Элементы высшей математики : учебное пособие (1700,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

УДК 51(075) ББК 22.1я723 О74 Рецензенты: А. С. Кутузов, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики, экономики и управления Троицкого филиала ФГБОУ ВО «ЧелГУ»; Н. Д. Зюляркина, д-р. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Защита информации» ЮУрГУ Осипенко, С. А. О74 Элементы высшей математики : учебное пособие / Осипенко С. А. — Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. — 201 с. ISBN 978-5-4499-0201-6 Данное пособие содержит теоретический материал, примеры решения типовых задач, систему задач для самостоятельной работы студентов и проверки знаний в виде итогового тестирования по разделу, а также примерные контрольные работы. Предложенная структура пособия помогает выделить главные аспекты изучаемых математических моделей, организовать и конкретизировать учебный процесс. Учебное пособие «Элементы высшей математики», подготовлено по дисциплине «Элементы высшей математики» в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования для студентов, обучающихся по специальностям 09.02.02 Компьютерные сети, 09.02.04 Информационные системы, 09.02.05 Прикладная информатика (по отраслям) и др. УДК 51(075) ББК 22.1я723 ISBN 978-5-4499-0201-6 © Осипенко С. А., текст, 2020 © Издательство «Директ-Медиа», макет, оформление, 2020

Стр.3

Оглавление Введение ................................................................................................................... 7 Раздел 1. Линейная и векторная алгебра .............................................................. 9 1.1. Матрицы и определители ............................................................................. 9 Понятие матрицы. Действия над ними .......................................................... 9 Определители, свойства и вычисления ........................................................ 13 Методы вычисления определителя матрицы .............................................. 14 Обратная матрица ........................................................................................... 18 Ранг, линейная зависимость/независимость строк и столбцов ................. 19 Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 20 Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 23 1.2. Системы линейных уравнений .................................................................. 24 Правило Крамера ............................................................................................ 24 Метод Гаусса................................................................................................... 25 Метод обратной матрицы .............................................................................. 29 Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 30 Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 31 1.3. Векторная алгебра. Операции над векторами ......................................... 32 Понятие вектора и линейные операции над векторами ............................. 32 Понятие линейной зависимости векторов. Базис на плоскости ................ 36 Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов ....................... 38 Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 42 Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 45 Итоговое тестирование по разделу 1 «Линейная и векторная алгебра» ...... 46 Раздел. 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве ............. 50 2.1. Метод координат. Прямая на плоскости и в пространстве .................... 50 Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольные, полярные координаты. Основные задачи метода координат .................... 50 Уравнение прямой. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой .................................................................... 55 Плоскость в пространстве ............................................................................. 59 3

Стр.4

Задачи для самостоятельного решения ........................................................ 61 Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 64 2.2. Кривые второго порядка ............................................................................ 65 Эллипс, окружность. Парабола ..................................................................... 65 Гипербола ........................................................................................................ 72 Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 75 Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 77 Итоговое тестирование по разделу 2 «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве» ....................................................................... 78 Раздел 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной ......... 81 3.1. Предел и непрерывность функции ............................................................ 81 Предел функции. Основные теоремы о пределах ....................................... 81 Замечательные пределы ................................................................................. 83 Бесконечно малые и бесконечно большие функции ................................... 84 Понятие непрерывности, точки разрыва ...................................................... 92 Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 95 Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 95 3.2. Производная ................................................................................................ 96 Понятие производной функции .................................................................... 96 Правила дифференцирования, производные элементарных функций ..... 97 Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям ................................................................... 100 Производные высших порядков, логарифмическая производная, производная обратной функции, функции, заданной параметрически ............................................................................ 101 Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 104 Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 105 3.3. Применение производной к исследованию функции ........................... 105 Возрастание и убывание функции. Экстремумы ...................................... 105 Применение производной при вычислении пределов. Правило Лопиталя ........................................................................................ 110 Асимптоты, выпуклость графика функции, точки перегиба. Полное исследование функции ................................................................... 112 Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 122 4

Стр.5

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 123 Итоговое тестирование по разделу 3 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» ................ 124 Раздел. 4. Интегральное исчисление функции одной переменной ................ 127 4.1. Неопределенный интеграл ....................................................................... 127 Первообразная и неопределенный интеграл ............................................. 127 Таблица неопределенных интегралов основных элементарных функций .............................................................. 128 Основные методы интегрирования ............................................................ 129 Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 147 Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 149 4.2. Определенный интеграл ........................................................................... 150 Определенный интеграл. Методы вычисления определенного интеграла ........................................ 150 Задачи для самостоятельного решения ...................................................... 154 Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 155 4.3. Приложение определенного интеграла .................................................. 156 Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла ........................................................ 156 Вычисление объема тела вращения ............................................................ 159 Вычисление длины дуги кривой ................................................................. 161 Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 162 Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 163 4.4. Дифференциальные уравнения ............................................................... 163 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ......... 165 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ............... 166 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка .................... 168 Уравнения Бернулли .................................................................................... 169 Уравнения в полных дифференциалах ....................................................... 169 Дифференциальные уравнения высших порядков ................................... 171 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка .................... 173 Линейные дифференциальные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ................................. 176 Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 178 5

Стр.6

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 180 Итоговое тестирование по разделу 4 «Интегральное исчисление функции одной переменной» .......................... 182 Список терминов (глоссарий) ............................................................................ 185 Библиографический список ................................................................................ 193 Приложение .......................................................................................................... 195 Итоговые вопросы по дисциплине ................................................................. 195 Контрольная работа по разделу 1 ................................................................... 197 Контрольная работа по разделу 2 ................................................................... 198 Контрольная работа по разделу 3 ................................................................... 199 Контрольная работа по разделу 4 ................................................................... 200

Стр.7