Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 507304)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта.

Краевые задачи Римана-Гильберта для некоторых специальных областей и сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши (90,00 руб.)

0   0
АвторыПетрова Вера Евгеньевна, Медведев Сергей Николаевич, Медведева Ольга Александровна
ИздательствоИздательский дом ВГУ
Страниц55
ID673144
АннотацияПодготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Кому рекомендованоРекомендовано для студентов 3–4-го курсов очной формы обучения факультета прикладной математики, информатики и механики и для студентов 3–4-го курсов очной формы обучения математического факультета.
Краевые задачи Римана-Гильберта для некоторых специальных областей и сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши [Электронный ресурс] / В.Е. Петрова, С.Н. Медведев, О.А. Медведева .— Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2017 .— 55 с. — 55 с. — Режим доступа: https://rucont.ru/efd/673144

Предпросмотр (выдержки из произведения)

Краевые_задачи_Римана-Гильберта_для_некоторых_специальных_областей_и_сингулярные_интегральные_уравнения_с_ядром_Коши_.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ И СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ КОШИ Учебно-методическое пособие для вузов Составители: В.Е. Петрова, С.Н. Медведев, О.А. Медведева Воронеж Издательский дом ВГУ 2017
Стр.1
Содержание 1 Краевая задача Римана – Гильберта. Некоторые вспомогательные теоремы и понятия 4 1.1 Принцип непрерывности. Продолжение по симметрии . . . 4 1.2 Принцип аргумента. Обобщенная теорема Лиувилля . . . . 8 1.3 Индекс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Задача Римана – Гильберта для односвязной области 14 2.1 Постановка задачи. Отыскание кусочно-аналитической функции по заданному скачку . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Каноническая функция. Решение задачи . . . . . . . . . . 16 3 Задача Римана – Гильберта для полуплоскости 4 Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши. Основные понятия 26 29 4.1 Сингулярное интегральное уравнение . . . . . . . . . . . . 30 4.2 Интегральные уравнения Фредгольма . . . . . . . . . . . . 32 5 Решение характеристического уравнения 35 5.1 Сведение к краевой задаче Римана – Гильберта . . . . . . 35 5.2 Решение уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3 Решение уравнения, союзного характеристическому . . . . 40 6 Сингулярные интегральные уравнения, разрешимые в замкнутой форме 7 Уравнение на действительной оси 44 48 7.1 Исчезающие на бесконечности решения . . . . . . . . . . . 48 7.2 Решение в классе ограниченных на бесконечности функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3
Стр.3
аналитического продолжения, а для образования кусочно-аналитической функции. Аналитическое доопредление по симметрии. Пусть Dz — некоторая область плоскости z, Lz — прямая или окружность, имеющие с контуром области Dz некоторую общую часть. Множество точек, симметричных точкам Dz относительно Lz, образуют область, которую обозначим D∗z и назовем областью, симметричной Dz относительно Lz. Пусть, далее, ω = f(z) — функция, аналитическая в Dz, отображающая ее в некоторую область Dω; Lω — произвольная прямая или окружность в плоскости ω и D∗ω — область, симметричная Dω относительно Lω. Определим в D∗z функцию ω = f∗(z), ставя в соответствие точкам z∗, симметричным z, значения ω∗, симметричные значениям ω = f(z); в частности, если Lz и Lω — действительные оси, то f∗(z) = f(z) = f(z). Лемма. Функция ω = f∗ аналитична в области D∗z. Приведем здесь доказательство, основанное на свойствах интеграла типа Коши. Пользуясь круговым свойством дробно-линейных преобразований, сделаем в плоскостях z и ω дробно-линейные преобразования такие, что Lz, Lω переходят соответственно в отрезки действительных осей z и ω. В силу свойства инвариантности симметричных точек при дробно-линейном преобразовании точки, симметричные относительно Lz, Lω, перейдут в точки, симметричные относительно действительных осей плоскостей z и ω. Таким образом, дело сводится к случаю, когда парами симметричных точек будут (z, z) и (ω, ω). Для доказательства аналитичности f∗(z) воспользуемся интегралом Коши: f(z) = 2πi ∫Lz 1 6 f(τ) τ − zdτ.
Стр.6
