Метод квазинормальных форм (190,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова С. Д. Глызин, А.Ю. Колесов МЕТОД КВАЗИНОРМАЛЬНЫХ ФОРМ Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по специальностям Математика и Прикладная математика и информатика ЯРОСЛАВЛЬ 2011

Стр.1

УДК 517.925+517.928 ББК З 965.6я 73 Г 55 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2010 / 2011 учебного года Рецензенты: Соболев В. А., доктор физико-математических наук, профессор; кафедра прикладной математики и вычислительной техники Ярославского государственного технического университета Глызин, С. Д. Метод квазинормальных форм: учебное пособие / С. Д. Глызин, А.Ю. Колесов; Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. – Г 55 Ярославль: ЯрГУ, 2011. – 104 с. ISBN 978-5-8397-0803-7 Изложена теория квазинормальных форм в приложении к краевым задачам параболического и гиперболического типов и дифференциальным уравнениям с большим запаздыванием. Приводится эффективный алгоритм построения квазинормальной формы и вычисления ее коэффициентов. Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 010100 Математика и 010200.65 Прикладная математика и информатика, дисциплина «Численные методы анализа динамических систем» (блок ДС), очной формы обучения. Рис. 4. Библиогр.: 64 назв. УДК 517.925+517.928 ББК З 965.6я 73 ISBN 978-5-8397-0803-7 - Ярославский государственный университет c им. П.Г. Демидова, 2011

Стр.2

Оглавление Введение 1. Квазинормальные формы систем параболического типа 2. Метод квазинормальных форм в задачах гиперболического типа 4 7 1.1. Алгоритмическая часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Пример уравнения Хатчинсона . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 33 2.1. Высокомодовая буферность в RCLG-линии . . . . . . . . . . 33 2.2. Явление буферности в RCLG-линии с малыми искажениями 39 2.3. Автоколебания в системе Витта при резонансном спектре собственных частот . . . . . . . . . . . 44 2.4. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3. Метод квазинормальных форм для систем с запаздыванием 59 3.1. Постановка проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2. Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3. Доказательство теоремы 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Литература 98 3

Стр.3

Введение В конце 19 — начале 20 века А. Пуанкаре поставил задачу качественного анализа дифференциальных уравнений. Успехи современных математических теорий, касающихся исследования поведения нелинейных динамических систем, так или иначе связаны с решением именно этой задачи. В ряду инструментов, разработанных для качественного анализа систем нелинейных дифференциальных уравнений, важное место занимает метод нормальных форм. Идея метода была высказана Пуанкаре в его диссертации и состояла в нахождении такого класса автономных динамических систем, которые можно было бы с помощью специальных замен свести к линейным. На этом пути было введено понятие резонансности собственных чисел матрицы линейной части системы и доказано, что в случае отсутствия таких резонансов сведение возможно. Позднее А. Дюлак выполнил обобщение этого результата на резонансный случай и показал, что в этой ситуации простейшим видом преобразованной системы является выражение, содержащее в правой части, наряду с линейными слагаемыми, еще и не уничтожаемые заменами резонансные члены. Такую систему называют нормальной формой, и ее построение позволяет успешно проанализировать локальную динамику изучаемой системы. Однако по-настоящему действенным метод нормальных форм стал после работ, принадлежащих Н.М. Крылову, Н. Н. Боголюбову и Ю.А. Митропольскому [2,43,48], в которых разрабатывались асимптотические методы нелинейных колебаний. Нормализация динамической системы на устойчивом интегральном многообразии позволяет выделить систему малой размерности, отвечающую за локальные свойства исходной системы. В настоящее время методу нормальных форм посвящено большое число различных исследований, отметим здесь лишь [3,4,9,57,58,64]. Сказанное делает актуальной разработку по возможности более экономного алгоритма построения нормальной формы. Заметим, что наиболее интересные выводы о качественном поведении получаются при изменении параметров динамической системы в окрестности критических значений, в 4

Стр.4

5 этом случае величина надкритичности служит естественным малым параметром, по которому удобно строить асимптотические формулы устойчивых решений изучаемой задачи. В то же время нормальная форма строится именно при критических значениях параметров, поэтому впоследствии возникает задача такого масштабирования возмущенной нормальной формы, чтобы полученная система могла быть удобно проанализирована, например, численными методами. В пособии [7] предлагается алгоритм, в ходе выполнения которого укороченная нормальная форма возникает из условий разрешимости для одного из слагаемых нормирующей замены, при этом она уже оказывается подходящим образом масштабированной по входящим переменным. В большом числе математических моделей, пространство состояний которых бесконечномерно, естественным образом возникает ситуация, когда в задаче об устойчивости решений такой модели имеет место бесконечномерное вырождение. Такая ситуация возможна в краевых задачах параболического и гиперболического типов, а также в уравнениях с большим запаздыванием. Отметим, что в случае конечномерного вырождения даже в ситуации уравнений с распределенными параметрами может быть обосновано применение классических методов нелинейного анализа — теоремы о центральном многообразии и метода нормальных форм, которые приводят к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Естественно предположить, что при бесконечномерном вырождении, пользуясь аналогичными алгоритмами, можно получить бесконечномерные системы уравнений, а затем привести их к некоторым краевым задачам, устойчивые или дихотомичные режимы которых имеют соответствием режимы исходной системы той же устойчивости. Возникает закономерный вопрос о том, можно ли получить некоторые простейшие нелинейные краевые задачи в результате процесса некой «формальной нормализации». Начиная с Г. Хакена, этому вопросу уделяли большое внимание [54], причем обычно a priori считалось, что решения исходной динамической системы зависят от «быстрых» и «медленных» переменных, а сама система рассматривалась в окрестности точки какой-нибудь бифуркации. Далее проводилось усреднение по быстрым переменным, в результате которого получалось модельное уравнение, зависящее только от медленных переменных. Таким способом были выведены, например, уравнение Гинзбурга–Ландау ξt = κ0ξxx +κ1ξ −κ2|ξ|2ξ, (1)

Стр.5