Механика деформируемых тел. Упругость. Деформация

Представлен материал по основным разделам сопротивления материалов. Изложены основы теории, рассмотрены методы расчетов деформируемых элементов конструкций.

Учебное пособие предназначено для инженерно-технических направлений и специальностей механико-технологического факультета и в нем сделан акцент на самые ключевые проблемы курса сопротивления материалов. Пособие охватывает основные вопросы статической прочности, жесткости и устойчивости стержня при простых деформациях (растяжение-сжатие, кручение и плоский изгиб) и сложных деформациях. Также рассмотрены динамические задачи (расчет элементов конструкций при движении с ускорением, инженерная теория удара, расчет на прочность при колебаниях) и даны элементы теории пластин и оболочек. По всем темам приводятся типовые примеры с решениями.

Целью настоящего учебника является комплексное изложение особенностей обратных задач. Cобраны и изложены наиболее часто встречающиеся в приложениях обратные и некорректные задачи с большим количеством примеров. В учебнике представлены основные понятия, определения, теоремы функционального анализа и теории обратных и некорректных задач, перечислены их основные свойства. Изложены методы регуляризации и численные схемы их реализации, способы преодоления некорректности. Исследованы модельные линейные и нелинейные обратные задачи. В конце каждого раздела предлагаются контрольные вопросы и проектные задания.

Сформулирована задача об идентификации неоднородного предварительно напряженного состояния в термоупругих телах. Для решения поставленной задачи на основе слабой постановки прямой задачи термоупругости в трансформантах Лапласа получены операторные уравнения, связывающие искомые и измеряемые функции. В качестве примера рассмотрена итерационная процедура идентификации начального состояния полого цилиндра. Приведены результаты вычислительных экспериментов по восстановлению функций разных типов

Для несущей конструкции балочно-стержневого типа предлагается вариант нахождения области безопасной эксплуатации при действии сверхнормативной нагрузки. Рассматривается нагружение силового каркаса кабины локомотива при наезде на препятствие. Предложенная детерминированная инженерная оценка напряженного состояния сложной конструкции позволяет определить предельную поверхность в трехмерном пространстве представительных параметров препятствия и скорости движения локомотива. Такая поверхность ограничивает область безопасной эксплуатации транспортного средства в заданных интервалах изменения параметров препятствия. На примере расчета кабины локомотива показано, каким образом необходимо обосновать требование сохранения ее прочности, и тем самым сохранить безопасность работы машинистов и дорогостоящего оборудования кабины

В рамках модели идеально пластического изотропного тела на основе решения задач Ламе для однослойной и двухслойной труб, а также критерия текучести Губера — Мизеса предложена модель для прогнозирования прочности цементного кольца, примыкающего к стволу добывающей скважины, без учета внутренних и температурных напряжений

В работе рассматриваются вопросы упрочнения обрабатываемых точением материалов и оценка физико-механического состояния поверхностного слоя деталей по накопленной энергии деформации и ее взаимосвязи с общей энергией резания

Для однородного консольного стержня постоянного сечения, находящегося под действием распределенной нагрузки и сосредоточенных сил, в пространстве параметров внешних воздействий найдена кривая, определяющая границу области квазистатического процесса. При пересечении ее траекторией нагружения, происходит смена вида квазистатического процесса. Исследования проводились на основе вариационного метода

В работе рассматриваются уравнения состояния сплошной среды для случая двойственного равновесия, которое реализуется в теории материальных сил. В статье обсуждается возможность распространения метода материальных сил на модель хрупкого разрушения упругопластического континуума в рамках синтетической теории прочности. Приведены соотношения квазистатического равновесия континуума, подверженного действию материальных поверхностных и объемных сил

Работа посвящена аналитическому исследованию состояния сложного нагружения упругопластического тела. Получены определяющие уравнения в случае ортогонального догружения и соответствующие дифференциальные уравнения характеристик

Рассматривается один из способов уменьшения термомеханических напряжений при обработке образца балочного типа по боковой поверхности и тонкого диска по центральному круговому отверстию лазерным лучом. Получены аналитические выражения температуры в обоих случаях. Решены задачи по определению температурных напряжений при нагреве образцов с учетом теплообмена на их поверхностях. Проведено сравнение решений при наличии теплообмена и в его отсутствие. Показано, что для подавления разрушения нагреваемых образцов можно использовать обдув боковой поверхности

