МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ
ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО ТЕМЕ «РЯДЫ ФУРЬЕ»
Учебно-методическое пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2016
Стр.1
1. Определение тригонометрического ряда Фурье
Определение. Ряд вида ()
∞
A0
2 k=0
+
A
k cos kt Bk sin kt
+
S t A0
n ( ) 2
=
t
n
+
t
A
называется тригонометрическим.
Частичные
суммы такого ряда ()
k coskt Bk sin kt
+
k=0
линейными комбинациями функций, входящими в систему функций
{1,sin ,cos ,sin 2 ,cos2 ,sin3 , }t
t
и
t
( )t
.
Система (1) называется тригонометрической системой функций.
Определение. Функции )(t
( ) ( ) =
b
t
t dt
a
ством ортогональности на отрезке [− , ].
дующими равенствами:
sin mt sin ntdt = 0,
−
−
cos cos ntdt = 0 ,
mt
−
sin mt cos ntdt = 0 ,
⋅1 sin mtdt = 0,
−
промежутке
( ,
2 )
−
Определение. Функция f ( )x называется абсолютно интегрируемой на
.
( , )ba , если сходится интеграл
b
a
Пусть функция
a a l+ , тогда интегралы
a+ l
a
f x( )cos
k x
l
≤ f x
,
f x( )sin
k x
l
f ( )x абсолютно интегрируема на промежутке
2
f x( )cos
≤ f x
k
l dxx
| ( ) | .
и
a+ l
2
f x( )sin
a
k
l dxx
сходятся абсолютно
(по признаку сравнения), так как справедливы неравенства
| ( ) |
Определение. Тригонометрический ряд
a0
2 k 1
+ ak cos
∞
=
k x
l
+bk sin
k x
l
,
коэффициенты которого определяются функцией f ( )x , абсолютно интег3
|
f x dx|)(
m, =n
⋅1 cos mtdt = 0 ,
1,2,3, ,
m =1,2,3, .
m n≠ , Nnm ∈.
Лемма 1. Тригонометрическая система функций (1) обладает свойОртогональность
тригонометрической системы выражается сле0
.
являются
(1)
, определенные на промежутке ( , )ba ,
называются ортогональными на этом промежутке, если интеграл от их
произведения равен нулю, то есть
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
Стр.3
l
f x dx = f x dx +
−l
( )
x −= t
0
( )
( )
−l
и
0
(− )
l
Доказательство. В силу свойства аддитивности интеграла имеем
0
l
0
используем
l
(− )
0
f x dx . В первом интеграле сделаем замену переменной
нечетность
( )
функции,
l
f x dx = − f y dy = f x dx = − f x dx .
−l
( )
0
Лемма 4. Пусть f ( )x – четная, абсолютно интегрируемая на промеl
l
жутке
( , )ll−
функция, тогда f x dx = f x dx .
−l
( )
2 ( )
0
Последняя лемма доказывается аналогично лемме 3.
Приведем свойства ядра Дирихле.
Лемма 5. Ядро Дирихле
1) Четная, непрерывная,
2)
3)
D = +n
1
n (0)
n ( )
−
2
k
n ( )
2
1
;
D t dt = ;
D t dt = ;
1
1
0
sin n
4) при t ≠ 2 , k = 0, 1, 2 ,...±±
, D tn
( ) =
+
2
1
2sin 2
t
Доказательство. Первое свойство вытекает автоматически из определения
ядра Дирихле (3).
Для доказательства второго свойства проинтегрируем равенство (3)
по отрезку [− , ], получаем D t dt =
−
n ( )
−
cos ktdt = 0, для любого Nk ∈ .
Третье свойство следует из второго в силу четности ядра Дирихле и
леммы 4, поэтому D t dt = 2 D t dt .
n ( )
−
D t = +coskt =
k=1
n
2
( ) 1
2sin 2
1
t
0
Докажем четвертое свойство.
n
sin 2
t
+2sin 2 coskt
n
k=1
t
6
n ( )
=
2
1
cos ktdt =
n
dt +
−
k= −
1
, так как
t
.
2 периодическая функция, причем
получаем
π
π
π
π
π π
π
π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
Стр.6
=
2sin 2
1
t sin 2
t
+ sin 2 1
n
k=1
Лемма доказана.
Лемма 6. Пусть
2
k + − sin 2 1
k −
t
2
sin n
=
+
2
1
2sin 2
t
f ( )x – абсолютно интегрируемая на промежутке
(− , ) , 2 – периодическая функция, тогда частичная сумма ряда Фурье
имеет следующие представления
S x =
S x =
n ( ) 1
0
Доказательство. В интеграле Дирихле сделаем замену переменных
t x y−=
лемму 2. Получаем
S x =
n
=
1
( ) 1
−
Таким образом, первое равенство доказано. Для доказательства второго
равенства разобьем промежуток интегрирования и воспользуемся свойством
аддитивности интеграла. Получаем
S x =
n ( ) 1
−
D y f x y dy =. 1
n ( ) ( − )
n ( )− =
Sx D t f xt dt D t f xt dt D t f xt dt D t f xt dt
00
nn n() (
) =− − + +
() (
)
=+ +
Лемма доказана.
