Адвокатская деятельность и проблемы судебного представительства / Ковалев А.П. <...> Адвокатская деятельность как конституционная гарантия квалифицированной правовой помощи §1. <...> Правовое регулирование деятельности адвоката в качестве судебного представителя §1. <...> Процессуальный статус адвоката-представителя как субъекта доказывания в условиях состязательного судопроизводства (Общие положения) Глава 4. <...> Участие адвоката в процессе пересмотра гражданских дел Актуальность темы исследования. <...> Смыслом адвокатской деятельности, определяющим её социальное значение, является квалифицированная правовая помощь населению. <...> Если правовую помощь, как конституционную гарантию соблюдения субъективных прав граждан и обеспечения доступности правосудия, оказывают ныне около 60 тысяч адвокатов, то общее число субъектов рынка правовых услуг по некоторым оценкам достигает 300 тысяч человек. <...> Как это сказывается на уровне декларированной Конституцией РФ квалифицированной юридической помощи каждому не знает никто. <...> В своём исследовании мы ориентировались на более доступные критерии: степень правовой урегулированности деятельности различных субъектов правовой помощи и правовых услуг, характер требований, предъявляемых к их профессиональным и нравственным качествам, способы оформления взаимоотношений доверителя и поверенного, формы контроля деятельности поверенных, отношение к проблеме выбора дел, способам собирания и использования доказательств, представления о профессиональном долге, ответственность за допущенные нарушения. <...> Выделение вопросов судебного представительства продиктовано особой сложностью и ответственностью этого вида деятельности, напрямую влияющего на качество правосудия и правовую культ уру общества. <...> Адвокатская деятельность оценивается не только с точки зрения её соответствия правовым требованиям, но и с точки зрения корпоративной морали. <...> Правовые услуги самодеятельных юристов-предпринимателей <...>
Интегральные_преобразования_в_уравнениях_с_частными_производными_.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”
(ФГБОУ ВПО «ВГУ»)
Интегральные преобразования в уравнениях с частными
производными
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель: Ю.Б. Савченко
С.А. Ткачева
Воронеж
2012
Стр.1
1. Определение преобразования Лапласа. Оригинал и изображение.
Пусть 𝑓 𝑡 −интегрируемая на (0,T) при любом Т>0 функция, равная нулю
при 𝑡>0:𝑓[𝑡] =0 при 𝑡<0. Если эта функция при 𝑡>0 удовлетворяет оценке
𝑓[𝑡] ≤ 𝐶𝑒𝑎𝑡, 𝐶 > 0, 𝑎 ≥ 0, 𝑡 > 0,
(1.1)
то можно рассмотреть интеграл
𝐹 𝑝 = 𝑓[𝑡]𝑒−𝑝𝑡
∞
0
∞
∞
𝑑𝑡, 𝑝 = у+𝑖о, у > 𝑎, о𝜖𝑅.
Действительно, справедлива оценка
𝐹[𝑝] ≤ 𝑓[𝑡] 𝑒−у𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓[𝑡]𝑒−𝑎𝑡
0
∞
0
𝑒− у−𝑎 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝐶
0
∞ 𝑒− у−𝑎 𝑡 𝑑𝑡 =
(1.3)
При выводе (1.3) была использована оценка (1.1). Из оценки (1.3), в
частности, следует, что 𝐹[𝑝] → 0 у = 𝑅𝑒𝑝 → ∞.
Функция 𝐹[𝑡]является аналитической функцией комплексной переменной p в
плоскости 𝑅𝑒𝑝 > 𝑎. Для того чтобы это проверить, находим пока формально
𝑑𝐹
𝑑𝑝 = 𝑓 𝑡 (−𝑡)𝑒−𝑝𝑡
∞
0
Как и при выводе (1.3), находим
𝑑𝐹 𝑝
𝑑𝑝 ≤ 𝑓 𝑡 𝑒−𝑎𝑡
∞
0
= −𝐶
у−𝑎
𝑡𝑒− у−𝑎 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝐶
0
∞ 𝑡𝑒− у−𝑎 𝑡 𝑑𝑡 = у−𝑎
−𝐶
𝑡𝑒− у−𝑎 𝑡 −𝑒− у−𝑎 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐶
у−𝑎 2
.
Последнее означает, что интеграл равномерно по 𝑅𝑒𝑝 > 𝑎 сходится и,
следовательно, производная 𝑑𝐹 𝑝
справедлива при 𝑅𝑒𝑝 > 𝑎.
