ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮжНыЙ ФЕДЕРАЛЬНыЙ уНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики, механики и компьютерных наук В. Б. Левенштам ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БОЛЬШИМИ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ (Усреднение и асимптотики) Ростов-на-Дону Издательство Южного федерального университета 2008 уДК 517.928 ББК 22.161.6 Л 35 Печатается по решению редакционно-издательского совета Южного федерального университета Рецензенты: доктор технических наук, главный научный сотрудник Южного научного центра РАН Ильичев В. Г., доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета Карапетянц А. Н. <...> Дифференциальные уравнения с большими высокочастотными слагаемыми. (усреднение и асимптотики) / В. Б. Левенштам. <...> Решаются, в основном, следующие вопросы: для исходной задачи построение усредненной (предельной) задачи; обоснование метода усреднения (предельного перехода), включая для задач по всей оси изучение вопросов устойчивости и неустойчивости решений по Ляпунову; построение полных асимптотик решений и их обоснование. <...> Непосредственное применение разностных методов к дифференциальным уравнениям с быстро осциллирующими членами (частота осцилляций — большой параметр) связано с известными серьезными проблемами. <...> По этим причинам для приближенного решения уравнений с быстро осциллирующими членами асимптотические методы необходимы, и важнейшим из них является метод усреднения. <...> Метод усреднения зародился в работах по небесной механике в то время, когда методов возмущений Лагранжа и Лапласа оказалось уже недостаточно, поскольку при их использовании в приближенном решении появляются так называемые вековые члены. <...> XX в. метод усреднения переоткрыл голландский инженер Ван-дер-Поль, использовавший его на интуитивном <...>
Дифференциальные_уравнения_с_большими_высокочастотными_слагаемыми_(Усреднение_и_асимптотики).pdf
уДК 517.928
ББК 22.161.6
Л 35
Печатается по решению редакционно-издательского
совета Южного федерального университета
Рецензенты:
доктор технических наук, главный научный сотрудник
Южного научного центра РАН Ильичев В. Г.,
доктор физико-математических наук, профессор кафедры
дифференциальных и интегральных уравнений
Южного федерального университета Карапетянц А. Н.
Монография подготовлена и издана в рамках национального проекта «Образование»
по «Программе развития федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет на 2007–2010 гг.»
Л 35
Левенштам В. Б.
Дифференциальные уравнения с большими высокочастотными
слагаемыми. (усреднение и асимптотики) / В. Б. Левенштам. –
Ростов н/Д: Изд-во ЮФу, 2008. – 368 с.
ISBN 978-5-9275-0414-5
Монография посвящена развитию теории метода усреднения Крылова–
Боголюбова для дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми,
среди которых имеются пропорциональные положительным степеням
частоты. Интерес к уравнениям с такой спецификой обусловлен прежде
всего тем, что к ним относятся математические модели ряда физических
явлений, в которых исследователями обнаружены важные высокочастотные
эффекты. Здесь рассматриваются системы обыкновенных дифференциальных
уравнений и уравнений в частных производных первого порядка. Решаются,
в основном, следующие вопросы: для исходной задачи построение
усредненной (предельной) задачи; обоснование метода усреднения (предельного
перехода), включая для задач по всей оси изучение вопросов устойчивости
и неустойчивости решений по Ляпунову; построение полных асимптотик
решений и их обоснование.
Предназначена для студентов, аспирантов, преподавателей и научных
работников, интересующихся асимптотическими методами в теории дифференциальных
уравнений и их обоснованием.
