Дифференциальные уравнения в прикладных задачах (4000,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

УДК 517.9 ББК 22.161.6 Е80 Е80 Дифференциальные уравнения в прикладных задачах. – М.: ДМК Пресс, 2021. – 360 с.: ил. Ершов Н. М. ISBN 978-5-97060-897-5 Книга посвящена рассмотрению подходов к составлению обыкновенных дифференциальных уравнений, методов их решения и качественного анализа на примере решения разнообразных прикладных задач, возникающих в различных областях естественных наук. Издание ориентировано на школьников старших классов, студентов, преподавателей и всех, интересующихся тематикой математического моделирования. Может служить дополнением к классическим учебникам по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. УДК 517.9 ББК 22.161.6 Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав. Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но, поскольку вероятность технических ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать абсолютную точность и правильность приводимых сведений. В связи с этим издательство не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги. ISBN 978-5-97060-897-5 © Н. М. Ершов, 2021 © Оформление, издание, ДМК Пресс, 2021

Стр.3

Оглавление Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 История • Цели издания • Литература • Структура книги • Обратная связь Модель • Горизонтальное движение • Вертикальное движение • Общий случай Модель • Дифференциальное уравнение • Решение и анализ уравнения • Приложения в астрономии Глава 1 Глава 2 Глава 3 Глава 4 Глава 5 Глава 6 Глава 7 Глава 8 Глава 9 Свободное падение тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Вращение жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Закон Вебера—Фехнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Модель • Дифференциальное уравнение • Децибелы Муравей на ленте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Задача • Дифференциальное уравнение • Решение задачи • Равноускоренное удлинение Водяные часы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 Модель • Круговой цилиндр • Равномерная шкала Брахистохрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Задача • Принцип Ферма • Дифференциальное уравнение • Циклоида Закон действующих масс • Реакции первого порядка • Реакции второго порядка Элементарные химические реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Реактивное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Модель • Дифференциальное уравнение • Решение • Ракета Фау-2 Задача • Дифференциальное уравнение • Квадратное колесо • Зубчатая дорога • Приложения Квадратные колеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

Стр.4

4 Оглавление Глава 10 Глава 11 Глава 12 Глава 13 Глава 14 Глава 15 Глава 16 Глава 17 Глава 18 Глава 19 Глава 20 Глава 21 Глава 22 Задача о четырех жуках. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 Кривые погони • Задача • Дифференциальное уравнение • Решение и его анализ • Общий случай Охота на подводную лодку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Задача • План решения • Дифференциальное уравнение Модель • Дифференциальное уравнение • Решение уравнения Круговая трактриса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Модель • Дифференциальное уравнение • Упрощение уравнения • Критический случай • Подкритический случай • Надкритический случай Модель • Дифференциальное уравнение • Решение уравнения • Анализ решения Трактриса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 Задача о пловце . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Кривая погони . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Модель • Дифференциальное уравнение • Решение уравнения • Анализ решения Барометрическая формула . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Задача • Дифференциальное уравнение • Изотермический случай Радиоуглеродный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Радиоактивный распад • Дифференциальное уравнение • Период полураспада • Радиоуглеродный метод Температурные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Закон Ньютона—Рихмана • Переменная температура среды • Решение уравнения • Анализ решения Задачи на растворы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Модель • Дифференциальное уравнение • Решение • Анализ решения • Пример Модель естественного роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Модель • Дифференциальное уравнение • Решение и анализ • Пример Модель Ферхюльста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Модель • Решение уравнения Модель со сбором урожая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Модель • Решение уравнения • Бифуркационная диаграмма

Стр.5

Оглавление 5 Глава 23 Глава 24 Глава 25 Глава 26 Глава 27 Глава 28 Глава 29 Глава 30 Глава 31 Глава 32 Глава 33 Глава 34 Глава 35 Кошки-мышки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Модель • Дифференциальное уравнение • Решение уравнения • Анализ решения Общая трактриса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Модель • Уравнение Риккати • Метод Эйлера Модель • Дифференциальное уравнение • Частный случай • Общий случай Математические таблицы • Задача • Методы Рунге—Кутты • Численный эксперимент Силы сопротивления • Модель • Решение уравнения • Анализ решения Игра в прятки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Табулирование функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Свободное падение тел в жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Свободное падение тел в воздухе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Модель • Дифференциальное уравнение • Решение уравнения Ортогональные траектории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Ортогональные семейства кривых • Дифференциальное уравнение семейства кривых • Ортогональные кривые • Пример Конфокальные эллипсы • Дифференциальное уравнение • Решение уравнения Эллиптическая система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Биполярные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Биполярные системы координат • Окружности Аполлония • Ортогональные траектории Изогональные траектории. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 Изогональные траектории • Модельная задача навигации • Дифференциальное уравнение • Локсодромы Каустики и огибающие • Модель • Дифференциальное уравнение Математическая вышивка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Задача • Вышивка на круге Шуховская башня. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185 Башни Шухова • Задача • Огибающая Каустики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Стр.6