МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ВЕКТОРЫ. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Учебно-методическое пособие
Составители:
В. В. Корзунина, К. П. Лазарев,
З. А. Шабунина
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2017
Стр.1
Содержание
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Векторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1. Понятие вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Операции сложения векторов и умножение вектора на число.
Свойства операций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Вещественное линейное пространство. Подпространство линейного
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Линейная комбинация, линейная зависимость и линейная
независимость векторов в линейном пространстве . . . . . 16
2.5. Линейная зависимость и независимость векторов в V3
. . 19
2.6. Размерность линейного пространства. Подпространства в
V3 и их размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7. Базис линейного пространства. Координаты вектора в базисе
линейного пространства. Свойства координат . . . . . 24
2.8. Аффинная система координат на прямой, на плоскости и
в пространстве. Декартова прямоугольная система координат.
Аффинные координаты точки. Декартовы координаты
точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9. Проекция точек и векторов. Свойства проекций . . . . . . 27
2.10.Скалярное произведение двух векторов. Его свойства, вычисление
и применение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.11. Векторное произведение двух векторов. Его свойства, вычисление
и применение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12. Смешанное произведение. Его свойства, вычисление и применение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3
Стр.3
начало вектора z принадлежит плоскости Π2, а конец — плоскости Π1.
Поэтому векторы x, y, u, v и любые три или два из них компланарны,
а любые четыре или пять векторов, содержащих z, некомпланарны.
Из определения следует, что коллинеарные векторы компланарны,
нулевые векторы коллинеарны и компланарны.
Определение 3. Ненулевые коллинеарные векторы AB и A′B′
называются одинаково (противоположно) направленными, если
a) отрезки AB и A′B′ лежат на одной прямой, отрезок AB принадлежит
лучу l с началом в точке A, отрезок A′B′ принадлежит
лучу l′ с началом в точке A′ и один из этих лучей содержит другой,
см. рис. 3 (ни один из этих лучей не содержит другой, см. рис. 4),
б) отрезки AB и A′B′ лежат на параллельных прямых, точки
B и B′ лежат по одну сторону от прямой AA′, т.е. отрезок BB′ не
пересекает отрезок AA′, см. рис. 5 (точки B и B′ лежат по разные
стороны от прямой AA′, т.е. отрезок BB′ пересекает отрезок AA′,
см. рис. 6).
Будем обозначать AB ↑↑ A′B′ — одинаковую направленность векторов
и AB ↑↓ A′B′ — противоположную направленность.
l′
A B′
A B′
l
Рис. 4
A′
A
B
Рис. 5
B′
B′
A′
A
Рис. 6
Определение 4. Два ненулевых вектора x и y называются равными
(обозначение x = y), если x ↑↑ y и |x| = |y|, т.е. они одинаково
направлены и имеют одинаковые длины.
Нулевые векторы также считаются равными.
Понятие равенства векторов отличается от понятия равенства, например,
точек. Равенство точек — это совпадение. Но существуют несовпадающие
между собой векторы, равные по этому определению, например,
векторы AB и A′B′ в параллелограмме ABB′A′, в котором стороны
6
B
Стр.6
AB и A′B′ параллельны см. рис.13. В то же время при B = A имеем
AB = BA, так как эти векторы противоположно направлены, хотя отрезки
AB и BA как множества точек равны.
Лемма 2.1.2. Из любой точки A′ можно провести единственный
вектор A′B′, равный данному вектору AB.
Доказательство следует из определения 4. При этом говорят, что
вектор AB перенесли в точку A′.
Обозначения.
V3 — множество всех геометрических векторов,
V2(Π) — подмножество векторов, параллельных плоскости Π,
V1(l) — подмножество векторов, параллельных прямой l,
V0 подмножество, состоящее только из o.
2.2. Операции сложения векторов и умножение вектора
на число. Свойства операций
Определение 1. (Сложение векторов.)
Пусть x, y ∈ V3. От произвольной точки A отложим вектор
AB = x и затем вектор BC = y. Суммой x и y называется вектор
AC, он обозначается x+y. Операция, сопоставляющая двум векторам
их сумму, называется сложением векторов.
x
y
B
y
x
Рис. 7
C
x + y
A
A B C
AB = x
x
y
BC = y
AC = x + y
A
Рис. 8
y
C B
x
AB = x
BC = y
AC = x + y
Рис. 9
На рис. 7 изображено сложение неколлинеарных векторов. Этот
способ сложения называется правилом треугольника. Заметим, что,
выбрав другую точку A′ и векторы A′B′ = x и B′C′ = y, мы получили
бы в качестве суммы другой вектор A′C′, равный вектору AC.
На рисунках 8, 9, 10 изображено сложение коллинеарных одинаково и
противоположно направленных векторов x и y.
7
Стр.7
x
y
C A B
AB = x
BC = y
AC = x + y
Рис. 10
A B
C
F
E
AB = x
D
CD = αx,
α = 1.2
EF = αx,
α = −0.75
Рис. 11
A
Рис. 12
Определение 2. (Умножение вектора на число.)
