МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители:
Ф.В. Голованёва,
Е.В. Петрова
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Стр.1
1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве определяется
заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в
одной точке O взаимно перпендикулярных осей: Ox, Oy и Oz. Точка O –
начало координат, Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат.
Пусть M – произвольная точка пространства. Проведем через точку
M три плоскости, перпендикулярные координатным осям Ox , Oy и Oz.
Точки пересечения плоскостей с осями обозначим соответственно через
x
M , M и z
y
M . Прямоугольными координатами точки M называются числа
x ,,
x OM y OM z OM== yz,
=
т. е. величины направленных отрезков ,,x yz
(
OM OM OM ; при этом x называется
абсциссой, y – ординатой, z – аппликатой точки M . Символ
M ;; )xy z обозначает, что точка M имеет координаты ,, .
x yz
пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел
(
Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами.
Расстояние между двумя точками (
A ;;
11 )1
B ;;
.
ляется по формуле
dx x=− + () (
ределяется по формуле
dx y=+ z+
22 )2
(
точки C определяются по формулам:
12 1
22 2
.
Если отрезок, концами которого служат точки
B ;; (xy z , разделен точкой Cx;; )
y z в отношении
xy z2
11 .
== +=++ 1+
x xy y2++ z1
;; z
В частности, координаты середины отрезка определяются по формулам:
12 1
xy z2
z1
x xy y++ z
;;
2
3
2
== +=
22 .
A ;; (xy z11 )1
и
, то координаты
В частности, расстояние точки M ;; )xy z от начала координат O оп21
2y − y1) + ( z2 − z1
(
22 )2
Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке M
x;; )yz – ее прямоугольные координаты и, наоборот, каждой упорядоченной
тройке чисел ( x;; )yz соответствует, и притом одна, точка M в пространстве.
Плоскости
Oxy , Oyz, Oxz называются координатными плоскостями.
xy z и ( 22 )2
xy z опредеλ
λλ
λ
λ
λλ
Стр.3
Если в общем уравнении плоскости коэффициент D 0≠ , то, разделив
все члены уравнения на D− , уравнение плоскости можно привести к виду
1
x yz
ab c
(здесь ,,
DD D
abc
A BC
плоскости в отрезках: в нем ,,
Ax B y C z D++ +
22 2
2
0
+ +=
(4)
=− =− =− ). Это уравнение называется уравнением
abc – соответственно абсцисса, ордината и
аппликата точек пересечения плоскости с осями ,Ox Oy и .Oz
4. Угол
= определяется по формуле
12 1 2
cos
=
A BC A B C2
11 1++ ++
22 2
AA BB CC1 2
2
+
+
2
Условие параллельности плоскостей:
11 1
22 2
A BC
A BC
уравнением AxBy Cz D++ +
d
5. Расстояние от точки M ;; 0 )
0,
AA BB CC1 2
00 0
AxBy
++
== .
Условие перпендикулярности плоскостей:
12 1 2
AB C
= ++ +
22 2
+ +=0.
= находится по формуле
00
Cz0 D
.
2
(6)
(7)
(xy z до плоскости, определяемой
(8)
Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координат
точки в нормальное уравнение плоскости; знак результата этой подстановки
характеризует взаимное расположение точки и начала координат
относительно данной плоскости: «плюс», если точка
0
M ;; 0 )
00 0
(xy z и
(9)
2
2 .
между плоскостями 11 1
Ax B y C z D1
+ ++ = 0
и
(5)
M и начало координат
расположены по разные стороны от плоскости, и «минус», если они
расположены по одну сторону от плоскости.
6. Уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярной векторуNi++= A BC
)
Ax x B y y C z z
(
(
7. Уравнение
+
( −+ − + −=0.
00 )0
j k , имеет вид
)
При произвольных значениях ,A B и C последнее уравнение определяет
некоторую плоскость, принадлежащую связке плоскостей, проходящих через
точку 0
M . Его поэтому часто называют уравнением связки плоскостей.