Показано, как по измеренным смещениям на границе цилиндрической выработки (шахтного ствола) в рамках модели идеально-пластического тела определяется деформированное состояние массива пород вокруг выработки, кроме того, находятся упругопластическая граница и смещения в пластической области деформирования

в работе приводится решение задачи об определении напряжений и деформаций в случае нагружения упрочняющейся упруговязкопластической трубы нормальной нагрузкой, приложенной к внутреннему и внешнему ее контурам. При этом в напряженно-деформированном состоянии проводится учет температурных эффектов. Свойства материала трубы в пластической области описываются с помощью модифицированного условия пластичности Треска-Сен-Венана. Предел текучести является функцией температуры, а модуль упругости E, коэффициент линейного температурного расширения α, коэффициент упрочнения c, коэффициент вязкости η, считаются независящими от температуры. Коэффициент Пуассона материала трубы ν предполагается равным 1/2

Представлены особенности использования технологии двухсторонней лазерно-ударно-волновой обработки (ДЛУВО) материалов и ее отличия от традиционной односторонней лазерно-ударно-волновой обработки (ЛУВО). В работе в конечно-элементной постановке исследуются поля остаточных напряжений (ОН), возникающие в тонкой пластине из титанового сплава ВТ-6 при использовании технологии ДЛУВО. Анализируется механизм взаимодействия волн напряжений при их лобовых столкновениях.

Исследовано влияние характера микроструктуры, обусловленной ориентированным или хаотичным распределением нановключений, и скорости деформации на деформируемость нанокомпозита. Установлено, что при идентичных условиях нагружения в нанокомпозитах, элементы структуры которых ориентированы преимущественно в одном направлении, трещинообразование происходит при меньших значениях деформации, чем в нанокомпозитах с хаотическим распределением упрочнителя. Показано, что при увеличении скорости деформации влияние упорядоченности структуры на предельную деформацию уменьшается за счет перехода от сдвигового механизма деформации к ротационному. При формировании связи путем сварки взрывом металла и нанокомпозита трещинообразования не происходит. В результате проведенных экспериментов, в которых исследовались поперечный изгиб двухслойных сварных балок и структура в окрестности сварного шва, установлено, что полученное соединение металл — нанокомпозит имеет однородную структуру, сохраняющуюся при деформировании, разрушение происходит в нанокомпозите

В работе впервые теоретически показана возможность расчета характеристик упругого состояния композиционного материала и возможности их изменения с помощью внешнего энергетического поля. Результат предлагается использовать для изготовления покрытий с заданными эксплуатационными и адгезионными свойствами

Дан метод решения задачи теории упругости, позволяющий обеспечить снижение концентрации напряжений в среде, армированной однонаправленными волокнами, путем оптимизации формы поперечных сечений волокон

Рассматривается распространение волн в упругом полупространстве от источников вибраций, которые могут моделировать динамические воздействия на массив грунта при проходке тоннелей, сооружаемых щитовым способом. Для получения результатов используется теорема взаимности и известные аналитические решения о распространении волн в упругом полупространстве при воздействии вертикальной и горизонтальной силы

Рассматривается задача упругопластической бифуркации круговой тонкостенной цилиндрической оболочки. Решение строится на основе теории устойчивости неупругих систем при сложном нагружении В.Г. Зубчанинова . Используются условие несжимаемости материала и условие однородности напряженного состояния в оболочке до момента потери устойчивости.

На основе модели шероховатой поверхности трения и принципа равнопрочности проведен теоретический анализ по определению функции натяга для соединения подкрепляющего кольца с твердосплавной волокой, обеспечивающей минимизацию напряжений во внутреннем контуре волоки.

Изучение особенностей микроструктуры области перехода откольной трещины в полосу адиабатического сдвига основано на откольной модели локализации деформации, согласно которой полосы адиабатического сдвига являются результатом интерференции волн разгрузки, в зоне растяжения которых величина отрицательного напряжения не превышает динамической прочности материала. Показано, что область перехода содержит огромное количество скоплений дислокаций, существенно превышающее число скоплений дислокаций, созданных ударной волной. Обнаружение в зоне интерференции волн разгрузки очагов разрушения микронного размера предполагает, что мелкие очаги в поликристаллическом материале зарождаются на дислокациях, возникающих в процессе динамического растяжения

Рассмотрены способы описания траектории распространения трещины в дефектных материалах, к которым также можно отнести материалы в стадии предразрушения.

