Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 503061)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
"Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта."

Метод характеристик решения уравнений с частными производными второго порядка (90,00 руб.)

0   0
АвторыСадчиков Павел Валерьевич
ИздательствоИздательский дом ВГУ
Страниц22
ID673188
АннотацияВ данном пособии излагается суть метода характеристик решения уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными, дается подробный алгоритм приведения к каноническому виду уравнений второго порядка разных типов, рассматривается задача Коши для уравнения гиперболического типа. Пособие содержит краткое теоретическое обоснование, примеры решения задачи контрольные задания, используемые на практических занятиях.
Кому рекомендованоРекомендовано для студентов 1–4-го курсов математического факультета.
Метод характеристик решения уравнений с частными производными второго порядка [Электронный ресурс] / П.В. Садчиков .— Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2017 .— 22 с. — 22 с. — Режим доступа: https://rucont.ru/efd/673188

Предпросмотр (выдержки из произведения)

Метод_характеристик_решения_уравнений_с_частными_производными_второго_порядка.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Учебно-методическое пособие Составитель П.В. Садчиков Воронеж Издательский дом ВГУ 2017
Стр.1
ВВЕДЕНИЕ В данном пособии излагается суть метода характеристик решения уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными, дается подробный алгоритм приведения к каноническому виду уравнений второго порядка разных типов, рассматривается задача Коши для уравнения гиперболического типа. Пособие содержит краткое теоретическое обоснование, примеры решения задач и контрольные задания, используемые на практических занятиях. 3
Стр.3
ПРИМЕРЫ ПРИВЕДЕНИЯ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение 2 uxuxy 2cos Решение. Так как 22 (3 sin )x uyy c  xx yu  .    x y 0 ba cos 3 sin 4 x   , то исходное уравне2 ние принадлежит гиперболическому типу. Составим уравнения характеристик: ady b b ac dx dy     2 ady b b ac dx dy     . 2     ( () ( 2sin 2sin x xy c x xy c     ( cos 2) 0 cos x dx2) x dx 0 Проинтегрируем данные уравнения и получим 1 , 2. Введем новые независимые переменные 2sin ,  x xy  2sin .   x u ; x  x u  x     x x x xx u u  x xy  Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение: xx (2 cos ) (2 cos ) uu u   u u ; uu u   yy y uu u       x uu u   y 22  y y y x y  x y x u uu u () (2  cos x)u 2cos xu yy 22 ; xy  y x   Подставим полученные выражения в исходное уравнение:      xy     (2 cos ) . u yy u  x y u yy u   xy 6    xu  u       u u u u  2(2  cos x) u  2(2 cos )(2 cos )xxu  (2 cos ) u  sin xu  sin ; 22 2 2 u   xx  xx    )
Стр.6
xx (3 sin )x uyy  yu  (2 cos x) u    uxuxy x 2cos 2(2 cos )(2 cos )                 2cos ( (2 cos ) 2cos xu  (2 cos ) )  (3 sin )( 2 xxu 2 u что 16 (sin )  Зная, sin  2 uu u  xu u u y u u )     ) (   x y u xy u u xy u u  xu  (2 cos )x u  sin xu  sin xu   22 2 y   x u (sin ) 16 (sin )(    x xy  2sin , 2sin ).  x xy  , находим xy   . Следовательно, канонический вид исходного уравнения: 32 () 0    . y u xyu x u yu  Решение.  xy yy ba 20c  x y x y x y 22 2 2 2 22 xx 22 0 Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение y  .    . Следовательно, уравнение принадлежит 2 Определим 2 эллиптическому типу. Составим уравнение характеристик: 2 yd () 0 x ix dx  . y xy ixy dx  , ydy () 0 дующим образом: 22 x uu u    uu u    yu ; u u u 24 8  22 ; xx uu  x uu u   y yy 24 2 ; 22 2  y  y y u      yy u uyy  7 y u u     x x y    u xu xu xu 4 22 2 u     xx  x u xx   2   2    Получим общий интеграл последнего уравнения: 22 2 Таким образом, новые независимые переменные будут выглядеть сле y  x . x yix c  . , xu xu ; 2 Посчитаем частные производные: xx 22x yy 2  тип уравнения: 