По определению f∗(z) = f(z) = − 1 Заменим под знаком интеграла τ на τ и f(τ) на f∗. При этом кон2πi ∫Lz τ − zdτ . f(τ) тур Lz перейдет в L∗z, проходимый в отрицательном направлении. Получим f∗(z) = т.е. f∗(z) представляется интегралом Коши, следовательно, аналитична. Функция 2πi ∫L∗z 1 f∗(τ) τ − zdτ, является кусочно-аналитической в совокупности областей Dz, D∗z. Перейдем теперь к установлению принципа симметрии в обычной F(z) = { f(z), z ∈ Dz, f∗(z), z ∈ D∗z, формулировке. Теорема (принцип симметрии). Пусть функция ω = f(z) аналитична в области Dz, имеющей частью своей границы отрезок прямой или дугу окружности, и отражает область Dz в некоторую область Dω так, что указанные отрезок или дуга снова переходят в отрезок прямой или дугу окружности. Тогда функция f∗(z), определенная по симметрии в области D∗z, будет аналитическим продолжением функции f(z) в области D∗z. Рассуждая, как при доказательстве леммы, можно свести рассмотрение к случаю, когда отрезок действительной оси плоскости z отображается на отрезок действительной оси плоскости ω. В силу леммы f∗(z) аналитична в D∗z. Когда z стремится к точке действительной оси, то и симметричнаяя ей точка z стремится к той же точке оси. По определению симметрии и условию теоремы ω и ω стремятся к одной и той же точке действительной оси плоскости ω. Следовательно, граничные значения f(z) и f∗(z) совпадают. Условия принципа непрерывности выполнены, и теорема доказана. 7
Стр.7
Понятие симметрии может быть значительно обобщено. Пусть L — аналитическая кривая, определяемая параметрически: x = φ(t), y = ψ(t), где φ, ψ — аналитические функции действительного параметра t. Равенство z = φ(t) + iψ(t) при t действительном определяет точку кривой L, при комплексном t оно задает некоторую точку комплексной плоскости, не принадлежащую L. Заменив t на t, получим точку z∗ = φ(t) + iψ(t), симметричную по определению точке z относительно L. Возьмём в последнем выражении сопряжённое значение и присоединим к нему выражение для z. Решая систему, получим φ(t) = x = 1 2(z + z∗), ψ(t) = y = 1 2i(z − z∗). Если уравнение кривой L задано в неявной форме уравнением f(x, y) = 0, то для определения точки z∗, симметричной z относительно кривой L, получим уравнение Для произвольной аналитической кривой алгоритм построения симf [1 2(z∗ + z), 1 2i(z∗ − z)] = 0. метричных точек не изучен. Для более частного случая алгебраической кривой он разработан. 1.2 Принцип аргумента. Обобщенная теорема Лиувилля Пусть в области D, ограниченной контуром L, функция f(z) аналитична, за исключением конечного числа точек, где она может иметь полюсы. Выпишем разложение в ряд в окрестности некоторой точки z0: f(z) = cn(z − z0)n + cn+1(z − z0)n+1 + ... = (z − z0)nf1(z), f1(z0) = cn ̸= 0. Число n называется порядком функции в точке z0. Если n > 0, то порядок функции есть порядок ее нуля, если n < 0, то порядок ее есть порядок полюса с противоположным знаком. Если порядок функции в z0 8
Стр.8
есть нуль, то в такой точке функция принимает конечное, отличное от нуля, значение. При рассмотрении бесконечно удаленной точки бином z − z0 нужно заменить на 1 z . Если точка z0 лежит на контуре L, то порядком функции будем считать число n/2. Пусть ND, PD; NL, PL соответственно числа нулей и полюсов в области и контуре, причем каждый из них берется столько раз, какова его кратность. Символом [ω]L обозначим приращение величины ω при обходе контура в положительном направлении. Положительным обходом, как всегда, считается тот, при котором рассматриваемая область остается слева. Сформулируем теорему, называемую принципом аргумента. Принцип аргумента. Пусть f(z) есть функция, аналитическая и однозначная в многосвязной области D, ограниченной гладким контуром L = L0 + L1 + ... + Lm, за исключением конечного числа точек, где она может иметь полюсы, непрерывная в замкнутой области D ∪ L и имеет на контуре не более чем конечное число нулей целого порядка. Тогда справедлива формула ND − PD + 1 2(NL − PL) = 1 2π[arg f(z)]L. Обобщенный принцип аргумента. Пусть f(z) аналитична в D, за исключением конечного числа точек, где она имеет полюсы, и непрерывно продолжима на контур всюду, кроме точек tk в окрестности которых она представима в виде f(z) = fk(z)(z − tk)λk lnµk (z − tk)(k = 1, 2, ..., n), где fk(z) ̸= 0, λk, µk — некоторые, вообще говоря, комплексные постоянные. Тогда ND − PD + 1 2 где αk — угол между касательными векторами в угловой точке. 9 ∑n k=1 αkReλk = 1 2π[arg f(z)]L,
Стр.9
Теорема Лиувилля (обобщенная). Пусть функция f(z) аналитична во всей плоскости комплексного переменного, за исключением точек a0 = ∞, ak (k = 1, 2, ..., n), где она имеет полюсы, причем главные части разложений функции f(z) в окрестности полюсов имеют вид G0(z) = c0 1z + c0 в точке a0, Gk( 1 в точке ak. Тогда функция f(z) есть рациональная функция и может быть z − ak z − ak (z − ak)2 + ... + ) = 1 + ck 2 (z − ak)mk представлена формулой f(z) = c +G0(z) + ∑n k=1 Gk ( 1 z − ak) . В частности, если единственная особенность функции f(z) есть полюс порядка m в бесконечно удаленной точке, то f(z) есть многочлен степени m: f(z) = c0 + c1z + ... + cmzm. 1.3 Индекс Определение и основные свойства Пусть L — гладкий замкнутый контур и G(t) — заданная на нем непрерывная функция, не обращающаяся в нуль. Определение. Индексом ж функции G(t) по контуру L называется разделенное на 2π приращение ее аргумента при обходе кривой L в положительном направлении: ж = IndG(t) = 1 2π[arg G(t)]L. 10 (1.1) ck ck mk 2z2 + ... + c0 m0zm0
Стр.10

Облако ключевых слов *


* - вычисляется автоматически