𝑑𝑝 существует при 𝑅𝑒𝑝 > 𝑎 , и формула (1.4)
Интеграл (1.2) называется преобразование Лапласа функции 𝑓 𝑡 и
обозначается ℒ 𝑓 . В этом случае функция 𝑓 𝑡 называется оригиналом, а
функция ℒ 𝑓 = 𝐹 𝑝 − изображением.
2
0
∞ 𝜕𝑡 𝑒− у−𝑎 𝑡 𝑑𝑡=
𝑑𝑡.
(1.4)
(1.2)
𝐶
у−
𝑎
<
.
Стр.3
ℒ 𝑆𝑖𝑛 щ𝑡
𝑝 = щ
𝑝2−щ2
3.4. 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑚 𝑒л𝑡 . 𝑅𝑒𝑝 > 𝑅𝑒л, л ∈ ℂ, 𝑚 = 1,2,….
По свойству 2.2 имеем
ℒ 𝑓 𝑡
𝑝 =
0 𝑡𝑚 𝑒л𝑡 ∗ 𝑒−𝑝𝑡 𝑑𝑡 = (−1)𝑚
.
∞
ℒ 𝑓 𝑡
𝑝 = 𝑚 !
(𝑝−л)𝑚
В частности, ℒ 𝑡𝑚 = 𝑚!
𝑝𝑚
(л = 0).
∎ Найти преобразование Лапласа ℒ[𝑡6 cos[щ𝑡]] и ℒ[𝑡6 sin[щ𝑡]] . Для этого
воспользуемся формулами ℒ[𝑡𝑚 cos щ𝑡 𝑝 = 𝑚! 𝑅𝑒 [ 𝑝+𝑖щ 𝑚+1
𝑝2+щ2 𝑚+1] и
ℒ[𝑡𝑚 sin щ𝑡 𝑝 = 𝑚! 𝐼𝑚 [ 𝑝+𝑖щ 𝑚+1
𝑝2+щ2 𝑚+1
ComplexExpand [ 𝑝+𝑖∗щ 7
𝑝7
𝑝2+щ2 7
− 21𝑝5щ2
𝑝2+щ2 7
𝑝2+щ2 7
]
+ 35𝑝3щ4
𝑝2+щ2 7
− 7𝑝щ6
𝑝2+щ2 7
+𝑖
ℒ[𝑡6 cos щ𝑡 𝑝 = 6! ( 𝑝7
ℒ[𝑡6 sin щ𝑡 𝑝 = 6!
𝑝2+щ2 7
7𝑝6щ
𝑝2+щ2 7
− 21𝑝5щ2
𝑝2+щ2 7
− 35𝑝4щ3
𝑝2+щ2 7
7𝑝6щ
𝑝2+щ2 7
− 35𝑝4щ3
𝑝2+щ2 7
+ 21𝑝2щ5
𝑝2+щ2 7
−
+ 35𝑝3щ4
𝑝2+щ2 7
+ 21𝑝2щ5
𝑝2+щ2 7
− 7𝑝щ6
𝑝2+щ2 7
− щ7
𝑝2+щ2 7
Этот же результат получается с помощью команды LaplaceTransform пакете
Mathematica
𝐋𝐚𝐩𝐥𝐚𝐜𝐞𝐓𝐫�𝐧𝐬𝐟𝐨𝐫𝐦[𝐭𝟔 𝐜𝐨𝐬 щ𝐭 , 𝐭, 𝐩]
𝐋𝐚𝐩𝐥𝐚𝐜𝐞𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐨𝐫𝐦[𝐭𝟔 𝐬𝐢𝐧 щ𝐭 , 𝐭, 𝐩]
(720𝑝 𝑝6 −21𝑝4щ2 +35𝑝2щ4 − 7щ6 )/ 𝑝2 +щ2 7 −(720щ −7𝑝6 +
Сравним полученные ответы
5
]
∞
0
(−𝑡)𝑚 𝑒л𝑡 ∗ 𝑒−𝑝𝑡 𝑑𝑡 = −1 𝑚 𝑑𝑚
𝑑 𝑝𝑚
𝑝−л =
1
)
𝑚
!
(
𝑝
−л
)
𝑚
+
1
щ
7
𝑝
2
+
щ
2
7
35
𝑝
4
щ
2
−
2
1
𝑝
2
щ
4
+
щ
6
)
/
𝑝
2
+
щ
2
7
Стр.6
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑦[6!
0
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑦[6!
