Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 503329)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
"Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта."

Функциональные пространства. Вводный курс (180,00 руб.)

0   0
АвторыСмагин Виктор Васильевич
ИздательствоВоронеж
Страниц71
ID673194
АннотацияВ данном пособии даются необходимые первоначальные сведения о метрических пространствах, линейных нормированных пространствах и пространствах со скалярным произведением. Рассматриваются простейшие свойства отображений этих пространств. Предложенный в пособии материал устанавливает терминологию функционального анализа и базируется на знаниях и навыках, которыми студенты математических специальностей овладевают к четвертому семестру обучения.
Кому рекомендованоРекомендовано студентам второго курса математического факультета.
Функциональные пространства. Вводный курс [Электронный ресурс] / В.В. Смагин .— : Воронеж, 2017 .— 71 с. — 71 с. — Режим доступа: https://rucont.ru/efd/673194

Предпросмотр (выдержки из произведения)

Функциональные_пространства._Вводный_курс_.pdf
Стр.1
Стр.3
Стр.6
Стр.7
Стр.8
Стр.9
Стр.10
Функциональные_пространства._Вводный_курс_.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Смагин ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ВВОДНЫЙ КУРС Учебное пособие для вузов Воронежский государственный университет Математический факультет 2017
Стр.1
— 3 — Содержание Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Глава I. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §§ 1. Вспомогательные неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Определения и примеры метрических пространств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §§ 5. Полнота метрических пространств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6. Точки прикосновения и замыкание множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 §§ 3. Шары и ограниченные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. Сходимость в метрических пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 §§ 7. Замкнутые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8. Внутренние точки и внутренность множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 §§ 9. Открытые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10. Открытые и замкнутые множества на прямой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 §§11. Некоторые теоремы о полных пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 12. Множества первой и второй категорий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 §§13. Сепарабельные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 14. Непрерывные отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 §§15. Принцип сжимающих отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 16. Компактные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 §§17. Вполне ограниченные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 18. Критерии относительной компактности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Глава II. Линейные нормированные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . .43 §§19. Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 §§21. Определения и примеры нормированных пространств. . . . . . . . . . . . . . . . 49 22. Ряды в нормированных пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 §§23. Фактор-пространство линейного нормированного пространства. . . . . . 53 24. Эквивалентные нормы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 §§25. Разрешимость интегральных уравнений Вольтерра второго рода. . . . .58 26. Компактность и конечномерность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 §§29. Ортогональные системы элементов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 30. Ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 §§27. Пространства со скалярным произведением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 28. Свойство ортогональности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 20. Фактор-пространство линейного пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Стр.3
