М77 Вероятность и статистика [Электронный ресурс] : учебное пособие / В. Б.Монсик, А. А. Скрынников. <...> В первом разделе книги рассматриваются основные положения теории вероятностей (ТВ): основные понятия ТВ, комбинаторные методы решения вероятностных задач, основные теоремы и фор мулы ТВ, случайные величины, векторы и законы их распределе ния, некоторые законы распределения, используемые в математи ческой статистике, функции случайных аргументов и предельные теоремы ТВ. <...> Во втором разделе даются основы математической статистики: выборочный метод в математической статистике, оценивание зако нов распределения и моментных характеристик случайных величин по результатам наблюдений, статистическая проверка гипотез. <...> Энгель са, закономерность всегда прокладывает себе дорогу сквозь цепь случайностей. <...> Событие E — появление не менее трех очков при бросании игральной кости — может быть представлено в виде E = {ω3, ω4, ω5, ω6}, событие D — появление не более двух очков — в виде D = {ω1, ω2}. <...> Например, при одно кратном бросании игральной кости (условия примера 1.1.2) появление числа очков не более шести — досто верное событие, а появление семи очков — невозможное событие. <...> Несовместные события — это такие события, которые Для иллюстрации часто используют так называемые диаграммы н е м о г у т появиться в м е с т е в результате опыта (примеры 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3) — появление герба и цифры при одном бросании монеты; появление вместе одного, двух, . , шести очков при одном бросании игральной кости; попадание и промах при одном выстреле по мише ни. <...> Например, появление герба и цифры при бросании двух монет, попа дание и промах при двух выстрелах по мишени. <...> Совместные события Несовместные события * Джон Венн (John Venn, 1834—1923) — английский математиклогик, построивший графический аппарат диаграмм. <...> Очевидно, событие C произойдет при появлении события A и события B, таким образом C = AB. <...> Пространство исходов опыта — бросание двух <...>
Вероятность_и_статистика__(2).pdf
УДК 519.2
ББК 22.17
М77
Монсик В. Б.
М77 Вероятность и статистика : учебное пособие / В. Б. Монсик,
А. А. Скрынников. — 5-е изд., электрон. — М. : Лаборатория
знаний, 2024. — 384 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-689-6
В учебном пособии рассмотрены теоретические основы и прикладные
методы теории вероятностей и математической статистики. Оно
обеспечивает годовой курс изучения дисциплины «Теория вероятностей
и математическая статистика» и может быть использовано как студентами
инженерных специальностей вузов, так и их преподавателями. Теоретические
положения иллюстрируются большим количеством рисунков,
интересных числовых примеров и задач прикладной направленности, для
решения которых в приложении приводятся необходимые вероятностностатистические
таблицы.
Для студентов инженерных специальностей вузов.
УДК 519.2
ББК 22.17
Деривативное издание на основе печатного аналога: Вероятность и статистика
: учебное пособие / В. Б. Монсик, А. А. Скрынников. — М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2011. — 381 с. : ил. — ISBN 978-5-9963-0637-4.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-689-6
© Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
Оглавление
Предисловие
Введение
Теория вероятностей
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
1.1. Опыт и событие
Операция умножения событий
Операция сложения событий
Операция вычитания событий
Операция дополнения
1.2. Частота и вероятность события
1.3. Геометрическая вероятность
1.4. Условные частота и вероятность события
1.5. Зависимые и независимые события
Глава 2. Комбинаторика в вероятностных задачах
2.1. Комбинаторный характер вероятностных задач
2.2. Выборка из множеств элементов
2.3. Упорядоченные выборки (размещения)
Общие правила подсчета числа размещений
Размещения с повторениями
Размещения без повторений
Перестановки без повторений
Перестановки с повторениями
2.4. Неупорядоченные выборки (сочетания)
Сочетания без повторений
Свойства сочетаний
Сочетания с повторениями
2.5. Бином Ньютона
Биномиальная теорема
Свойства биноминальных коэффициентов
2.6. Примеры решения вероятностных задач
комбинаторными методами
Глава 3. Основные теоремы и формулы
теории вероятностей
3.1. Теоремы умножения частот и вероятностей
3.2. Теоремы сложения частот и вероятностей
Стр.378
378
Оглавление
3.3. Следствия теоремы сложения
3.4. Вероятность появления события хотя бы один раз
в нескольких независимых опытах
3.5. Формула полной вероятности
3.6. Формула Бейеса (теорема гипотез)
3.7. Повторение опытов
3.8. Аксиоматическое определение вероятности
Глава 4. Случайные величины
4.1. Понятие случайной величины
4.2. Закон распределения случайной величины
Ряд распределения
Функция распределения
Плотность вероятности
4.3. Моменты и числовые характеристики
случайной величины
Математическое ожидание случайной величины
Дисперсия случайной величины
Моменты случайных величин
Глава 5. Основные законы распределения случайных величин
5.1. Биномиальное распределение
5.2. Производящая функция
5.3. Распределение Пуассона
5.4. Пуассоновский поток и поле точек
5.5. Геометрическое распределение
5.6. Показательное распределение