ISBN 978-5-9275-0414-5
© Левенштам В. Б., 2008
© Южный федеральный университет, 2008
© Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2008
УДК 517.928
ББК 22.161.6
Стр.2
363
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Глава I. Некоторые известные вспомогательные результаты . . . . . . . . 15
§ 1. Элементы функционального анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§ 2. Элементы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Некоторые известные вспомогательные
результаты ..................................................................15
§ 1. Элементы функционального анализа ....................... 15
§ 2. Элементы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений .................................................................. 33
Глава II. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
§ 1. Обоснование метода усреднения для системы
с быстрыми переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
§ 2. Полная асимптотика решения системы
с быстрыми переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§ 3. Обоснование метода усреднения для системы
с быстрыми и медленными переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
§ 4. Полная асимптотика решения системы
с быстрыми и медленными переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Примечания к главе II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Задача Коши ............................................................... 78
Глава III. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задачи о
периодических и почти периодических решениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 1. Обоснование метода усреднения для системы
с быстрыми переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 2. Полная асимптотика решения системы
с быстрыми переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
§ 3. Применение теоремы Л. В. Канторовича для
обоснования асимптотик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
§ 4. Обоснование метода усреднения для системы
с быстрыми и медленными переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
§ 5. Полная асимптотика решения системы
с быстрыми и медленными переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Примечания к главе III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
Примечания к главе II ................................................127
§ 1. Обоснование метода усреднения для системы
с быстрыми переменными ............................................ 78
§ 2. Полная асимптотика решения системы
с быстрыми переменными ............................................ 97
§ 3. Обоснование метода усреднения для системы
с быстрыми и медленными переменными .....................111
§ 4. Полная асимптотика решения системы
с быстрыми и медленными переменными .....................118
Глава IV. Дифференциальные уравнения второго порядка . . . . . . . . 193
§ 1. Задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Введение ..............................................................................3
Глава I
Глава II
Стр.363
364
Глава III
§ 2. Задача о периодических решениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Примечания к главе IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Задачи о периодических и почти
периодических решениях ............................................129
§ 1. Обоснование метода усреднения
для системы с быстрыми переменными ........................129
§ 2. Полная асимптотика решения
системы с быстрыми переменными ..............................150
300
308
§ 3. Применение теоремы Л. В. Канторовича
для обоснования асимптотик .......................................158
Глава V. Дифференциальные уравнения произвольного порядка . . 231
§ 1. Задача Коши. Нелинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
§ 2. Задача Коши. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249
§ 3. Задача о периодических решениях. Главный член асимптотики
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
§ 4. Полная обоснованная асимптотика периодического решения
281
Примечания к главе V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299
Глава VI. Некоторые условия повышения первого перестроечного показателя
Юдовича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
§ 1. Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка
§ 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
§ 4. Обоснование метода усреднения для системы
с быстрыми и медленными переменными .....................169
§ 5. Полная асимптотика решения системы
с быстрыми и медленными переменными .....................182
Примечания к главе VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Глава VII. Уравнения в частных производных первого порядка . . .328
§ 1. Вспомогательный результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
§ 2. Обоснование метода усреднения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
§ 3. Полная асимптотика решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342
Примечания к главе VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Глава IV
Дифференциальные уравнения второго порядка ........... 193
§ 1. Задача Коши ...................................................... 193
§ 2. Задача о периодических решениях ....................... 199
Примечания к главе IV .............................................. 230
Примечания к главе III ...............................................191
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Стр.364
365
Оглавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Дифференциальные уравнения произвольного порядка . 231
§ 1. Задача Êîøè. Нелинейные уравнения .................... 231
§ 2. Задача Êîøè. Линейные уравнения ....................... 249
§ 3. Задача о периодических решениях.
Главный член асимптотики ......................................... 267
§ 4. Полная обоснованная асимптотика
периодического решения ............................................. 281
Примечания к главе V ................................................ 299
Глава VI
Некоторые условия повышения
первого перестроечного показателя Юдовича ................300
§ 1. Нелинейные дифференциальные
уравнения первого порядка .........................................300
§ 2. Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка .........................................308
Примечания к главе VI ...............................................327
Глава VII
Уравнения в частных производных
первого порядка .........................................................328
Глава V
Стр.365
366
Оглавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
§ 1. Вспомогательный результат ................................. 328
§ 2. Обоснование метода усреднения ............................ 335
§ 3. Полная асимптотика решения .............................. 342
Примечания к главе VII ............................................. 355
Литература ......................................................................357
Стр.366