𝑝7
𝑝2+щ2 7
− 21𝑝5щ2
𝑝2+щ2 7
+ 35𝑝3щ4
𝑝2+щ2 7
− 7𝑝щ6
𝑝2+щ2 7
−(720𝑝 𝑝6 −
7𝑝6щ
𝑝2+щ2 7
− 35𝑝4щ3
𝑝2+щ2 7
720щ −7𝑝6+35𝑝4щ2−21𝑝2щ4+щ6
𝑝2+щ2 7
] 0
3.5. Пусть функция 𝑓 𝑡 = 0 при 𝑡 < 0 и является периодической с периодом
𝑇 > 0 при 𝑡 > 0.
Обозначим 𝑔 𝑡 = 𝑓 𝑡 при 0 ≤ 𝑡 ≤ Ф и 𝑔 𝑡 = 0 при 𝑡 < 0.Очевидно, 𝑓 𝑡 =
𝑔 𝑡 +𝑓 𝑡 −Ф .ℒ 𝑓 𝑡
𝑝 = ℒ 𝑔 𝑡
𝑒−𝑝Фℒ[𝑓 𝑡 ][𝑝]
Отсюда находим 1−𝑒−𝑝Ф ℒ 𝑓 𝑡
ℒ 𝑓 𝑡
ℒ 𝑓 𝑡
𝑝 = ℒ 𝑔 𝑡
𝑝
1−𝑒−𝑝Ф
𝑝 = 1
1−𝑒−𝑝Ф
0
Ф 𝑓[𝑡] ∗ 𝑒−𝑝Ф𝑑𝑡
3.6. Найти изображение функции 𝑓 𝑡 , определяемой следующим образом:
a при
f t( )
Здесь
1 ,
a a1 , 2
2 , ... ,
, ... , an
1
a при
...
2
an
при
t 1;
t
1 2;
t n1.
- заданные вещественные постоянные,
n1 - заданные положительные числа.
Функция f(t) называется ступенчатым ходом.
Решение. Используя единичную функцию Хевисайда , мы можем
представить f(t) следующим образом :
f t a t
( ) 1
2
( ) (a a1) (t 3a a2 ) (t na an1) (t n1).
) (
2 ) ... (
Пользуясь свойством 2.8, находим преобразование Лапласа этой функции
6
𝑝 +ℒ[𝑓 𝑡 −Ф 𝑝 = ℒ 𝑔 𝑡
𝑝 = ℒ 𝑔 𝑡
𝑝
𝑝 +
+ 21𝑝2щ5
𝑝2+щ2 7
− щ7
𝑝2+щ2 7
+
2
1
𝑝
4
щ
2
+
35
𝑝
2
щ
4
−
7
щ
6
)
/
𝑝
2
+
щ
2
7
]
Стр.7
F p a1
p
( ) a a1
2
p
exp( p 1) 3a a2
p
a1 1, a2 1, a3 1, ... ,
1 ,
2
exp( p 2 ) ... a an1
n
p
exp( p n1)
Графически f(t) изображается ступенчатой линией. Если
2 , ... ,
бесконечный ступенчатый ход, преобразование Лапласа
которого равно
1 (1 exp( p ) exp( 2 ) ...) 2 (11
p
p
p
a3
th( 2 )).
c p
мы получим
a2
a1
4. Обратное преобразование Лапласа
Теорема 4.1(основная). Пусть функция 𝑓 𝑡 удовлетворяет условию (1.1) и
𝐹 𝑝 еѐ изображение. Тогда в любой точке 𝑡 > 0, в которой функция 𝑓 𝑡
дифференцируема, справедлива формула представления
𝑓 𝑡 = 1
2р𝑖
у−𝑖∞ 𝐹[𝑝]𝑒𝑝𝑡
у+𝑖∞
𝑑𝑝, у > 𝑎
(4.1)
Доказательство. Рассмотрим функцию 𝑔 𝑡 = 𝑓 𝑡 ∗ 𝑒−у𝑡 у > 𝑎 . Очевидно,
функция 𝑔 𝑡 интегрируема на (0,∞) и дифференцируема в точке 𝑡 > 0.
Рассматривая 𝐹 𝑝 как преобразование Фурье функции 𝑔 𝑡 , применим
формулу обращения преобразование Фурье
𝑔 𝑡 = 1
2р
∞
𝐹 у+𝑖о 𝑒𝑖о𝑡
−∞
𝑑о = 1
2р𝑖
у+𝑖о
𝐹 𝑝 𝑒−у𝑡
у−𝑖о
После умножения последнего равенства на 𝑒у𝑡 получаем (4.1).
7
𝑒𝑝𝑡 𝑑𝑝
Стр.8