)
(
11 1
− − = −
0
( ) , получаем
)
D tnn n() ( − ) ( + )
00 0
f x t dt D t fx t dt D t f x t fx t dt
() ( − )
+
4. Сходимость ряда Фурье в точке
Определение. Функция
f ( )x называется кусочно-непрерывной на
отрезке [ , ]ba , если она имеет конечное число точек разрыва, причем все
точки разрыва первого рода.
7
11 1
() (
n ( )
( + +
)
1
n ( )
[]==
)
0
−
D y f x y dy +
n ( ) ( − )
0
( − =
1
D y f x y dy .
0
n ( ) ( − )
В первом интеграле сделаем замену переменной − y t= , а во втором
y t= , учитывая, что D t D tn
−
и используем четность и периодичность ядра Дирихле, а также
+x
D t x f t dt =
n ( − ) ( )
D y f x y dy .
n ( ) ( − )
1
− +x
D y f x y dy =
n (− ) ( − )
1
−
D y f x y dy =
n (− ) ( − )
n ( ) 1
−
D t f x t dt ,
n ( ) ( − )
[].
D t f x t− + f x t dt
n ( ) (
)
( + )
t
,
t ≠ 2 , k = 0, 1, 2 ,...±±
k
.
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
ππ
π
ππ
Стр.7
Для кусочно-непрерывной функции отрезок [ , ]ba
рые мы обозначим
x x→ +lim ( )
разбивается на конечное
число промежутков, внутри которых функция непрерывна, а в каждой
точке 0
x отрезка существуют односторонние конечные пределы, кото0
0 f x = f x0 + 0 ) для ∀x [ , )ba∈
(
Определение. Функция
,
В точках непрерывности очевидно f x0 + =0)
x x→ −lim ( )
(
0 0 f x = f x − 0 ) для ∀x ( , ]ba∈
(
0
f x0 − = f x( ) .
(
0)
0
f ( )x называется кусочно-дифференцируемой
на отрезке [ , ]ba , если она кусочно-непрерывна, и отрезок разбивается на
конечное число промежутков, внутри которых функция дифференцируема,
а на концах этих промежутков существуют односторонние производные.
Обозначим односторонние производные
f x′ = →+0
f x′ = →−0
h
h
f x′ = ′ = ′f x( ) .
+ ( )
−
+ ( ) lim (f x h f x +( 0)
)
+ −
h
− ( ) lim (f x h f x −( 0)
)
+ −
h
для ∀x [ , )ba∈
для ∀x ( , ]ba∈
Очевидно, что в тех точках, где функция
f x( )
,
.
f ( )x дифференцируема,
Замечание. Кусочно-непрерывные и кусочно-дифференцируемые на
отрезке функции интегрируемы по Риману и, следовательно, являются абсолютно
интегрируемыми на этом отрезке.
Большое значение в теории рядов Фурье имеет следующая теорема
интервале ( , )ba , тогда
Теорема Римана. Пусть функция f ( )x абсолютно интегрируема на
lim f x( )sin xdx = lim f x( )cos xdx = 0 .
→∞
b
a
Теорема 1. Если функция
a0
2
+
∞
k= 1
a cos
k
k x
l
f x + + f x − =
( 0)
( 0)
2
n ( ) (
)
2
→∞
b
a
f ( )x – 2l-периодическая, кусочнодифференцируемая
на отрезке [ , ]ll− , то ее ряд Фурье в каждой точке x
сходится, причем
+ bk sin
k x
l
l = . В силу свойства 3) ядра Дирихле имеем
( 0)
0
S x =
( + )
8
=
f x + + f x −( 0)
2
( 0)
f x + + f x D t dt .
−
( 0)
2
n ( )
ставление []D t f x t− + f x t dt . Тогда получаем в силу свойства
0
4) ядра Дирихле
Для частичной суммы ряда Фурье в силу леммы 4 справедливо предn
( ) 1
.
Доказательство. Докажем теорему (не умаляя общности) для случая
.
γ
γ
γ
π
γ
π
π
π
π
π
π
Стр.8
S x −
n ( )
=
1
2
0
где g t =
( )
(
)
(
f x + + f x − = [] =
( 0)
( 0)
2
(
)
(
)
sin 2
t
1
f x t− + f x t+ − f x + − f x D t dt
0
(
( 0)
)
(
)
sin n
+
( 0)
2
1
=
tdt
1
2
( 0)
−
0
f x t+ + f x t− − f x + − f x −( 0)
t
)
sin 2
число точек разрыва первого рода на полуинтервале (0, ], так же как и
функции f x t+ и f x t− . Точка t = 0 также является точкой разрыва первого
рода, поскольку конечен предел
(
tlim ( ) lim0
→+0 g t = →+
t
t→+0
)
)
t
(
)
f x t+ − f x − +
(
( 0)
+ 2 lim (f x t− − f x − =
)
t
+ ( )
f x t− − f x −( 0)
t
(
)
t
sin 2
t
= 2 lim (f x t+ − f x + +
)
( 0)
t→+0
t
( 0) 2( f x′ − ′−f x( )) . Таким образом, функция g( )t является
кусочно-непрерывной, а, следовательно, и абсолютно интегрируемой на
отрезке
то есть
lim S x −
n→∞
n ( )
lim ( ) 2
n
n→∞ S x
a
f x + + f x −( 0)
2
( 0)
= +
∞
k=1
a
=
lim g t( )sin n
0
n→∞
k cos kx bk sin kx =
+
0 () 2
+
( 0)
Следствие 1. Если функция
2
+
∞
k= 1
a cos
k
k x
l
+ bk sin
k x
l
=
f x .
