ISBN 978-5-7038-2997-4 Приведены определения вероятности (классическое, статистическое, геометрическое и аксиоматическое), примеры вычисления вероятности, а также теоремы сложения и умножения, формула полной вероятности, формула Байеса. <...> Исследованы многомерные случайные величины, их характеристики, доказаны свойства функции распределения, плотности распределения, математического ожидания и ковариации. <...> Приведены доказательства неравенств Чебышева и законов больших чисел. <...> Представлена без доказательства предельная теорема в форме теоремы Ляпунова. <...> В нем кратко, но строго изложены основы курса, от различных определений вероятности до законов больших чисел и центральной предельной теоремы в разных формах. <...> ВЕРОЯТНОСТЬ В теории вероятностей рассматриваются такие явления или опыты, конкретный исход которых не определяется однозначно условиями опыта (случаен), но по результатам большого числа экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости). <...> Элементарным событием (элементарным исходом) называется любое событие (исход опыта), которое нельзя представить в виде объединения других событий. <...> Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечное множество элементарных событий. <...> Элементами события являются элементарные события, образующие это событие. <...> Капля дождя падает на прямоугольную площадку, тогда Ω= xy a x b c y d). <...> Достоверное событие — событие, которое всегда происходит в результате данного опыта, оно содержит все элементарные события и обозначается Ω, так же, как и пространство элементарных событий. <...> Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В (или C = А ∪ В), состоящее из элементарных событий, принадлежащих А или В (рис. <...> 1 Произведением двух событий А и В называется событие D = AB (или C = = A ∩ B), состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А, и В (рис. <...> Сумма событий А, В: С = А + В — выбор любой червонной карты или любой десятки <...>
Краткий_курс_теории_вероятностей.pdf
УДК 519.21(075.8)
ББК 22.171
Г16
Рецензенты: С.В. Свистова, Г.М. Цветкова
Г16
Галкин С.В., Панов В.Ф., Петрухина О.С.
Краткий курс теории вероятностей: Учеб. пособие. — М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 56 с: ил.
ISBN 978-5-7038-2997-4
Приведены определения вероятности (классическое, статистическое,
геометрическое и аксиоматическое), примеры вычисления вероятности, а
также теоремы сложения и умножения, формула полной вероятности,
формула Байеса. Рассмотрены основные распределения случайной величины
и доказательства их свойств. Исследованы многомерные случайные
величины, их характеристики, доказаны свойства функции распределения,
плотности распределения, математического ожидания и ковариации.
Приведены доказательства неравенств Чебышева и законов больших
чисел. Представлена без доказательства предельная теорема в форме теоремы
Ляпунова. Выведена интегральная теорема Муавра—Лапласа.
Для студентов, изучающих курс «Основы теории вероятностей и математической
статистики».
Ил. 11. Табл. 6. Библиогр. 5 назв.
УДК 519.21(075.8)
ББК 22.171
Учебное издание
Сергей Владимирович Галкин
Владилен Федорович Панов
Ольга Сергеевна Петрухина
Краткий курс теории вероятностей
Редактор О.М. Королева
Корректор Л.И. Малютина
Компьютерная верстка И.А. Марковой
ISBN 978-5-7038-2997-4
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007
Подписано в печать 19.07.2007. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 3,5. Усл. печ. л. 3,26. Уч.-изд. л. 3,05. Тираж 600 экз.
Изд. № 37. Заказ №
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5
2
Стр.1
Оглавление
1. Вероятность ........................................................................................ 4
1.1. Действия над событиями........................................................... 5
1.2. Классификация событий........................................................... 6
1.3. Свойства операций над событиями.......................................... 6
1.4. Алгебра событий......................................................................... 7
1.5. Классическое определение вероятности события ................... 8
1.6. Геометрическая вероятность ..................................................... 10
1.7. Статистическая вероятность...................................................... 11
1.8. Аксиоматическое определение вероятности (по А.Н. Колмогорову)..........................................................................................
12
2. Полная вероятность суммы и произведения событий.................... 14
2.1. Условная вероятность ................................................................ 14
2.2. Формула вероятности произведения событий (теорема
умножения вероятностей). Независимые события ....................... 15
2.3. Формула вероятности суммы совместных событий (теорема
сложения вероятностей) ............................................................. 16
2.4. Формула полной вероятности................................................... 18
2.5. Формула Байеса (теорема гипотез)........................................... 19
3. Случайные величины......................................................................... 20
4. Повторные испытания....................................................................... 28
4.1. Геометрическое распределение................................................. 31
4.2. Гипергеометрическое распределение ....................................... 31
4.3. Формула Пуассона и распределение Пуассона ....................... 32
5. Экспоненциальное и нормальное распределения.......................... 33
5.1. Экспоненциальное распределение............................................ 33
5.2. Нормальное распределение (распределение Гаусса)............... 33
5.3. Локальная и интегральная формулы Муавра—Лапласа.......... 35
6. Двумерные случайные величины...................................................... 38
6.1. Независимость случайных величин.......................................... 42
6.2. Математическое ожидание........................................................ 42
6.3. Ковариация (корреляционный момент)................................... 43
6.4. Двумерное равномерное распределение................................... 45
6.5. Двумерное нормальное распределение..................................... 46
6.6. Задача линейного прогноза....................................................... 46
7. Законы больших чисел и центральная предельная теорема.......... 47
7.1. Неравенства Чебышева.............................................................. 47
7.2. Законы больших чисел .............................................................. 48
7.3. Предельные теоремы.................................................................. 51
Список литературы ........................................................................... 55
56
Стр.55