МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ
И СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ЯДРОМ КОШИ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители:
В.Е. Петрова, С.Н. Медведев,
О.А. Медведева
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2017
Стр.1
Содержание
1 Краевая задача Римана – Гильберта.
Некоторые вспомогательные теоремы и понятия
4
1.1 Принцип непрерывности. Продолжение по симметрии . . . 4
1.2 Принцип аргумента. Обобщенная теорема Лиувилля . . . . 8
1.3 Индекс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Задача Римана – Гильберта для односвязной
области
14
2.1 Постановка задачи. Отыскание кусочно-аналитической
функции по заданному скачку . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Каноническая функция. Решение задачи . . . . . . . . . . 16
3 Задача Римана – Гильберта для полуплоскости
4 Сингулярные интегральные уравнения
с ядром Коши. Основные понятия
26
29
4.1 Сингулярное интегральное уравнение . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Интегральные уравнения Фредгольма . . . . . . . . . . . . 32
5 Решение характеристического уравнения
35
5.1 Сведение к краевой задаче Римана – Гильберта . . . . . . 35
5.2 Решение уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Решение уравнения, союзного характеристическому . . . . 40
6 Сингулярные интегральные уравнения,
разрешимые в замкнутой форме
7 Уравнение на действительной оси
44
48
7.1 Исчезающие на бесконечности решения . . . . . . . . . . . 48
7.2 Решение в классе ограниченных на бесконечности
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3
Стр.3
аналитического продолжения, а для образования кусочно-аналитической
функции.
Аналитическое доопредление по симметрии. Пусть Dz — некоторая
область плоскости z, Lz — прямая или окружность, имеющие с контуром
области Dz некоторую общую часть. Множество точек, симметричных
точкам Dz относительно Lz, образуют область, которую обозначим
D∗z и назовем областью, симметричной Dz относительно Lz. Пусть, далее,
ω = f(z) — функция, аналитическая в Dz, отображающая ее в некоторую
область Dω; Lω — произвольная прямая или окружность в плоскости
ω и D∗ω — область, симметричная Dω относительно Lω. Определим в D∗z
функцию ω = f∗(z), ставя в соответствие точкам z∗, симметричным z,
значения ω∗, симметричные значениям ω = f(z); в частности, если Lz и
Lω — действительные оси, то
f∗(z) = f(z) = f(z).
Лемма. Функция ω = f∗ аналитична в области D∗z.
Приведем здесь доказательство, основанное на свойствах интеграла
типа Коши.
Пользуясь круговым свойством дробно-линейных преобразований,
сделаем в плоскостях z и ω дробно-линейные преобразования такие, что
Lz, Lω переходят соответственно в отрезки действительных осей z и ω. В
силу свойства инвариантности симметричных точек при дробно-линейном
преобразовании точки, симметричные относительно Lz, Lω, перейдут в
точки, симметричные относительно действительных осей плоскостей z и
ω. Таким образом, дело сводится к случаю, когда парами симметричных
точек будут (z, z) и (ω, ω). Для доказательства аналитичности f∗(z) воспользуемся
интегралом Коши:
f(z) =
2πi ∫Lz
1
6
f(τ)
τ − zdτ.
Стр.6
По определению
f∗(z) = f(z) = − 1
Заменим под знаком интеграла τ на τ и f(τ) на f∗. При этом кон2πi
∫Lz
τ − zdτ .
f(τ)
тур Lz перейдет в L∗z, проходимый в отрицательном направлении. Получим
f∗(z)
=
т.е. f∗(z) представляется интегралом Коши, следовательно, аналитична.
Функция
2πi ∫L∗z
1
f∗(τ)
τ − zdτ,
является кусочно-аналитической в совокупности областей Dz, D∗z.
Перейдем теперь к установлению принципа симметрии в обычной
F(z) = { f(z), z ∈ Dz,
f∗(z), z ∈ D∗z,
формулировке.
Теорема (принцип симметрии). Пусть функция ω = f(z) аналитична
в области Dz, имеющей частью своей границы отрезок прямой
или дугу окружности, и отражает область Dz в некоторую область
Dω так, что указанные отрезок или дуга снова переходят в отрезок
прямой или дугу окружности. Тогда функция f∗(z), определенная по
симметрии в области D∗z, будет аналитическим продолжением функции
f(z) в области D∗z.
Рассуждая, как при доказательстве леммы, можно свести рассмотрение
к случаю, когда отрезок действительной оси плоскости z отображается
на отрезок действительной оси плоскости ω. В силу леммы f∗(z)
аналитична в D∗z. Когда z стремится к точке действительной оси, то и
симметричнаяя ей точка z стремится к той же точке оси. По определению
симметрии и условию теоремы ω и ω стремятся к одной и той же точке
действительной оси плоскости ω. Следовательно, граничные значения
f(z) и f∗(z) совпадают. Условия принципа непрерывности выполнены, и
теорема доказана.