( )
2
1
=
dt
0 . Отсюда получаем
f x + + f x −( 0)
. Теорема доказана.
f ( )x – l2 -периодическая, кусочнодифференцируемая
на отрезке [ , ]ll− , непрерывна в точке x , то ее ряд Фурье
в этой точке сходится к значению
a0
ности односторонних пределов
f x + = f x − = f x( ) . Отсюда имеем
( 0)
( 0)
Следствие 2. Если
то
f ( )x , то есть
Доказательство следствия 1 вытекает из равенства в точке непрерывзначению
функции,
есть
f x + + f x − =
( 0)
( 0)
2
имеющая кусочно-непрерывную на отрезке [ , ]ll−
a0
2
+
∞
k= 1
a cos
k
k x
l
+ bk sin
9
k x
l
f x + f x( )
2
( )
= f x( ) .
f ( )x – 2l-периодическая, непрерывная функция,
производную, то ее ряд
Фурье сходится к значению f ( )x на всей числовой оси, то есть для любого
x R∈
=
f x .
( )
[0, ]. По теореме Римана интеграл (5) стремится к нулю при n→ ∞,
( 0)
n ( )
[] g t( )sin n
f x t+ + f x t− − f x + − f x −( 0)
+
2
1
dt , (5)
– функция, имеющая конечное
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
Стр.9
Определение. Если ряд Фурье сходится к функции на промежутке,
будем говорить, что функция раскладывается на этом промежутке в ряд
Фурье.
Теорема 2. Если функция f ( )x – кусочно-дифференцируемая на отрезке
[
, ]ll− , то ее ряд Фурье в каждой точке x сходится, причем
0
a
2 ab flll f l
cos
++ = −+ − +
k 1
∞
=
Доказательство. Пусть
kksin
kx kx
2
(0) ( 0)
2
,
если
2 )
++ − 0) , если ( , )
fx fx(0) (
x∈−ll
..
x =±l
f ( )x – периодическое продолжение функции
f ( )x , рассмотренной на полуинтервале [ , )ll− . Отметим, что ряд Фурье
функции, абсолютно интегрируемой на промежутке ( ,a a l+ , совпадает с
рядом Фурье ее периодического продолжения. В самом деле, пусть ka , k
коэффициенты Фурье функции f ( )x , а k
b –
a , k
a =
k
1 ( )cos
l f x
l
−l
l dx l
k x
=
1
a l
a
для любого x a a l+∈( ,
имеем
x ±=
l
f l + + f l − = − + + − − = − + +0)
f (
( 0)
( 0)
( 0)
2
l
0)
2
Следствие 1. Если
a0
2
+
∞
k= 1
a cos
k
f (
l
0)
f (
l
2
f l + = − +l
f (
0 ) ,
f l −( 0)
.
f ( )x – непрерывная на отрезке [ , ]ll−
f ( )x на ( , )ll− , то есть для любого x ( , )ll−∈
k x
l
+ bk sin
k x
l
функция f x =
( )
x l k +
= (2 1 ),
f x( ),
=
f x .
( )
Доказательство следствия основано на том факте, что периодическим
продолжением непрерывной на полуинтервале [ , )ll− функции f ( )x является
x∈ −l l
f x − lk
k = ± ±
( 2 ), если
x∈ − + kl l +
если
[
l
[ , )
2 , 2 ),kl k = ± ±1, 2,...
непрерывная на всей числовой оси, за исключением, Возможно, точек
0, 1, 2,
f ( )x сходится к самой функции во всех точках непрерывности, то есть
10
. По следствию 1 к теореме 1 ряд Фурье функции
функция,
имеющая кусочно-непрерывную производную, то ее ряд Фурье сходится к
значению
f x( )cos
l dx l
k x
=
k
1
a l
a
+2
Аналогично показывается, что b b= .
k
Так как по определению периодического продолжения
f x + + f x − =
−
f (− − = lf ( 0 ) ,
2 ) , то
l
0)
( 0)
2
( 0)
( 0)
f x + + f x −( 0)
2
( 0)
f l − = lf ( 0 ) ,
−
l
f x = f x( )
( )
f (− + = − +l
0)
f (
, а для точек
0 ) ,
поэтому
b – коэффициенты Фурье периодического
ее продолжения f ( )x , тогда в силу леммы 2
+2
f x( )cos
l dx a
k x
= k , k = 0,1,2 ,... .
ππ
π
π
π
π
π
Стр.10