УДК 517.518.45
ББК 22.16
А 70
Рецензенты:
Г.И. Попов доктор педагогических паук, профессор, заведующий
кафедрой естествеиионаучных дисциплии ФГБОУ ВПО «Российский
государственный университет физической культуры, спорта, молодёжи и
туризма (ГЦОЛИФК)»
А.Н. Тамбовский доктор педагогических наук, профессор, проректор
по научной работе ФГБОУ ВПО «Московская государственная академия
физической культуры»
Шмелев П.А., Шмелёва Г.А., Фураев А.Н.
А 70: Учебное пособие по дисциплине «Элементы теории вероятностей и
математической статистики» -М.: МГАФК, 2014-188 с : ил.
Содержание пособия соответствует требованиям Федерального
государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования третьего поколения по дисциплине «Высшая .математика» для
вузов физической культуры. Оно содержит элементы комбинаторики, основы
теории вероятностей и математической статистики.
Предназначено для бакалавров и магистров вузов физической
культуры.
Пособие подготовлено иа кафедре биомеханики и информационных
технологий.
Утверждено научно - методическим советом МГАФК в качестве
учебного пособия
©, П.А.Шмелёв, Г.А.Шмелёва, А.Н.Фураев,
©МГАФК, 2014
Стр.3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое учебное пособие по теории вероятностей и
математической статистике представляет собой 3-ю часть учебного
пособия по Высшей Математике для вузов Физической Культуры.
Это 2-ое издание, дополиеиное и частично переработанное.
Студенты вузов Физической Культуры учатся в особом режиме:
вынуждены отвлекаться от учебы из-за постоянных обязательных
тренировок, сборов, соревнований. Для освоения сложной теории и
практики высшей математики в таком режиме, для того, чтобы
математика стала необходимым практическим инструментом в их
профессиональной деятельности, подготовлено настоящее пособие.
Авторы старались изложить материал доступным, кратким и
четким языком, подобрать наглядные демонстрационные примеры,
применяемые в профессиоиалыюй области.
В третью часть пособия вошли разделы: Комбинаторика, Теория
вероятностей. Элементы математической статистики.
Каждый раздел подразделен на главы, а каждая глава - на
параграфы.
Формулы, приведенные в книге, имеют сквозную нумерацию.
Однако, часть формул, иа которые имеются ссылки только в
данном параграфе и которые, как правило, фиксируют
промежуточные результаты в выкладках, обозначены прописными
буквами русского алфавита (в каждом параграфе эти обозначения
повторяются).
В книге приняты следующие обозначения:
К-множество натуральных чисел;
2-множество целых чисел;
К-множество действительных чисел.
Авторы выражают глубокую благодарность
рецензентам
рукописи за замечания, способствующие улучшению пособия.
Стр.4
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1. КОМБИНАТОРИКА
1. Размещения
2. Перестановки
3. Сочетания
4. Формула бинома Ньютона и ее связь с сочетаниями
5. Число всех подмножеств конечного множества
8
13
13
17
19
6. Принцип умножения (общий комбинаторный принцип)... 20
7. Повторная и бесповторная выборки. Общая схема
решения комбинаторной задачи
Глава 2. СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ
8. События
9. Классическое определение вероятности события
10. Статистическая вероятность
11. Геометрические вероятности
14. Теорема сложения вероятностей для несовместных
событий
15. Произведение событий
16. Зависимые и независимые события. Условные
вероятности
17. Теорема умножения вероятностей
18. Переход к противополояшым событиям
19. Общая теорема сложения вероятностей
20. Формула полной вероятности
21. Формула Байеса
Глава 3. БИНОМИАЛБНБ1Е ВЕРОЯТНОСТИ
22. Формула Бернулли
23. Биномиальное распределение вероятностей
24. Наивероятнейшее число наступлений события при
повторении испытаний
25. Обобщенная формула Бернулли
26. Пуассоновское приближение формулы Бернулли
27. Формула Муавра - Лапласа
28. Интегральная формула Муавра - Лапласа
4
60
62
63
64
65
67
68
23
25
29
30
12. Некоторые определения, связанные с понятием события... 34
13. Сложение (объединение) событий
37
39
41
43
45
48
51
54
56
21
Стр.5
29. Вероятность отклонения относительной частоты от
постоянной вероятности в независимых
испытаниях
Глава 4. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЗАКОН ЕЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
30. Дискретная случайная величина. Закон, ряд и
многоугольник ее распределения
31. Понятие о непрерывной случайной величине. Функция
распределения случайной величины
32. Свойства функции распределения. Вероятность
«попадания» случайной величины в заданный интервал..