7
Стр.7
Понятие симметрии может быть значительно обобщено. Пусть L —
аналитическая кривая, определяемая параметрически: x = φ(t), y = ψ(t),
где φ, ψ — аналитические функции действительного параметра t. Равенство
z = φ(t) + iψ(t) при t действительном определяет точку кривой L,
при комплексном t оно задает некоторую точку комплексной плоскости,
не принадлежащую L. Заменив t на t, получим точку z∗ = φ(t) + iψ(t),
симметричную по определению точке z относительно L. Возьмём в последнем
выражении сопряжённое значение и присоединим к нему выражение
для z. Решая систему, получим
φ(t) = x = 1
2(z + z∗), ψ(t) = y = 1
2i(z − z∗).
Если уравнение кривой L задано в неявной форме уравнением
f(x, y) = 0, то для определения точки z∗, симметричной z относительно
кривой L, получим уравнение
Для произвольной аналитической кривой алгоритм построения симf
[1
2(z∗ + z), 1
2i(z∗ − z)] = 0.
метричных точек не изучен. Для более частного случая алгебраической
кривой он разработан.
1.2 Принцип аргумента. Обобщенная теорема Лиувилля
Пусть в области D, ограниченной контуром L, функция f(z) аналитична,
за исключением конечного числа точек, где она может иметь полюсы.
Выпишем разложение в ряд в окрестности некоторой точки z0:
f(z) = cn(z − z0)n + cn+1(z − z0)n+1 + ... = (z − z0)nf1(z),
f1(z0) = cn ̸= 0.
Число n называется порядком функции в точке z0. Если n > 0, то
порядок функции есть порядок ее нуля, если n < 0, то порядок ее есть
порядок полюса с противоположным знаком. Если порядок функции в z0
8
Стр.8
есть нуль, то в такой точке функция принимает конечное, отличное от нуля,
значение. При рассмотрении бесконечно удаленной точки бином z − z0
нужно заменить на 1
z . Если точка z0 лежит на контуре L, то порядком
функции будем считать число n/2.
Пусть ND, PD; NL, PL соответственно числа нулей и полюсов в области
и контуре, причем каждый из них берется столько раз, какова его
кратность. Символом [ω]L обозначим приращение величины ω при обходе
контура в положительном направлении. Положительным обходом, как
всегда, считается тот, при котором рассматриваемая область остается слева.
Сформулируем теорему, называемую принципом аргумента.
Принцип аргумента. Пусть f(z) есть функция, аналитическая
и однозначная в многосвязной области D, ограниченной гладким контуром
L = L0 + L1 + ... + Lm, за исключением конечного числа точек, где
она может иметь полюсы, непрерывная в замкнутой области D ∪ L
и имеет на контуре не более чем конечное число нулей целого порядка.
Тогда справедлива формула
ND − PD + 1
2(NL − PL) = 1
2π[arg f(z)]L.
Обобщенный принцип аргумента. Пусть f(z) аналитична в
D, за исключением конечного числа точек, где она имеет полюсы, и
непрерывно продолжима на контур всюду, кроме точек tk в окрестности
которых она представима в виде
f(z) = fk(z)(z − tk)λk lnµk
(z − tk)(k = 1, 2, ..., n),
где fk(z) ̸= 0, λk, µk — некоторые, вообще говоря, комплексные постоянные.
Тогда
ND
− PD + 1
2
где αk — угол между касательными векторами в угловой точке.
9
∑n
k=1
αkReλk = 1
2π[arg f(z)]L,
Стр.9
Теорема Лиувилля (обобщенная). Пусть функция f(z) аналитична
во всей плоскости комплексного переменного, за исключением
точек a0 = ∞, ak (k = 1, 2, ..., n), где она имеет полюсы, причем главные
части разложений функции f(z) в окрестности полюсов имеют вид
G0(z) = c0
1z + c0
в точке a0,
Gk(
1
в точке ak.
Тогда функция f(z) есть рациональная функция и может быть
z − ak
z − ak
(z − ak)2 + ... +
) =
1
+
ck
2
(z − ak)mk
представлена формулой
f(z) = c +G0(z) +
∑n
k=1
Gk ( 1
z − ak) .
В частности, если единственная особенность функции f(z) есть полюс
порядка m в бесконечно удаленной точке, то f(z) есть многочлен
степени m:
f(z) = c0 + c1z + ... + cmzm.
1.3 Индекс
Определение и основные свойства
Пусть L — гладкий замкнутый контур и G(t) — заданная на нем непрерывная
функция, не обращающаяся в нуль.
Определение. Индексом ж функции G(t) по контуру L называется
разделенное на 2π приращение ее аргумента при обходе кривой L в
положительном направлении:
ж = IndG(t) = 1
2π[arg G(t)]L.
10
(1.1)
ck
ck
mk
2z2 + ... + c0
m0zm0
Стр.10