— 6 — Доказательство. Для p = 1 неравенство (4) очевидно. Рассмотрим случай p > 1. Из (2) и равенства (p − 1)q = p следует оценка n k=1 |uk + vk|p ≤  n k=1 |uk|p n k=1 |uk| |uk + vk|p−1 + 1/p nk=1 |uk + vk|(p−1)q 1/p же упомянутая сумма равна нулю, то неравенство (4) очевидно. ♥ §2. Определения и примеры метрических пространств Если n k=1 |uk +vk|p = 0, то из (5) следует (4), так как 1−1/q = 1/p. Если  n k=1 |uk|p +  n k=1 |vk|p 1/p  n k=1 |uk + vk|p Пусть X — произвольное непустое множество. Пусть каждой паре его элементов x, y ∈ X поставлено в соответствие действительное число ρ(x, y) такое, что для всех x, y, z ∈ X выполняются следующие аксиомы: 1. ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = 0 ←→ x = y; 2. ρ(x, y) = ρ(y, x) (аксиома симметрии); 3. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) (неравенство треугольника). В таком случае число ρ(x, y) называется расстояние между x и y или метрикой в множестве X. А само множество вместе с метрикой {X, ρ} называется метрическим пространством. 2.1.• Задачи: ρ1(x, y) = ρ1/2(x, y), Пусть ρ(x, y) – метрика в X. Показать, что метриками в X являются: ρ2(x, y) = ln[1 + ρ(x, y)], ρ3(x, y) = min{1, ρ(x, y)}, ρ4(x, y) = ρ(x, y)[1 + ρ(x, y)]−1. 2.2. Показать, что аксиомы метрики эквивалентны двум условиям: 1) ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, 2) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(y, z). 2.3. Пусть X – множество с метрикой ρ(x, y). Показать, что для любых элементов x, y, u, v ∈ {X, ρ}: a) |ρ(x, y) − ρ(x, u)| ≤ ρ(y, u), б) |ρ(x, u) − ρ(y, v)| ≤ ρ(x, y) + ρ(u, v). Примеры метрических пространств. 1. R1 – множество вещественных чисел (либо C1 – множество комплексных чисел) с метрикой ρ(x, y) = |x − y|. 1/q +  n k=1 |vk|p n k=1 |vk| |uk + vk|p−1 ≤ 1/p nk=1 |uk + vk|(p−1)q 1/q . 1/q = (5)
Стр.6
— 7 — 2. X – произвольное непустое множество с дискретной метрикой ρ(x, y) =  0, x = y 1, x = y . 3. Rn – множество n – мерных векторов x = (x1, x2, . . . , xn) с вещественными координатами (либо Cn – множество n – мерных векторов с комплексными координатами) с метрикой, где 1 ≤ p < ∞, ρ(x, y) = ρp(x, y) = Эти метрические пространства далее будем обозначать Rn  n k=1 |xk − yk|p 1/p . p и Cn p соответственно. Заметим, что аксиома треугольника здесь следует из неравенства Минковского (4). 4. Вновь рассмотрим множество Rn (либо Cn). Метрику здесь зададим выражением ρ(x, y) = ρ∞(x, y) = max Эти метрические пространства далее будем обозначать Rn 1≤k≤n |xk − yk|. ственно. 5. Через C[a, b] обозначим пространство числовых функций, непрерывных ∞ и Cn ρ(x, y) = max a≤t≤b |x(t) − y(t)|. 6. Через C1[a, b] обозначим пространство числовых функций, непрерывных на отрезке [a, b], где на функциях x, y ∈ C1[a, b] метрика задается выражением ρ(x, y) =  b a |x(t) − y(t)| dt. Тогда ϕ(t) ≡ 0 на [a, b]. Доказательство. Если ϕ(t) ≡ 0, то (∃c ∈ [a, b]) [ϕ(c) > 0]. В силу непрерывности функции ϕ(t) имеется в [a, b] целый отрезок [α, β]  c такой, что (∀t ∈ [α, β])[ ϕ(t) ≥ ϕ(c)/2 > 0 ]. Получим далее Для обоснования первой аксиомы метрики понадобится Лемма 1. Пусть на [a, b] функция ϕ(t) ≥ 0, непрерывна и  b b a ϕ(t) dt = β α ϕ(t) dt + t/∈(α,β) ϕ(t) dt ≥ β α ϕ(t) dt ≥ (β − α)ϕ(c)/2 > 0, a ϕ(t) dt = 0. ∞ соответна отрезке [a, b], где на функциях x, y ∈ C[a, b] метрика задается выражением
Стр.7
— 8 — что противоречит условию леммы. ♥ 7. Через M[a, b] обозначим пространство числовых функций, определенных и ограниченных на отрезке [a, b], то есть таких, что supa≤t≤b |x(t)| < ∞. На функциях x, y ∈ M[a, b] метрика задается выражением ρ(x, y) = sup a≤t≤b |x(t) − y(t)|. Определение корректно, так как для всех t ∈ [a, b] |x(t) − y(t)| ≤ |x(t)| + |y(t)| ≤ sup a≤t≤b |x(t)| + sup a≤t≤b |y(t)| = C < ∞. 8. Через lp, где 1 ≤ p < ∞, обозначим пространство числовых последовательностей x = (x1, x2, . . . , xk, . . .), суммируемых с p-ой степенью, то есть таких, что ∞k=1 |xk|p < ∞. Метрика на элементах x, y ∈ lp задается выражением ρ(x, y) = ρp(x, y) = Определение метрики корректно (ряд в (6) сходится), так как для всех k ∈ N справедлива оценка |xk − yk|p ≤ 2p(|xk|p + |yk|p). Докажем неравенство треугольника. Для любого n ∈ N из неравенства  ∞ k=1 |xk − yk|p Минковского для x, y, z ∈ lp следует оценка  n k=1 |xk − yk|p 1/p ≤ Так как все ряды ∞k=1 |xk − yk|p, ∞k=1 |xk − zk|p и ∞k=1 |zk − yk|p сходятся, то неравенство треугольника следует из (7) при n →∞.  n k=1 |xk − zk|p 1/p +  n k=1 |zk − yk|p 9. Через m обозначим пространство ограниченных числовых последовательностей x = (x1, x2, . . . , xk, . . .), то есть таких, что supk∈N |xk| < ∞. Метрика на элементах x, y ∈ m задается выражением ρ(x, y) = sup k∈N |xk − yk|. 10. Через s обозначим пространство произвольных числовых последовательностей x = (x1, x2, . . . , xk, . . .). Метрика на элементах x, y ∈ s задается выражением ρ(x, y) = ∞k=1 2k (1 + |xk − yk|) . |xk − yk| (8) 1/p . (7) 1/p . (6)
