Содержит материалы по
разделам «Ряды», «Кратные интегралы», «Теория поля», «Теория вероятно
стей» и «Теория функций комплексной переменной». <...> УДК 517.1 (075)
ББК 22.1я 73
ISBN 978-5-7883-0520-2
О
©
Файницкий Ю.Л., Денискина Е.А., 2007
Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2007
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие составлено в соответствии с действующей программой по
курсу математики для инженерно-технических специальностей вузов. <...> Содержит материалы по
разделам «Ряды», «Кратные интегралы», «Теория поля», «Теория вероятно
стей» и «Теория функций комплексной переменной». <...> З АДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
1
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1 Замена переменных в двойном интеграле
Теорема. <...> Если функция f (х, у ) непрерывна в неофаниченной об
ласти D и при любой последовательности областей Dh D2, ... , Dn, ... ,
исчерпывающей область D , существует предел
8
lim f f / ( x , y)dxdy,
«->00 <...> Если функция / (х, у ) непрерывна и неотрицательна в неогра
ниченной области D и для некоторой последовательности областей, исчер
пывающей указанную область, существует предел (8), то он существует и для
любой другой последовательности, исчерпывающей область D , и для всех
таких последовательностей этот предел имеет одно и то же значение [5,
гл. <...> Вычислим интеграл по области Dn в полярных координатах:
к
Чтобы найти несобственный интеграл, перейдем к пределу:
10
Ответ: —. <...> Гамма-функцией называется несобственный интеграл
зависящий от параметра р . <...> Тогда
производная скалярного поля по направлению указанного вектора
ди
= (1, gradw). <...> Величины (a, V)m
и
(a, V )F с точностью до постоянного множителя
|а| совпадают с производными соответственно скалярного поля и и векторного поля F по направлению единичного вектора
а
|а|
Производная по направлению и градиент скалярного поля, производная по
направлению, дивергенция и ротор векторного поля называются дифференци
альными векторными операциями. <...> 2.2
Циклическая постоянная потенциального поля
Пусть задано векторное поле F , потенциальное во всех <...>
Специальные_разделы_высшей_математики._Задачи_для_самостоятельного_изучения._Методические_разработки_практических_занятий.pdf
Б
ФАЙНИЦКИЙ Ю.Л.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ЗАДАЧИ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
ИЗУЧЕНИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Стр.1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Задачи для самостоятельного изучения
Методические разработки практических занятий
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
САМАРА
Издательство СГАУ
2 0 0 7
Стр.2
УДК 517.1 (075)
ББК 22.1я 73
. Ф17
.У.О»
И
Обр а з о в ан и е "
Инновационная образовательная программа
"Развитие центра компетенции и подготовка
специалистов мирового уровня в области
аэрокосмических и геоинформационных технологий”
Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Б.А. Горлач,
канд. физ.-мат. наук, доц. Е.Я. Горелова
Файницкий ЮЛ.
Ф17
Специальные разделы высшей математики. Задачи для самостоятельного
изучения. Методические разработки практических
занятий: учеб. пособие / ЮЛ. Файницкий, Е.А. Денискина-
Самара: Изд- во Самар, гос. аэрокосм, ун-та, 2007. -
144 с.: ил.
ISBN 978-5-7883-0520-2
Учебное пособие составлено в соответствии с действующей программой по
курсу математики для инженерно-технических специальностей вузов. Предназначено
для студентов всех специальностей СГАУ. Содержит материалы по
разделам «Ряды», «Кратные интегралы», «Теория поля», «Теория вероятностей»
и «Теория функций комплексной переменной».
Пособие состоит из двух частей. В первой из них рассматриваются задачи,
предлагаемые для самостоятельного изучения. Эта часть пособия представляет
собой руководство, помогающее студенту продолжить изучение методов
решения задач по указанным разделам математики.
Вторая часть пособия содержит набор стандартных задач для проведения
практических занятий со студентами второго курса, а также задачи для самостоятельной
работы студентов по изучаемой на практических занятиях тематике
и ответы к ним. Этот материал предназначен как студентам, так и преподавателям,
последним - для подготовки и проведения практических занятий.
Выполнено на кафедре высшей математики.
УДК 517.1 (075)
ББК 22.1я 73
ISBN 978-5-7883-0520-2 О Файницкий Ю.Л., Денискина Е.А., 2007
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2007
Стр.3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие составлено в соответствии с действующей программой по
курсу математики для инженерно-технических специальностей вузов. Предназначено
для студентов всех специальностей СГАУ. Содержит материалы по
разделам «Ряды», «Кратные интегралы», «Теория поля», «Теория вероятностей»
и «Теория функций комплексной переменной».
Пособие состоит из двух частей. В первой из них рассматриваются задачи,
предлагаемые студентам СГАУ для самостоятельного изучения в третьем и
четвертом семестрах. Данная часть пособия состоит из девятнадцати пунктов
(параграфов), каждый из которых имеет следующую структуру. Параграф, как
правило, начинается с кратких теоретических сведений, необходимых для решения
очередной задачи. Теоремы сообщаются без доказательств, однако в
каждом отдельном случае указывается учебное пособие, с помощью которого
можно ознакомиться с обоснованием соответствующего утверждения.
