Федеральное агентство связи Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА Самара ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ Теория вероятностей и математическая статистика Самара, 2010 УДК 519.2 Блатов И.А., Старожилова О.В. <...> 51 Вероятность попадания дискретной случайной величины в заданный интервал. <...> 53 36 Законы распределения дискретной случайной величины 53 Двухточечное распределение. <...> 53 Распределение выборочного значения признака 53 Биноминальное распределение (закон Бернулли) 54 Наивероятнейшее значение случайной величины 57 Закон Пуассона . <...> 71 Основные законы непрерывных случайных величин Равномерный закон распределения . <...> 87 Дискретные двумерные случайные величины 87 Числовые характеристики двумерных случайных величин 88 Плотности вероятности составляющих двумерной случайной величины . <...> 92 Корреляционный момент системы двух случайных величин Контрольные вопросы . <...> 102 Равномерный закон распределения на плоскости 102 Нормальный закон распределения на плоскости Вероятность попадания в прямоугольник . <...> 144 Метод наименьших квадратов для получения уравнения выборочной линии регрессии . <...> 157 Статистические оценки параметров распределения 157 Метод наибольшего правдоподобия . <...> Определение Случайные события – любые события или факты, относящиеся к результату эксперимента, которые могут происходить или не происходить. <...> Определение Элементарное событие – событие или каждый отдельный возможный результат испытания. <...> Парадокс игры в кости Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. <...> В случае бросания двух костей <...>
Теория_вероятностей_и_математическая_статистика.pdf
УДК 519.2
Блатов И.А., Старожилова О.В. Теория вероятностей и математическая
статистика. Конспект лекций.- Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2010.-278
Конспект лекций затрагивает такие разделы высшей математики как: теория
вероятностей, элементы комбинаторики, математическая статистика,
регрессионный, корреляционный анализ. Для студентов и аспирантов
университетов и вузов, а также для специалистов, желающих изучать теорию
вероятностей самостоятельно.
Каждая лекция заканчивается контрольными вопросами, которые помогут
проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач
для самостоятельного решения и ответы для проверки.
Рецензент:
Асташкин С.В. – д.ф.м.н., проф., зав.кафедрой Самарского государственного
университета
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и
информатики
©Блатов И.А., Старожилова О.В., 2010
Стр.3
Введение .................................................................. 8
Лекция 1 .................................................................. 10
Случайные события, классификация ............... 10
Парадокс игры в кости ....................................... 11
Классификация событий.................................... 12
Классическое определение вероятности .......... 14
Ошибка Даламбера ............................................. 15
Элементы комбинаторики ................................. 16
Формула Стирлинга ........................................... 19
Контрольные вопросы ....................................... 20
Лекция 2 ................................................................. 21
Геометрическая вероятность ............................. 21
Статическая вероятность ................................... 22
Условная вероятность ........................................ 24
Парадокс Монти Холла ..................................... 26
Контрольные вопросы ....................................... 27
Задачи для самостоятельно решения ............... 27
Лекция 3 .................................................................. 29
Алгебра событий - сумма двух событий .......... 29
Алгебра событий – произведение двух событий
29
Вероятность появления хотя бы одного из событий 30
Диаграммы Эйлера-Венна ................................. 31
Принцип практической невозможности .......... 32
Контрольные вопросы ....................................... 33
Формула Бейеса .................................................. 34
Физический смысл и терминология формулы Бейеса
Формула полной вероятности события ........... 36
Метод фильтрации спама .................................. 38
Контрольные вопросы ....................................... 39
Задачи для самостоятельно решения ............... 39
Лекция 4 .................................................................. 42
Случайные величины, классификация ............. 42
Законы распределения случайной величины .. 42
Интегральный закон распределения ................ 44
Числовые характеристики дискретной случайной величины 46
Характеристики положения .............................. 46
Характеристики рассеивания ............................ 49
Параметры формы .............................................. 51
Вероятность попадания дискретной случайной величины в заданный
интервал............................................................... 52
Контрольные вопросы ....................................... 52
Лекция 5 .................................................................. 53
36
Стр.4
Законы распределения дискретной случайной величины 53
Двухточечное распределение............................ 53
Распределение выборочного значения признака
53
Биноминальное распределение (закон Бернулли) 54
Наивероятнейшее значение случайной величины 57
Закон Пуассона ................................................... 59
Числовые характеристики пуассоновского распределения60
Контрольные вопросы ....................................... 63
Лекция 6 .................................................................. 64
Непрерывные случайные величины ................. 64
Функция распределения непрерывной случайной величины 64
Функция плотности непрерывной случайной величины 64
Числовые характеристики непрерывной случайной величины 67
Контрольные вопросы ....................................... 69
Задачи для самостоятельного решения ............ 70
Лекция 7 .................................................................. 71
Основные законы непрерывных случайных величин
Равномерный закон распределения .................. 71
Экспоненциальное распределение ................... 74
Задачи для самостоятельного решения ............ 75
Закон Вейбулла ................................................... 76
Нормальное распределение (закон Гаусса) ..... 78
Доска Гальтона ................................................... 78