(
Ax B y C z D A x B y C z D2 )
11 1
+
+
при произвольном значении
2
2
2
щую через прямую пересечения плоскостей
6
0
1 + ++ += (10)
определяет некоторую плоскость, проходяϕ
ϕ
λ
λ
Стр.6
Ax B y C z D++ +
11 1
1 = 0
(I) и 22 2
Ax B y C z D2
+ ++ = 0,
(II)
т. е. некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих
через эту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением
пучка плоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями (I) и (II),
параллельны, то пучок плоскостей превращается в совокупность плоскостей,
параллельных этим плоскостям.
8. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
j
M r,
11
()
M r,
22 ( )
rr , 21 rr, где =+ +
комой плоскости :M
ri j=+ +
−
33 3
1 rr, 31
−
или в координатной форме:
xx y y z z
xx y y
21 2
−− −
−− −
11
1
31 3
1
2
()
x ,,
1
z z1 = 0.
xx y y−− −3z z1
9. Если плоскость определена тремя точками ( 11 )1
33 3yz , то уравнение ее также примет вид
1
x ,,
xy z
xy z
xy z
xy z
11 )1
11 1
22 2
33 3
1 0.
1
1
=
Если четыре точки ( x ,, ,yz ( 22 )2
xy z
xy z
xy z
xy z
11 1
22 2
33 3
44 4
1
1 0.
1
1
=
ра, вершинами которого они служат, вычисляется по формуле
11 1
22 2
33 3
44 4
V xy z
xy z
xy z
=±
1
6
7
1
1
1,
1
(13)
Если эти четыре точки не лежат в одной плоскости, то объем тетраэдxy
z
(14)
x ,, ,yz ( 33 )3
x ,,
yz и ( 44 )4
x ,,
yz , ( 22 )2
x ,,
yz и
(11)
M r
33
()
(здесь 11 1ri++ = + +2j
1k r i
2
2
( −− 0,
rr r r r r ) =
x yz
)(
−
= x ;;yz x y z2k
x yz3k ), проще найти из условия компланарности векторов
−
ri j k – радиус-вектор текущей точки ис12
1)( 3 1
(12)
yz лежат
в одной плоскости, то между их координатами существует следующее
соотношение:
Стр.7
причем знак в правой части выбирается так, чтобы результат получился неотрицательным
(V > 0).
Пример 1. Уравнение плоскости 23 621
0
нус», поскольку D 21 0
x yz+ −+ = привести к нормальному
виду.
Решение.
Находим нормирующий множитель (который берем со знаком «ми=
> ):
=−
23 6
++
22 2
11.7
=−
Итак, нормальное уравнение заданной плоскости имеет вид
=
23 6 30.
77 7xy z
−− + −
сти 63 228
Пример 2. Определить расстояние от точки M 3; 5; 8− до плоскоx
yz− +−=0.
0 (
)
Решение.
Используя формулу (8) расстояния от точки до плоскости, находим
( )
d 63 3 5 2 8 28 41.7632
⋅− ⋅ + ⋅ − −
==
++
22 2
мальное уравнение плоскости отрицателен, то M 3; 5; 8− и начало коорТак
как результат подстановки координат точки M 3; 5; 8− в нор0
(
0 (
)
M 2; 3; 5 и перпендикулярной вектору 43 2 .
(
)
Ni j k
42 33 2xy 0,
−+ − ) + −5) = т. е. 4 3 2 27 0.
)
(
( z
x yz+ +− =
0.
x yz− +− =10
Ax B y C z
−+ − ) + +
)
(
(
52 3 3xy 0,
8
−− − ) + +1) = или 53 2
)
(
2( z
n=− данной плоскости; следовательно, 5 B = − , 2
5; 3; 2)
x yz− ++ = 0.
1
нение искомой плоскости примет вид
(
)
динат лежат по одну сторону от заданной плоскости.
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
= ++
Решение.
Достаточно воспользоваться уравнением (9) плоскости, проходящей
через данную точку и перпендикулярной данному вектору:
(
M 2; 3; 1− параллельно плоскости 53 2
(
точку:
( 23 )1 = 0.
Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором
(
A = , 3 C = и уравПример
4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку
)
Решение.
Запишем уравнение (9) связки плоскостей, проходящих через данную
μ
Стр.8