Работа посвящена моделированию взаимодействия литосферных структур, контактирующих вдоль прямолинейных разломов. Масштабное техногенное воздействие на литocферную oбoлочку, в том числе связанное с отбором углеводородов, нередко усугубляет сейсмическую активность. Проявления индуцированной сейсмичности стимулируют интерес к изучению напряженно-деформированного состояния литосферных структур. В масштабе строения Земли литосферные плиты можно рассматривать в качестве покрытий относительно малой толщины, что приводит к исследованию задач о взаимодействии блочных структур как разделенных контактирующих деформируемых пластин, расположенных на упругом основании. Рассматриваются задача об установившихся колебаниях составного покрытия, а также задача статического взаимодействия двух пластин на упругом слое под действием поверхностной нагрузки, заданной в ограниченной области. Составляющие покрытия представляют собой полуплоскости, граничащие вдоль прямой, с усредненными по толщине параметрами. Координатная плоскость связана со срединной поверхностью покрытия. Контакт между покрытием и подложкой считается идеальным. С учетом гипотезы прямых нормалей в области стыковки пластин задаются 4 граничных условия. Для построения решения использованы метод собственных функций и метод факторизации. Получаемые в ходе решения функциональные уравнения решаются с помощью метода Винера  Хопфа. Приведены примеры расчета амплитуд перемещений поверхности пластин для установившихся колебаний при различных условиях в зоне их контакта. В случае, если геофизическую среду можно смоделировать описанной структурой, результаты работы модели позволят диагностировать наличие и тип разлома, основываясь на данных обработки сигнала виброисточника.

Изучены колебания упругой балки с зоной деструкции, моделируемой включением эллипсоидальной формы с измененными физическими характеристиками. Исследовано влияние параметров включения на резонансные частоты, построена формула для поправок. Решена обратная задача о поэтапном определении геометрических и физических параметров включения по значениям резонансных частот.

Рассмотрена задача о равновесии нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями, источником которых служит изолированный дефект – клиновая дисклинация или винтовая дислокация – на оси цилиндра. С использованием полуобратного метода нелинейной теории упругости проанализировано напряженно-деформированное состояние цилиндра для двух моделей материалов – полулинейного и Блейтца и Ко общего вида. В рамках теории эффектов второго порядка получены аналитические выражения для коэффициента изменения длины цилиндра в зависимости от материальных параметров моделей материалов и характеристик дефектов. Проведено их сравнение с результатами численного решения нелинейных краевых задач.

Исследовано аналитическое решение осесимметричной задачи о деформации изотропного полупространства при упругом закреплении границы вне области приложения нормальной нагрузки. Получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода для определения входящей в решение неизвестной функции, характеризующей плотность нагрузки в круговой области. Предложен алгоритм расчета нормального напряжения на границе. Изучены закономерности распределения напряжения на упруго закрепленной части границы в случае, когда в круговой области приложена нагрузка постоянной интенсивности.

Рассмотрены прямая и обратная краевые задачи о колебаниях пьезокерамического стержня при неоднородной продольной поляризации, которая моделируется зависимостью пьезомодуля от продольной координаты. Торцы стержня свободны от напряжений и электродированы; к электродам подведена осциллирующая с фиксированной частотой разность потенциалов, вызывающая колебания стержня. На основе краевой задачи для дифференциального оператора с переменными коэффициентами сформулировано операторное уравнение Фредгольма второго рода в прямой задаче, которое решается численно на основе метода коллокаций. Получены представления амплитудно-частотных характеристик относительного смещения торцов и функции тока. Обратная задача о реконструкции функции, характеризующей степень неоднородности поляризации, рассмотрена в двух постановках. В первой задано поле смещений внутри стержня. Для ее решения достаточно исследовать квадратичную функцию, коэффициенты которой находятся численным дифференцированием заданного поля. Во второй решение обратной задачи ищется по дополнительной информации об амплитудно-частотной функции тока. При решении нелинейной обратной задачи использован метод построения итерационного процесса, основанный на процедуре линеаризации. Сформулировано операторное уравнение Фредгольма первого рода для каждого шага итерационного процесса. При численном решении использован метод регуляризации А.Н. Тихонова. Представлены результаты вычислительных экспериментов для различных типов неоднородностей.

