УДК 517.518.45
ББК 22.16
А 70
Рецензенты:
кафедрой
Г.И. Попов доктор педагогических наук, профессор, заведующий
естественнонаучных
дисциплин ФГЪОУ ВПО «Российский
государственный университет физической культуры, спорта, молодёжи и
туризма (ГЦОЛИФК)»
А.Н. Тамбовский доктор педагогических наук, профессор, проректор по
научной работе ФГБОУ ВПО «Московская государе гвенная академия
физической культуры»
Шмелёв П.А., Шмелёва Г.А., Фураев А.Н.
А 70: «Элементы математического анализа».
Учебное пособие по Высшей математике для вузов Физической культуры - М.:
МГАФК, 2014- 187 с : ил.
Содержание
пособия
соответствует
требованиям Федерального
государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования третьего поколения по дисциплине «Высшая математика» для
вузов физической культуры. Оно содержит элементы дифференциального и
интегрального исчислений, начала теории дифференциальных уравнений.
Предназначено для бакалавров и магистров вузов физической культуры.
Пособие подготовлено на кафедре биомеханики и информационных
технологий.
Утверждено научно - методическгш советом МГАФК в качестве
учебного пособия
© П.А.Шмелёв, Г.А.Шмелёва, А.Н.Фураев,
©МГАФК, 2014
Стр.3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое учебное пособие по математическому анализу
представляет собой 2-ую часть учебного пособия по Высшей
Математике для вузов Физической Кулыуры. Это 2-ое издание,
дополненное и частично переработанное. Студенты вузов
Физической Культуры учатся в особом режиме: вын>'ждены
отвлекаться ог учебы из-за постоянных обязательных тренировок,
сборов, соревнований. Для освоения сложной теории и практики
высшей математики в таком режиме, для того, чтобы математика
стала необходимым практическим инструментом в
их
профессиональной деятельности, подготовлено настоящее пособие.
Авторы старались изложить материал доступным, кратким и
четким языком, подобрать наглядные демонстрационные примеры,
применяемые в профессиональной области.
Во вторую часть пособия вошли разделы: Функция. Пределы
функций. Непрерывность функций. Элементы дифференциального
и интегрального исчислений. Начала теории дифференциальных
уравнений.
Каждый раздел подразделен на главы, а каждая глава - на
параграфы.
Формулы, приведенные в книге, имеют сквозную нумерацию.
Однако, часть формул, на которые имеются ссылки только в
данном параграфе и которые,
как правило, фиксируют
промежуточные результаты в выкладках, обозначены прописными
буквами русского алфавита (в каждом параграфе эти обозначения
повторяются).
В книге приняты следующие обозначения:
П-множество натуральных чисел;
2-миожество целых чисел;
К-множество действительных чисел.
Авторы выражают
глубокую благодарность
рецензентам
рукописи за замечания, способствующие улучшению пособия.
Стр.4
СОДЕРЖАНИЕ
Глава! . ФУНКЦИЯ
1. Множество
2. Операции над множествами
3. Общее определение функции
4. Действительная функция действительной переменной и
способы ее задания
5. Область определения функции, заданной аналитическим
способом
6. Классификация функций, задаваемых аналитическим
способом
7. График функции
8. Четные, нечетные и периодические функции
9. Основные элементарные функции и их графики
10. Понятие сложной функции. Элементарные функции
11. Графики функций Дх)+Ь, Г(х+а), !(х+а)+Ь
12. Квадратичная функция
13. Графики функций |Г(х)| Д|х|), |Д|х|)1
14. Графики функций АДх), Дкх), АДкх+а)
15. Графики функций л/Дх)и ^/Дх)
16. Построение графиков суммы и произведения двух
функций
17. Понятие предела функции в точке
18. Свойства функций, имеющих предел
19. Замечательные пределы
20. Бесконечно малые в точке функции
21. Бесконечно большие в точке функции и их связь с
бесконечно малыми
22. Непрерывность функции в точке
23. Непрерывность элементарных функций
Глава 3. ПРОИЗВОДНАЯ
24. Задача о проведении касательной к данной кривой
25. Задача о вычислении мгновенной скорости прямолинейно
движущейся точки
26. Понятие производной от функции в точке
4
7
9
12
14
15
17
18
20
23
26
29
31
33
35
38
40
Глава 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.ИЕИРЕРЫВИОСТЬ
ФУНКЦИИ
44
46
49
52
53
55
59
62
63
64
Стр.5
27. Вычисление производных от основных элементарных
функций
28. Непрерывность функции, имеющей производную
29. Производная суммы, произведения и частного
30. Производная сложной функции
31. Вычисление производных обратных функций
32. Таблица производных сложных функций
33. Дифференциал функции
34. Применение дифференциала в приближенных
вычислениях
3 5. Производные высших порядков
36. Механический смысл производной второго порядка
37. Численное дифференцирование
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНОЙ
38. Исследование функций на возрастание и убывание
39. Экстремумы функций
40. Достаточные условия существования экстремума
41. Исследование функций на возрастание, убывание и
экстремум в областях их определения
42. Задачи на экстремум практического содержания
43. Нахождение наибольшего и наименьшего значений
непрерывной на отрезке функции
46. Асимптоты графика функции
47. Общая схема исследования функции
9
9
9
9
К
К
44. Второе правило исследования функции на экстремум.... К
45. Правило Лопиталя
К
1
1
Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
48. Первообразная данной функции
49. Понятие неопределенного интеграла
50. Таблица неопределенных интегралов
51. Свойства неопределенных интегралов
1
V.
Т
1:
52. Интегрирование функций с помощью подведения
множителей под знак дифференциала
53. Интегрирование по частям
54. Интегрирование методом подстановки
57. Основные свойства определенного интеграла
5
I'
I
1
55. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции 1
56. Определенный интеграл
1
1
I
Стр.6
58. Оценка определенного интеграла
59. Теорема о среднем
135
137
60. Теорема о производной определенного интеграла по
верхнему пределу
61. Формула Ньютона-Лейбница
62. Определенное интегрирование по частям
63. Замена переменной в определенных интегралах
64. Применения определенного интеграла
65. Приближенное вычисление определенных интегралов....
66. Задачи, приводящие к понятию дифференциального
уравнения
67. Понятия о дифференциальных уравнениях
68. Задача Коши для дифференциальных уравнений 1-го и
2-го порядков
69. Непосредственно интегрируемые дифференциальные
уравнения 1-го и 2-го порядков
70. Метод ломаных Эйлера приближенного решения
дифференциального уравнения первого порядка
71. Дифференциальные уравнения с разделяюшимися
переменными
72. Дифференциальные уравнения вида у'=1"(ах+Ьу+с)
73. Однородные дифференциальные уравнения
74. Линейные дифференциальные уравнения первого
порядка
75. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка
76. Линейные однородные дифференциальные уравнения
2-го порядка с постоянными коэффициентами
77. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
78. Простейшие случаи метода подбора для решения
линейного неоднородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
79. Псследование колебательного процесса
138
140
142
144
146
150
Глава 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
154
157
158
159
162
163
165
167
170
172
173
176
178
182
6
Стр.7