Стр.8
— 9 — Определение метрики корректно (ряд в (8) сходится). Аксиома треугольника следует из простого неравенства α(1 + α)−1 ≤ β(1 + β)−1, где 0 ≤ α ≤ β. 2.4.• Задачи: Показать, что ρ(x, y) = |arctg(x − y)| является метрикой на R1. 2.5. Пусть функция ϕ(t) определена и дважды непрерывно дифференцируема при t ≥ 0. Кроме того, ϕ(0) = 0, ϕ(t) > 0 и ϕ(t) ≤ 0. Показать, что ρ(x, y) = ϕ(|x − y|) является метрикой на R1. диуса r ≥ 0 с центром в точке x0 ∈ X называется множество B(x0, r) = {x ∈ X | ρ(x, x0) < r} 3.1.• Задачи: В метрическом пространстве {X, ρ} открытым (замкнутым) шаром ра(B[x0, r] = {x ∈ X | ρ(x, x0) ≤ r} ) . §3. Шары и ограниченные множества ρ2(x, y) = (|x1 − y1|2 + |x2 − y2|2)1/2, ρ∞(x, y) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|} построить замкнутые шары B[(0, 0), 1]. На плоскости R2 с метриками ρ1(x, y) = |x1 − y1| + |x2 − y2|, 3.2. Может ли в метрическом пространстве шар радиуса 4 быть строгим подмножеством шара радиуса 3 ? 3.3. Показать, что если шар радиуса 7 в метрическом пространстве содержится в шаре радиуса 3, то эти шары совпадают. В метрическом пространстве {X, ρ} множество M ⊂ X называется ограниченным, если в X существует замкнутый шар конечного радиуса, содержащий это множество. 3.4.• Задачи: чено. Показать, что Пусть в метрическом пространстве {X, ρ} множество M ⊂ X ограни(∀x0 ∈ X)(∃r > 0)(M ⊂ B[x0, r]). 3.5. Пусть множества A и B ограничены в метрическом пространстве {X, ρ}. Показать, что множество A ∪ B также ограничено в {X, ρ}. 3.6. Доказать, что множество M ⊂ C[a, b] ограничено тогда и только тогда, когда (∃K > 0)(∀x ∈ M)(∀t ∈ [a, b])(|x(t)| ≤ K). 3.7. Пусть {x(t)} – множество дифференцируемых на [a, b] функций таких, что (∃K1 ≥ 0)(∃K2 ≥ 0)(∀x)(∀t ∈ [a, b]) [(|x(a)| ≤ K1) ∧ (|x(t)| ≤ K2)] . Доказать, что множество {x(t)} ограничено в пространстве C[a, b].
Стр.9
— 10 — Пусть {X, ρ} – метрическое пространство. Последовательность элементов §4. Сходимость в метрических пространствах {xn} ⊂ X сходится к элементу x ∈ X по метрике, если ρ(xn, x) → 0 при n → ∞. При этом используются обозначения limn→∞xn = x, либо xn → x при n →∞. Свойства сходящихся последовательностей. 1. В метрическом пространстве любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, причем, к тому же пределу. Доказательство. Пусть {xn} ⊂ X сходится к элементу x ∈ X и {xnk {xn}. Тогда числовая последовательность {ρ(xnk ρ(xnk, x) → 0 при k →∞. ♥ } ⊂ , x)} ⊂ {ρ(xn, x)}. Поэтому 2. Последовательность в метрическом пространстве может иметь не более одного предела. Доказательство. Пусть {xn} ⊂ X такая, что xn → a и xn → b при n →∞. Из оценки 0 ≤ ρ(a, b) ≤ ρ(a, xn)+ρ(xn, b) при n →∞ получим ρ(a, b) = 0, то есть a = b. ♥ 3. Всякая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве ограничена. Доказательство. Пусть {xn} ⊂ X такая, что xn → x при n → ∞. Тогда ρ(xn, x) → 0 и, следовательно, числовая последовательность {ρ(xn, x)} ограничена, то есть (∃r > 0) (∀n ∈ N) [ ρ(xn, x) ≤ r ]. Таким образом, последовательность {xn} ⊂ B[x, r]. ♥ 4. Пусть в метрическом пространстве даны две последовательности: xn → x и yn → y при n →∞. Тогда ρ(xn, yn) → ρ(x, y) при n →∞. Доказательство следует из неравенства (задача 2.3(б)) 4.1.• Задачa. |ρ(xn, yn) − ρ(x, y)| ≤ ρ(xn, x) + ρ(yn, y). ♥ ется xn → x и ρ(xn, yn) → 0, то yn → x. Сходимость в пространстве Rn где xm = (xm 1 , xm 2 , . . . , xm ρ(xm, x) = Но это возможно тогда и только тогда, когда xm  n k=1 |xm Показать, что если в метрическом пространстве при n →∞ выполняp . Пусть 1 ≤ p < ∞, последовательность {xm} ⊂ Rn p и xm → x при m →∞, k − xk|p → 0. n ), x = (x1, x2, . . . , xn). Это означает, что при m→∞ 1/p k → xk при m→∞ для всех
Стр.10

Облако ключевых слов *


* - вычисляется автоматически