 вершин, случайным
образом выбирают 2 вершины и соединяют их прямой линией. Найти
вероятность того, что эта линия – диагональ.
Задача 8. Телефонный номер состоит из 5 цифр. Найти вероятность
8
Стр.8
того, что все цифры в нем различные.
Задача 9. На библиотечной полке стоит 15 книг, 5 из них – в
переплете. С полки берут 3 книги. Найти вероятность того, что они все
будут в переплете.
Задача 10. В коробке лежит 20 шаров с номерами от 1 до 20. Наугад
выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них есть шары с
номерами 1 и 2.
Геометрическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности обобщает классическое
определение на случай бесконечного числа исходов в случае, если
пространство элементарных исходов Ω является подмн-вом ℝ или
ℝ2, … , ℝ𝑛, при этом рассматриваются только такие подмножества, которые
имеют конечную меру, а вероятность выбора точки, принадлежащей
любому подмножеству А множества Ω, зависит только от меры этого
подмножества и не зависит от его расположения внутри Ω. В качестве меры
в ℝ используется длина; в ℝ2 − площадь; в ℝ3,… , ℝ𝑛 объем.
Вероятностью события А называется число Р(А) = 𝑀(𝐴)
𝑀(Ω), равное
отношению меры множества А к мере множества Ω.
Свойства, вытекающие из геометрического определения вероятности:
4) 𝑃(𝐴) ≥ 0 для любого события А;
5) вероятность достоверного события 𝑃(Ω) = 1;
6) 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵), если события А и В несовместны.
Пример (Задача о встрече). P и D договорились встретиться в
определенном месте между 6 и 7 часами вечера. Необходимо найти
вероятность их встречи, если они могут появиться на этом месте в течении
данного часа случайным образом, причем P сможет подождать 20 минут, а
D – 5 минут.
Решение. Обозначим через x – через сколько минут после начала часа
9
Стр.9
пришел P; y – через сколько минут после начала часа пришел D. 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤
60. Тогда, чтобы P и D встретились, необходимо выполнение условий:
{𝑦 − 𝑥 ≤ 20
𝑥 − 𝑦 ≤ 5
Графически область пересечения данных неравенств изображена на рис.1.
𝑀(Ω) = 3600, 𝑀(𝐴) = 3600 − 402
Рис. 1. Задача о встрече.
2 − 552
2 = 1287.5 ; 𝑃(𝐴) = 1287,5
3600 = 0.353
Задача 1. Из отрезка [0; 2] выбирают случайным образом два числа.
Какова вероятность, что их сумма больше единицы?
Задача 2. Выбирают 2 числа из отрезка [0; 1]. Определите
вероятность того, что их произведение меньше 0.5.
Задача 3. Два человека договорились о встрече. Они приходят на
место встречи в интервале от 0 до 𝑇 часов и ждут в течение времени 𝜏 < 𝑇.
Какова вероятность того, что они встретятся?
Задача 4. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата 𝑎
бросается монета радиуса 𝑟 < 𝑎
2. Определить вероятность того, что:
а) монета попадает целиков внутрь одного квадрата;
б) монета пересечет не более одной стороны квадрата.
Задача 5. Внутри квадрата с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1)
наудачу выбирают точку 𝑀 с координатами (𝑥, 𝑦). Найти вероятность
события 𝐴 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑎2, 𝑎 > 0}.
10
Стр.10