В общем виде поставлена обратная задача об определении неоднородных характеристик термоупругого тела по некоторой дополнительной информации. Сформулирована слабая постановка задачи о колебаниях термоупругих тел для общего случая нагружения. На основе такой постановки предложен итерационный способ построения решения обратной задачи. В качестве конкретного примера рассмотрены две одномерные задачи о реконструкции пары коэффициентов уравнений термоупругости. Решение прямой задачи сведено к последовательному решению уравнений Фредгольма 2-го рода. Представлены результаты вычислительных экспериментов.

Изучена зависимость показателя концентрации напряжений в вершине неоднородной клиновидной среды от геометрических и механических характеристик в её окрестности. На основе специального представления решения рассматриваемая проблема сведена к спектральной задаче для квадратичного пучка операторов, обладающих специальными свойствами. Установлено существование критических углов раствора клиновидной среды, при которых появляется особенность напряжений в вершине клина. Описаны результаты численного анализа некоторых задач указанного класса.

Задача сводится к совместному решению численно-аналитически двумерного интегрального уравнения и интегро-дифференциального уравнения движения штампа. Применяется метод ломанной с помощью аппроксимации заранее неизвестной полуширины области контакта ломаной линией. В частном случае, когда скорость полуширины области контакта меньше скорости волны Релея, решение задачи строится по упрощенной схеме с помощью аппроксимации полуширины области контакта ступенчатой линией.

Рассмотрена задача об устойчивости нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями, источником которых является клиновая дисклинация. На основе модифицированного полуобратного представления нелинейной теории упругости получены уравнения нейтрального равновесия для двух моделей материалов: полулинейного и Блейтца и Ко общего вида. На основе бифуркационного подхода изучено существование решений линеаризованных краевых задач. Получены критические значения кратности удлинения/укорочения цилиндра от параметра дефекта при растяжении и сжатии.

Рассмотрена задача об определении перемещений и резонансных частот собственных колебаний круглой пластины переменной жесткости с различными граничными условиями. Задача сведена к краевой задаче для дифференциального оператора четвертого порядка с переменными коэффициентами и решена численно методом Ритца. Определены собственные частоты и формы колебаний, прогиб пластинки на заданной частоте. Решена обратная задача об определении коэффициентов жесткости на краю на основе различных подходов: с помощью измерения прогиба в некоторых точках и на основе измерения набора резонансных значений.

Обсуждается вопрос об аттестации определяющих соотношений материалов с эффектом памяти формы. Один из основных вопросов при аттестации определяющих соотношений состоит в их идентификации. В статье для конкретного варианта определяющих соотношений А.А. Мовчана предлагаются базовый эксперимент и соответствующая методика определения материальных констант модели.

Предложена форма упругого потенциала. Рассматривается система экспериментов и процедура определения материальных констант и функций. С использованием известных экспериментальных данных в качестве примера получено конкретное выражение упругого потенциала для вулканизированного каучука.

В статье приводятся постановка и численное решение задачи об одномерном стационарном течении сжимаемой жидкости сквозь твердый пористый каркас из несжимаемого материала с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора.

Проанализированы общие решения некоторых ослабленных систем уравнений в напряжениях в изотропной теории упругости. В эти неэквивалентные классической системы помимо уравнений равновесия входят только три из шести уравнений совместности — диагональные либо внедиагональные. Обсуждена эквивалентность постановок квазистатических краевых задач теории упругости в напряжениях, основанных на данных системах уравнений.

Отмечены особенности поведения вязкоупругих материалов, для описания которых требуется привлечение нелинейных определяющих соотношений. Дана классификация таких определяющих соотношений и сформулированы требования, предъявляемые практикой к их адекватности. Предложена нелинейная теория вязкоупругости, обладающая всеми преимуществами перед теорией, в которой напряжения выражаются через деформации интегральными операторами возрастающей кратности. На одномерном примере показана взаимообратность определяющих операторных соотношений.

Получено в аналитическом виде приближённое решение задачи об изгибе круглой многослойной пластины постоянной толщины, лежащей на упругом основании сложной структуры. Пластина изгибается под действием осесимметричной распределённой нагрузки и реакции со стороны основания. Упругое основание представляет собой непрерывно-неоднородный по толщине слой (покрытие), лежащий на однородном полупространстве (подложке). Модуль Юнга в зоне сопряжения покрытия и подложки имеет существенный скачок. Для пластины рассмотрены два случая граничных условий: условия закреплённого и свободного края.

Приводятся постановка и численное решение задачи об одномерном стационарном течении сжимаемой жидкости сквозь твердый пористый каркас из несжимаемого материала с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора.