Далее приводится формулировка и решение задачи. Затем формулируется
аналогичная задача, предназначенная для самостоятельного решения, и ответ
к ней, если только ответ не следует из условия. В отдельных случаях параграф
может содержать еще одну или несколько пар задач.
Рекомендуется следующий порядок самостоятельной работы. Прежде всего,
необходимо по конспекту и учебнику проработать материал, рассмотренный
на лекционных занятиях, ознакомиться с введенными там понятиями,
изучить формулировки и доказательства теорем. Затем, опираясь на решения
задач, предложенных на практических занятиях, выполнить текущее домашнее
задание. И только после этого целесообразно осваивать материал, приведенный
в первой части настоящего пособия.
Такая последовательность изучения материала связана, в частности, с тем,
что здесь не дублируются рассматриваемые на лекционных и практических
занятиях определения, утверждения и приемы. Предполагается, что студент с
ними уже ознакомился. Пособие представляет собой руководство, помогающее
студенту продолжить изучение методов решения задач по указанным
выше разделам математики.
Вторая часть пособия содержит набор стандартных задач для проведения
практических занятий со студентами второго курса, а также задачи для самостоятельной
работы студентов по изучаемой на практических занятиях тематике
и ответы к ним. Этот материал предназначен как студентам, так и преподавателям,
последним - для подготовки и проведения практических занятий.
3
Стр.4
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ---------------------------3
ЧАСТЬ
1. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ_____ 4
1 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ_______________________________
4
1.1 Замена переменных в дв ой н ом интеграле..........................................................4
1.2 Несобственный д вой ной интеграл..........................................................................8
1.3 Гамма-функция............................................................................................................... 11
2 ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ_______________________________________15
2.1 Применения оператора Гамильтона.....................................................................15
2.2 Циклическая постоянная потенциального поля..........................................18
3 ФОРМУЛА МАКЛОРЕНА__________________________________ 24
3.1 С им вол « о » м а л о е ......................................................................................................... 24
3.2 Вычисление пределов...................................................................................................26
4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ______________________________________ 32
4.1 Умножение рядов............................................................................................................32
4.2 Признак Раа бе.................................................................................................................. 34
4.3 Признак гаусса............................................................................................................... 38
5 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ_______________________________ 41
5.1 Решение линейного дифференциального уравнении..................................41
5.2 Уравнение Бесселя........................................................................................................ 45
6 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ------------------------ 49
6.1 Ряд Лорана...................................
49
6.2 Вычисление интегралов с помощью вычетов................................................ 52
6.3 Конформные отображения.........................................................................................54
6.4 Ряд Фурье в комплексной форме.............................................................................59
7 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ............................................59
7.1 Преобразование Фурье................................................................................................62
7.2 Решение уравнений с частными производными............................................66
7.3 Решение интегральных уравнений........................................................................70
ЧАСТЬ 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ.......................................74
8 РЯДЫ М.
........ ...................................................
7 4
8.1 Признаки сходимости рядов с положительными членами..................... 74
8.2 Знакопеременные ряды............................................................................................... 76
8.3 Функциональные ряды.................................................................................................78
8.4 Разложение функций в степенные ряды..............................................................79
8.5 Применение степенных рядов к приближенным вычислениям 82
142
Стр.143
8.6 Ряды ФУРЬЕ................................................................................................................83
9 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.........................
9.1 ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ.................................................86
9.2 ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ......................................................88
9.3 Тройной интеграл в декартовых координатах...................................................90
9.4 Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах ... 93
10 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.................................................
95
10.1 Скалярные п о л я ....................................................................................................................95
10.2 Криволинейные и нт егра лы.......................................................................................... 96
10.3 Поверхностные и н т е г ра лы ........................................................................................ 102
10.4 Формула Остроградского-Гаусса.........................................................................105
10.5 Формулы Стокса и Гр и н а ............................................................................................ 107
10.6 Потенциальное векторное п о л е ..............................................................................110
11 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ______________
96
11.1 Классическое определение вероятности..........................................................и з
U .2 Вероятности суммы и произведения событий............................................... 115
11.3 Формула полной вероятности, формула Бейеса......................................... 119
11.4 Формула Бернулли. Формула Пуа ссон а ........................................................... 121
11.5 Дискретные случайные величины......................................................................... 123
11.6 Непрерывные случайные величины......................................................................126
12 ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.............133
12.1 Элементарные функции комплексной переменной....................................133
12.2 Д ифференцирование функций комплексной переменной..................... 134
12.3 Интегрирование функций комплексной переменной............................... 136
12.4 Преобразование Л а пласа .............................................................................................137
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
.............................................141
86
143
Стр.144
Учебное издание
Файницкий Юрий Львович,
Денискина Екатерина Александровна
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Задачи для самостоятельного изучения
Методические разработки
практических занятий
Учебное пособие
Научный редактор В. С. Па в е ль е в
Редакторская обработка Н. С. Ку пр и я н о в а
Корректорская обработка Н. С. Ку п р и я н о в а
ДоверсткаА. В. Яр о с л а в ц е в а
Подписано в печать 10.10.07. Формат 60x84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Печ. л. 9,0.
Тираж 120экз.Заказ
'{Об'. ИП-24/2007
Самарский государственный
аэрокосмический университет.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.
Изд-во Самарского государственного
аэрокосмического университета.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.
Стр.145