Бутко ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Часть 1 Под редакцией М.М. Сержантовой Рекомендовано Научно-методическим советом МГТУ им. <...> Элементы функционального анализа и методы математической физики : учеб. пособие: в 2 ч. <...> Рассмотрена теория обобщенных функций, представлены свойства интегральных преобразований Фурье и Лапласа. <...> Н.Э. Баумана, 2011 c ВВЕДЕНИЕ Функциональный анализ — это математический аппарат современных исследований уравнений математической физики. <...> В настоящем учебном пособии приведены основные теоретические сведения из некоторых разделов функционального анализа (обобщенные функции, интегральные преобразования Фурье и Лапласа) и показано их применение к решению различных задач математической физики (метод интегральных преобразований, метод функции Грина). <...> В частности, теория обобщенных функций излагается в работах [1, 3, 7]; интегральные преобразования Фурье и Лапласа — в работах [1—4, 7, 11]; понятие фундаментального решения оператора и метод функции Грина в различной мере описываются в работах [1, 5, 6, 8—10]. <...> Учебное пособие предназначено в основном для студентов 2-го курса факультета РЛ при изучении курса «Операционное исчисление и уравнения математической физики». <...> Предпосылки для появления обобщенных функций Обобщенные функции — это обобщение классического понятия функции, которое позволяет придать строгий математический смысл таким физическим понятиям, как плотность точечного заряда, интенсивность мгновенного источника, плотность точечной массы и т. п. <...> Логично предположить, что если мы рассмотрим плотность единичной массы, равномерно распределенной в шаре радиуса ε > 0, а потом устремим ε к нулю, то и получим искомое. <...> Итак, пусть наша точка совпадает с началом координат. <...> Плотность единичной массы, равномерно распределенной по отрезку, имеет вид fε(x)= расстояния и сходимости на множестве функций. <...> Для этого надо ввести понятия Определение <...>
Элементы_функционального_анализа_и_методы_математической_физики.pdf
УДК 517
ББК 22.162
Б93
Рецензенты: О.Г. Смолянов, Л.Д. Покровский
Б93
Бутко Я.А.
Элементы функционального анализа и методы математической
физики : учеб. пособие: в 2 ч. Ч. 1. / Я.А. Бутко; под ред.
М.М. Сержантовой. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2011. – 65, [3] с. : ил.
Приведены основные теоретические сведения из некоторых
разделов функционального анализа. Рассмотрена теория обобщенных
функций, представлены свойства интегральных преобразований
Фурье и Лапласа. Показано применение обобщенных
функций и интегральных преобразований для решения
различных задач математической физики.
Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
УДК 517
ББК 22.162
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011
c
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ........................................................ 3
Глава 1. Обобщенные функции ................................. 4
1.1. Предпосылки для появления обобщенных функций . . . 4
1.2. Пространство основных функций . . . ................. 7
1.3. Пространство обобщенных функций.................. 8
1.4. Действия над обобщенными функциями .............. 14
1.5. Многомерные аналоги δ-функции Дирака ............ 23
Глава 2. Метод интегральных преобразований ................. 26
2.1. Определение и основные свойства преобразования
Фурье ................................................... 26
2.2. Преобразование Фурье обобщенных функций. . . . . . . . . 32
2.3. Определение и основные свойства преобразования
Лапласа.................................................. 35
2.4. Преобразование Лапласа обобщенных функций....... 42
2.5. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
методом интегральных преобразований . . ................. 44
Глава 3. Метод функции Грина ................................. 46
3.1. Фундаментальное решение линейного дифференциального
оператора ........................................... 47
3.2. Фундаментальное решение одномерного волнового
оператора ................................................ 50
3.3. Фундаментальное решение оператора Лапласа . ....... 52
3.4. Метод функции Грина решения краевых задач для
уравнения Пуассона ...................................... 57
Литература ..................................................... 65
66
Стр.66