Проанализированы общие решения некоторых ослабленных систем уравнений в напряжениях в изотропной теории упругости. В эти неэквивалентные классической системы помимо уравнений равновесия входят только три из шести уравнений совместности - диагональные либо внедиагональные. Обсуждена эквивалентность постановок квазистатических краевых задач теории упругости в напряжениях, основанных на данных системах уравнений.

Отмечены особенности поведения вязкоупругих материалов, для описания которых требуется привлечение нелинейных определяющих соотношений. Дана классификация таких определяющих соотношений и сформулированы требования, предъявляемые практикой к их адекватности. Предложена нелинейная теория вязкоупругости, обладающая всеми преимуществами перед теорией, в которой напряжения выражаются через деформации интегральными операторами возрастающей кратности. На одномерном примере показана взаимообратность определяющих операторных соотношений.

Тензор напряжений выражен через произвольное симметричное тензорное поле второго ранга и тензор моментных напряжений. Даны представления для тензоров напряжений и моментных напряжений через произвольные тензорные поля, удовлетворяющие однородным уравнениям равновесия, а также такие выражения этих тензоров, которые удовлетворяют неоднородным уравнениям равновесия микроконтинуальной теории упругости. Введены в рассмотрение тензоры-функции напряжений.

В работе изучается третья краевая задача для полосы в первом приближении с применением полиномов Лежандра, рассматриваются вопросы удовлетворения граничным условиям на лицевых линиях и торцах.

Экспериментально определен поперечный модуль резинокорда. Показано, что в рамках моделей эффективного волокна и эффективного слоя проблематично одинаково удовлетворительно описать жесткости на изгиб и жесткости на поперечное сжатие.

Исследуется пространственная задача о контактном взаимодействии тонкой кольцевой жесткой накладки с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием, направленным параллельно границе полупространства. Предполагается, что накладка не сопротивляется изгибу. Задача сводится к интегральному уравнению первого рода с ядром, имеющим логарифмическую особенность. Приближенное решение уравнения находится с помощью метода Мультоппа–Каландии и сравнивается с ранее полученным асимптотическим решением.

Представлен способ построения внутреннего тензора Эшелби для слабоанизотропной упругой среды.

Граничные задачи механики горных пород являются многопараметрическими, и зависимость искомых решений от них может быть сложной. Влияние одних параметров на решение может быть очень заметным, в то время как других незначительным. Характер зависимости решения от параметров становится известным после обращения граничной задачи. Обращение граничной задачи и исследование поведения решения в зависимости от значений параметров, как правило, достигается численными методами, при этом встает ряд вопросов относительно точности решения, описания влияния параметров на решение при одновременном их изменении. В настоящее время известны решения частных обратных задач в зависимости от одного параметра. В статье предлагается принципиально новый метод решения обратных многопараметрических задач, основанный на полученных точных уравнениях, связывающих граничные значения компонент напряжений и смещений и исключающих регуляризацию.

Представленный материал является частью исследований авторов в области влияния инновационного развития угольного бизнеса на конкурентоспособность региона. Описывается концептуальная модель инновационной трансформации угольной отрасли Кузбасса, основанная на использовании принципов согласования интересов бизнеса и власти с целью повышения конкурентоспособности региона. На ее базе предлагается разработать “дорожную карту” модернизации территориального угольного комплекса, что должно создать условия для перехода угольной отрасли от нынешнего положения донора к роли драйвера развития экономики Кемеровской области. Одновременно это позволит оценить масштабы федеральных и региональных ресурсов, которые целесообразно задействовать для практической реализации этого амбициозного, сложного и дорогостоящего “проекта”.

Теоретически доказано существование нелинейной экстремальной зависимости абсолютного метановыделения из разрабатываемого угольного пласта от производительности очистного забоя. Приводятся фактические и теоретические доказательства снижения абсолютного метановыделения из разрабатываемого угольного пласта при высоких скоростях подвигания очистного забоя.

С использованием уравнений механики поврежденной среды (МПС) развита математическая модель, описывающая процессы вязкопластического деформирования и накопления повреждений в конструкционных сталях с учетом усталости и ползучести материала. Предложена модель суммирования повреждений при взаимодействии малоцикловой усталости и ползучести материала. Определены материальные параметры и скалярные функции уравнений МПС. Численно исследованы процессы вязкопластического деформирования и накопления усталостных повреждений в конструкционных сталях марок 08Х18Н10Т, 12Х18Н9, проведено сравнение полученных результатов с данными натурных экспериментов.