5.7. Равномерное распределение
5.8. Нормальное распределение
5.9. Табличные функции нормального распределения
5.10. Вероятность попадания нормальной случайной величины
на отрезок
5.11. Локальная и интегральная теоремы Муавра—Лапласа
Глава 6. Основные законы распределения, используемые
в математической статистике
6.1. Общие положения использования законов
распределения в математической статистике
распределение
6.2. χ2
6.3. χраспределение
6.4. Распределение Стьюдента
6.5. Распределение Фишера—Снедекора
Стр.379
379
Оглавление
6.6. Логарифмически нормальное распределение
6.7. Распределение Колмогорова
Глава 7. Случайный вектор
7.1. Понятие случайного вектора
7.2. Законы распределения двумерного случайного вектора
7.3. Числовые характеристики двумерного случайного вектора
7.4. Условные законы распределения и числовые
характеристики случайных величин
7.5. Зависимые и независимые случайные величины
7.6. Законы распределения многомерного случайного вектора
7.7. Моменты и числовые характеристики многомерного
случайного вектора
Глава 8. Некоторые законы распределения случайных векторов
8.1. Полиномиальное распределение случайного вектора
8.2. Нормальное распределение случайного вектора
8.3. Вероятность попадания двумерного нормального случайного
вектора в плоские фигуры
8.4. Закон распределения Релея
Глава 9. Функции случайных аргументов
9.1. Математическое ожидание и дисперсия функции
случайных аргументов
9.2. Теоремы о числовых характеристиках функций
случайных аргументов
9.3. Применение теорем о числовых характеристиках
9.4. Линеаризация нелинейных функций случайных
аргументов
Линеаризация функции одного случайного аргумента
Уточнение результатов, полученных методом линеаризации
Линеаризация функции нескольких случайных аргументов
9.5. Характеристики комплексных случайных величин
9.6. Характеристическая функция случайной величины
Глава 10. Предельные теоремы теории вероятностей
10.1. Закон больших чисел
Неравенство Чебышева
Первая теорема Чебышева
Теорема Бернулли (следствие первой теоремы Чебышева)
Вторая теорема Чебышева
Теорема Пуассона (следствие второй теоремы Чебышева)
Теорема Маркова
10.2. Центральная предельная теорема
Стр.380
380
Оглавление
Основы математической статистики
Глава 11. Основные понятия математической статистики
11.1. Предмет и задачи математической статистики
11.2. Представление статистических данных и оценивание
закона распределения генеральной совокупности
Глава 12. Задача оценивания параметров распределений
по результатам наблюдений
12.1. Оценки параметров распределений и их свойства
12.2. Методы получения оценок параметров распределений
Глава 13. Статистическое оценивание неизвестных параметров
распределений
13.1. Оценка вероятности случайного события
Нормально распределенная оценка вероятности
Геометрическая интерпретация доверительного интервала оценки
вероятности
13.2. Оценка математического ожидания случайного
параметра
Оценка математического ожидания при известной точности измерений
(дисперсии)
13.3. Оценка дисперсии случайного параметра
Оценка математического ожидания при неизвестной точности
измерений (дисперсии)
Несмещенная (исправленная) оценка дисперсии
Оценка дисперсии при известном математическом
ожидании (среднем)
Оценка дисперсии при неизвестном математическом ожидании
(среднем)
Нормальная оценка дисперсии при большом числе испытани
13.4. Оценка корреляционного момента и коэффициента
корреляции
Глава 14. Статистическая проверка гипотез
14.1. Введение в статистическую проверку гипотез
14.2. Общая процедура статистической проверки гипотез
14.3. Ошибки, допускаемые при статистической проверке
гипотез
14.4. Средний риск. Вероятность ошибочного решения
Стр.381
Оглавление
381
14.5. Методы статистических решений
Критерий минимума вероятности ошибочного решения
Критерий минимального риска
Метод Неймана—Пирсона
Метод минимакса
Метод наибольшего правдоподобия
Последовательный критерий отношения правдоподобия
Глава 15. Практические методы статистической проверки
гипотез
15.1. Проверка непараметрических гипотез
Критерий Колмогорова
Критерий χквадрат Пирсона
15.2. Проверка параметрических гипотез
Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
Сравнение математических ожиданий двух нормальных генеральных
совокупностей
Сравнение математических ожиданий при неизвестных,
но равных дисперсиях
Сравнение математических ожиданий при известных дисперсиях
Приложения
1. Таблица значений функции y = exp {–x}
2. Таблица значений нормированной нормальной плотности
вероятности f (u)
3. Таблица значений нормированной нормальной функции
распределения F(u)
4. Таблица значений нормального интеграла вероятности
(функция Лапласа—Гаусса) Φ0(u)
5. Таблица процентных точек Tраспределения Стьюдента
6. Таблица процентных точек χ распределения
7. Таблица процентных точек Fраспределения
Фишера—Снедекора
8. Таблица критических значений для наибольшего отклонения
эмпирического распределения от теоретического
(критерий Колмогорова)
9. Таблица факториалов n!
10. Таблица значений вероятностей P(m, a)
(распределения Пуассона)
12. Таблица биномиальных коэффициентов C
(арифметический треугольник)
Список литературы
11. Таблица значений пуассоновских сумм (m, a) =
nm
R
kΣ = m
ak
-----k!e–a
Стр.382