Т.И. Некипелова
ЭЛЕМЕНТЫ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ
в качестве учебно-методического пособия для студентов
направлений 010100.62 Математика,
010200.62 Математика и компьютерные науки,
010400.62 Прикладная математика и информатика,
010500.62 Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем, 011200.62 Физика, 020100.62 Химия,
020400.62 Биология, 080100.62 Экономика
Улан-Удэ
Издательство Бурятского госуниверситета
2013
Улан-Удэ
2013
УДК 512.86 (075.8)
ББК 22.143 Я 73
Н 472
Утверждено к печати редакционно-издательским советом
Бурятского государственного университета
Рецензенты <...> Н 472
Элементы линейной алгебры в примерах и задачах: учеб.-метод. пособие. <...> Учебно-методическое пособие содержит необходимые теоретические
сведения, базовые примеры с подробными решениями, типовые расчеты. <...> Каждая глава пособия содержит необходимый теоретический материал, подробные решения типовых задач,
упражнения с ответами. <...> В первой главе изложены основы теории определителей, во второй главе — основы теории матриц, в третьей главе —
основы теории систем линейных уравнений. <...> Глава 4 «Типовые расчеты»
предназначена для контроля знаний и умений студентов преподавателем и включает в себя следующие задания:
• вычисление определителей;
• действия над матрицами (сумма, произведение, степени матриц,
обратная матрица);
• решение систем линейных уравнений методом Гаусса;
• решение систем линейных уравнений методом Крамера. <...> В
определителе (1.7) уберем i-ю строку и j-й столбец. <...> Получим определитель 2-го порядка, называемый минором1 элемента aij . <...> Минор элемента aij обозначается через Mij . <...> Алгебраическим дополнением элемента aij называется число, равное
Mij , если сумма индексов четная и −Mij , если сумма индексов i + j
1 Минор
(лат. minor — меньший, также малый)
6
Глава 1. <...> Алгебраическое дополнение элемента aij обозначается через
Aij :
{
если i + j четная,
Mij , <...> Найти миноры и алгебраические дополнения элементов
определителя <...>
Элементы_линейной_алгебры_в_примерах_и_задачах.pdf
УДК 512.86 (075.8)
ББК 22.143 Я 73
Н 472
Утверждено к печати редакционно-издательским советом
Бурятского государственного университета
Рецензенты
И.И. Баглаев
кандидат физико-математических наук
А.В. Бадеев
кандидат физико-математических наук
Некипелова, Т. И.
Н 472
Элементы линейной алгебры в примерах и задачах:
учеб.-метод. пособие.—Улан-Удэ: Издательство Бурятского
госуниверситета, 2013. — 104 с.
Учебно-методическое пособие содержит необходимые теоретические
сведения, базовые примеры с подробными решениями, типовые расчеты.
Пособие
предназначено для студентов высших учебных заведений
первого курса всех специальностей.
УДК 512.86 (075.8)
ББК 22.143 Я 73
⃝ Бурятский госуниверситет, 2013
c
c
⃝ Т. И. Некипелова, 2013
Стр.2
Оглавление
Предисловие
Глава 1. Определители
3
4
1.1. Определители второго и третьего порядка . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Миноры и алгебраические дополнения . . . . . . . . . . .5
1.1.2. Правила вычисления определителей
третьего порядка ... ..... ..... ...... ..... ...... .... 7
1.2. Перестановки. Инверсия в перестановке . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Определители n-го порядка . ...... ..... ..... ...... .... 14
1.4. Свойства определителей .. ...... ..... ...... ..... ..... ..16
1.4.1. Теорема Лапласа ..... ..... ..... ...... ..... ...... 23
Глава 2. Матрицы
26
2.1. Основные понятия ..... ...... ..... ...... ..... ..... .....26
2.2. Действия над матрицами ... ..... ..... ...... ..... ......31
2.3. Элементарные преобразования матриц . . . . . . . . . . . . . . . .37
2.3.1. Ранг матрицы .... ...... ..... ...... ..... ..... .... 38
2.3.2. Методы вычисления ранга матрицы . . . . . . . . . . . . 43
2.3.3. Матричные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Глава 3. Системы линейных алгебраических уравнений
50
3.1. Основные определения . ..... ...... ..... ...... ..... .... 50
3.2. Методы решения СЛАУ .... ...... ..... ...... ..... ..... 51
3.2.1. Метод Гаусса .. ..... ...... ..... ..... ...... ..... .. 51
3.2.2. Формулы Крамера . ..... ...... ..... ...... ..... .. 54
3.2.3. Однородные СЛАУ ... ..... ..... ...... ..... ......57
3.2.4. Неоднородные СЛАУ ... ...... ..... ...... ..... .. 63
Глава 4. Типовые расчеты
68
4.1. Определитель матрицы ..... ...... ..... ...... ..... .....68
4.2. Действия над марицами...... ..... ..... ...... ..... .....76
4.3. Обратная матрица ..... ...... ..... ..... ...... ..... .....80
4.4. Системы линейных алгебраических уравнений . . . . . . . .83
Стр.102
4.4.1. Однородные СЛАУ ...... ..... ...... ..... ..... ...83
4.4.2. Неоднородные СЛАУ . ...... ..... ..... ...... .... 89
4.4.3. Формулы Крамера .... ...... ..... ..... ...... .... 95
4.4.1. Однородные СЛАУ ...... ..... ...... ..... ..... ...83
4.4.2. Неоднородные СЛАУ . ...... ..... ..... ...... .... 89
4.4.3. Формулы Крамера .... ...... ..... ..... ...... .... 95
Библиографический списокБиблиографический список
101
101
Стр.103