33. Плотность вероятности случайной величины
34. Вероятность «попадания» непрерывной случайной
величины в заданный интервал
35. Нахождение функции распределения случайной
величины по известной плотности вероятности
36. Свойства плотности вероятности
37. Закон равномерного распределения вероятностей
38. Математическое ожидание дискретной случайной
величины
39. Различные интерпретации математического ожидания...
40. Свойства математического ожидания
4 ] . Матемаз ическое ожидание произведения случайных
величин
42. Математическое ожидание непрерывной случайной
величины
43. Математическое ожидание функции случайной
величины
44. Мода и медиана случайной величины
45. Дисперсия случайной величины
46. Свойства дисперсии
47. Дисперсия равномерно распределенной случайной
величины
48. Среднее квадратичное отклонение случайной
величины
5
74
77
82
85
87
88
88
90
Глава 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИИ
93
96
98
101
102
104
105
106
108
ПО
111
70
Стр.6
49. Математическое ожидание и дисперсия суммы
одинаково распределенных случайных величин
50. Зависимые случайные величины. Корреляционный
момент и коэффициент корреляции
Глава 6. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
51. Понятие о нормальном законе распределения случайной
величины
52. Кривая Гаусса
53. Эксцесс и ассиметрия кривой распределения
54. Вероятность «попадания» нормально распределенной
случайной величины в заданный интервал
55. Вычисление вероятности заданного отклонения.
Правило За
56. Какие случайные величины распределены по
нормальному закону?
117
118
120
124
126
127
Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
57. Предмет и задачи математической статистики
58. Генеральная и выборочная совокупности
59. Статистическое распределение выборки
60. Эмпирическая функция распределения
61. Полигон и гистограмма
62. Числовые характеристики статистического
распределения
63. Статистические оценки параметров распределения
64. Генеральная и выборочная средние
65. Доверительный интервал и доверительная вероятность...
66. Доверительный интервал для математического ожидания
и дисперсии величины с неизвестным законом
распределения в случае большой выборки
67. Доверительный интервал для вероятности события
68. Распределение «хи - квадрат»
69. Распределения Стьюдента и Фишера - Снедекора
70. Доверительный интервал для дисперсии нормального
распределения
71. Понятие о двумерных случайных величинах
6
129
130
130
131
132
134
135
135
137
137
140
141
143
144
147
112
113
Стр.7
72. Закон распределения дискретной двумерной случайной
величины
75. Математическое ожидание и дисперсия составляющих
двумерной случайной величины
76. Линии регрессии
79. Статистическая гипотеза. Основные понятия
80. Односторонние и двусторонние критические области
81. Сравнение генеральных средних двух произвольно
распределенных случайных величин
82. Сравнение выборочного среднего арифметического со
средним значением генеральной совокупности
83. Сравнение двух дисперсий нормально распределенных
генеральных совокупностей
84. Ранговая корреляция. Коэффициент Спирмена
Литература
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ВЕР0ЯТН0СТНБ1Х И СТАТИСТИЧЕСКИХ
РАСЧЕТОВ
Таблица 1 значений функции (р(х)
Таблица 2 значений функции Лапласа Ф(х)
Таблица 3 критических значений критерия
Таблица 4 корней уравнения Р(х>х )=^
Таблица 5 критических точек распределения Стьюдента
Таблица 6 критических точек Е - распределения
180
181
183
184
186
187
148
73. Функция распределения двумерной случайной величины 149
74. Вероятность попадания двумерной случайной величины
в полосу и в прямоугольник
150
151
152
155
77. Еще об оценке степени зависимости случайных величин. 154
78. Корреляционная таблица
161
163
165
167
168
171
178
7
Стр.8