Функция Лапласа................................................ 81
Правило трех сигм.............................................. 82
Контрольные вопросы ....................................... 84
Задачи для самостоятельного решения ............ 85
Лекция 8 .................................................................. 87
Дискретные двумерные случайные величины 87
Числовые характеристики двумерных случайных величин
88
Плотности вероятности составляющих двумерной случайной величины
.............................................................................. 92
Условные законы распределения составляющих двумерной случайной
величины ............................................................. 92
Корреляционный момент системы двух случайных величин
Контрольные вопросы ....................................... 98
93
Лекция 9 .................................................................. 99
Функция одного случайного аргумента ........... 99
Математическое ожидание функции одного аргумента 100
Функция двух случайных величин ................... 100
Лекция 10 ................................................................ 102
Равномерный закон распределения на плоскости 102
Нормальный закон распределения на плоскости
Вероятность попадания в прямоугольник ....... 103
102
71
Стр.5
Лекция 11 ................................................................ 104
Закон больших чисел ......................................... 104
Неравенство Чебышева ..................................... 104
Теоремы Чебышева и Бернулли ....................... 106
Практическое значение теоремы Чебышева ... 107
Предельные теоремы ......................................... 109
Характеристические функции .......................... 109
Контрольные вопросы ....................................... 114
Лекция 12 ................................................................ 115
Математическая статистика .............................. 115
Виды выборки ..................................................... 116
Способы отбора .................................................. 118
Табличное представление статистических данных 120
Графическое представление статистических данных
Выборочная функция распределения............... 126
Числовые характеристики вариационного ряда
Меры разброса опытных данных...................... 130
Контрольные вопросы ....................................... 132
Лекция 13 ................................................................ 133
Проверка статистических гипотез .................... 133
Критическая область .......................................... 136
Распределение 2
............................................... 137
Критерий Пирсона ............................................. 137
Схема применения критерия ............................. 140
Схема применения критерия 2
для непрерывных случайных величин 140
Контрольные вопросы ....................................... 142
Задачи для самостоятельного решения ............ 143
Лекция 14 ............................................................... 144
Регрессивный анализ ......................................... 144
Метод наименьших квадратов для получения уравнения выборочной
линии регрессии ................................................. 146
Линейный регрессионный анализ .................... 147
Оценка модели регрессии .................................. 148
Проблемы применения метода линейной регрессии 150
Основные предпосылки статистической модели линейной регрессии 151
Задачи регрессионного анализа ........................ 152
Многомерная нормальная регрессионная модель 154
Вариация зависимой переменной и коэффициент детерминации
Контрольные вопросы ....................................... 156
155
Лекция 15 ................................................................ 157
Статистические оценки параметров распределения 157
Метод наибольшего правдоподобия ................ 159
Метод моментов ................................................. 160
Бейесовский подход к получению оценок ....... 162
127
124
Стр.6
Контрольные вопросы ....................................... 162
Лекция 16 ................................................................ 163
Доверительные интервалы ................................ 163
Доверительный интервал для оценки математического ожидания
нормального распределения при известной дисперсии 163
Доверительный интервал для оценки математического ожидания
нормального распределения при неизвестной дисперсии 164
Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического
отклонения нормального распределения ......... 165
Контрольные вопросы ....................................... 167
Лекция 17 ................................................................ 168
Случайные процессы и их характеристики ..... 168
Классификация случайных процессов ............. 169
Законы распределения случайного процесса .. 171
Моментные характеристики случайного процесса 172
Корреляционная функция ................................. 173
Контрольные вопросы ....................................... 177
Глоссарий ................................................................ 178
К лекции 1 ............................................................... 178
К лекции 2 ............................................................... 179
К лекции 3 ............................................................... 179
К лекции 4 ............................................................... 180
К лекции 5 ............................................................... 182
К лекции 6 ............................................................... 182
К лекции 7 ............................................................... 183
К лекции 8 .............................................................. 184
К лекции 9 ............................................................... 185
К лекции 10 ............................................................. 186
К лекции 11 ............................................................. 186
К лекции 12 ............................................................. 186
К лекции 13 ............................................................. 188
К лекции 14 ............................................................. 188
К лекции 16 ............................................................. 188
К лекции 17 ............................................................. 189
Список основных формул ..................................... 191
Список литературы ................................................ 197
Стр.7