Стр.7
u u      xy     xy  y x x y x y u  u u xy x y y u xyu x u yu y xu xu xu u u xy xyu xyu 44 2 xx 22 (4 84 2 2 xy   Очевидно, что 2 2( 4 22  го уравнения:    uu u     u 11 0 2 . tg  xu  . Решение. Так как 22 2 xu y xu y uyy  tg xx 2 tg xy x 0 tg Пример 3. Привести к каноническому виду уравнение 22 3 bac  , то исходное уравне2 y x y xtg 0 2 ние принадлежит параболическому типу. Уравнение характеристик выглядит следующим образом: tg 2 xdy y xdx , или tg tg xdy ydx  . 0 Проинтегрируем данное уравнение и получим: ln yx c Положим  yx sin  (, )x y . ln sin . . В качестве второй функции возьмем функцию  y , обеспечивающую отличие от нуля якобиана преобразования  (, ),x y uu u y xu ; uu u   xx x     yy siny Пересчитаем частные производные: cos    xu u ; 8 0  yy   4 ) 2 2 xy u x u y u .   2 y   , x  Значит, канонический вид исходно2 . y    x y u u y yu x y u  22 (4    ) ( 2 )4   2    2 2 2    )  2    2 u () 4xyu xyu  4 . Подставим полученные выражения в исходное уравнение: 22 2
Стр.8
uu u   x u u2u  x x x y y y xy x y  x y  xu yxu cos xx 2 tg xy xx 2cos xu ysin xu; yy    y uu u  y x 22 2 u xx u       y 22 2 u yy  () sin cos xu cos .      xy    y u  x y u   xy u x tg   tg xu  tg ( cos xu y xu 2   cos )  tg cos  xu y xu y uyy 2 tg ( sin cos    Зная, что 2 2 sin x y x y x xu y xu 32 cos xy xu y u y xu  yx uu 0 .   МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК Метод приведения уравнения второго порядка (1) к каноническому виду и решение полученного при этом уравнения носит название метода характеристик. Рассмотрим пример решения уравнения параболического типа. Пример 4. Найти общее решение уравнения: 2 x x uxx  2xyuxy  y uyy  xu  yu  0 . 2 y дискриминант уравнения равен нулю: b ac x y  x y  2 2 2   , ( , )  xy, приводится к виду:  v v или 9    0 x u x y  v( , ) Решение. Заданное уравнение имеет параболический тип (так как   2 2 0 ) и заменой: (5) 2 sin . ,  y , находим канонический вид уравнения: xu y (sin xu  2sin xu u 22 x y   )   2 2   sin )  u       sin xu  2sin xu u  u xx u yy   2   ; Подставим полученные выражения в исходное уравнение 22 3
Стр.9
( v) 0 .   Проинтегрируем последнее равенство и получим 1 ( )   v  или v   где где 1( ) 1 ( )  ( , )  1( ) ln ,  – произвольная функция. Проинтегрировав еще раз, получим ( ) v     2 2 ( ) , (6)  – произвольная функция. В равенстве (6) вернемся к старым переменным, учитывая замену (5). В результате получим общее решение заданного уравнения: ( ) u x y (xy) ln x 2 xy , ( , ) 1 где 1,  2 – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Задача Коши для уравнения (1) с условиями 0 uu (, )   x y ,   u ux y l  1(, ) (7) состоит в следующем. Пусть в области D задано уравнение (1) гиперболического типа и на кривой  , которая принадлежит области D или является частью границы области D , заданы функции 0 ux y , (, ) ux y и направле1(, ) ние (, )lx y . Требуется найти функцию (, )ux y , которая в области D является решением уравнения (1) и на кривой  удовлетворяет условиям (7). 10
Стр.10

Облако ключевых слов *


* - вычисляется автоматически