Произведением вектора x на число α ∈ R называется вектор y ,
обозначаемый αx, и удовлетворяющий условиям:
10 a) |y| = |α||x| при α = 0 и x = o;
б) y ↑↑ x при α > 0, y ↑↓ x при α < 0,
20 y = o при α = 0 или x = o.
Операция, сопоставляющая вектору x и числу α вектор αx называется
умножением вектора на число.
Сложение векторов и умножение вектора на число называются
линейными операциями.
На рис. 11 изображены результаты умножения на 1.2 и −0.75.
Теорема 2.2.1 (Свойства линейных операций).
1o ∀x, y, z ∈V3 (x + y) + z = x + (y + z).
2o ∀x ∈ V3 x + o = o + x = x.
3o ∀x ∈ V3 ∃ y ∈ V3 x + y = y + x = 0. Такой вектор y —
единственный и он равен (−1)x. (Вектор (−1)x называется противоположным
к вектору x и обозначается −x.)
4o ∀x, y ∈ V3 x + y = y + x.
5o ∀α, β ∈ R, x ∈ V3 α(βx) = (αβ)x.
6o ∀x ∈ V3 1x = x.
7o ∀α ∈ R, x, y ∈ V3 α(x + y) = αx + αy.
8o ∀α, β ∈ R, x ∈ V3 (α + β)x = αx + βx.
Доказательство.
1o Возьмём векторы AB = x, BC = y, CD = z. Имеем (x + y) +
+z = (AB + BC) + CD = AC + CD = AD, x + (y + z) = AB + (BC +
+CD) = AB + BD = AD. Следовательно, (x + y) + z = x + (y + z).
На рис. 12 изображён случай, когда x ∦ y, y ∦ z.
8
B
x
y
C
z
D
Стр.8
2o Пусть x = AB и o = BB = AA, тогда x + o = AB +
+BB = AB = x, o + x = AA+AB = AB = x.
3o Пусть x = AB. Тогда (−1)x = BA. Отсюда x+ (−1)x = AB +
+BA = AA = o и (−1)x + x = BA +AB = BB = o.
Если x + y = o, то (−1)x + (x + y) = (−1)x + o, ((−1)x + x) +
+y = (−1)x, o + y = (−1)x, и, следовательно, y = (−1)x.
A
B
A′
Рис. 13
B′
x
A B
D
y
C
E F
Рис. 14
x
A C B
D F
E
Рис. 15
4o Для неколлинеарных векторов x и y, построим параллелограмм
ABB′A′ так, чтобы x = AB, y = BB′ рис.13. Тогда x = A′B′, y =
= AA′. Отсюда x + y = AB + BB′ = AB′ и y + x = AA′ + A′B′ = AB′,
т.е. утверждение доказано. Для коллинеарных векторов, содержащих o
или противоположный вектор, утверждение следует из 2o или 3o.
Рассмотрим ненулевые векторы x||y. На рис.14 представлен случай
x ↑↑ y : AB = EF = x и BC = DE = y. Имеем AC = AB +
+BC = x + y, DF = DE + EF = y + x. При этом AC ↑↑ x, DF ↑↑ x
и |AC| = |x| + |y|, |DF | = |y| + |x|. Отсюда AC ↑↑ DF и |AC| = |DF|.
Следовательно, AC = DF, т.е. x + y = y + x.
На рис. 15 представлен случай x ↑↓ y и без ограничения общности
|x| > |y| : AB = DE = x и BC = FD = y. Тогда AC = AB+BC = x+y,
FE = FD+DE = y+x. При этом AC ↑↑ x, FE ↑↑ x и |AC| = |x|−|y|,
|FE| = |x| − |y|. Отсюда AC ↑↑ FE и |AC| = |FE|. Следовательно,
AC = FE, т.е. x + y = y + x.
5o При α = 0 или β = 0, или x = 0 свойство очевидно. В противном
случае покажем а) равенство модулей векторов и б) их одинаковую
направленность.
а) |α(βx)| = |α||βx| = |α||β||x|, |(αβ)x| = |αβ||x| = |α||β||x|.
б) При αβ > 0 имеем (αβ)x ↑↑ x. Для α > 0, β > 0 выполнено
βx ↑↑ x, α(βx) ↑↑ βx и тогда α(βx) ↑↑ x. Для α < 0, β < 0 выполнено
9
y
Стр.9
βx ↑↓ x, α(βx) ↑↓ βx и также α(βx) ↑↑ x. Следовательно, при αβ > 0
имеем (αβ)x ↑↑ α(βx).
При αβ < 0 имеем (αβ)x ↑↓ x. Для α < 0, β > 0 выполнено
βx ↑↑ x, α(βx) ↑↓ βx и α(βx) ↑↓ x. Для α > 0, β < 0 выполнено
βx ↑↓ x, α(βx) ↑↑ βx и также α(βx) ↑↓ x. Следовательно, при αβ < 0
имеем (αβ)x ↑↑ α(βx).
6o следует из определения умножения.
7o 1) Если один из векторов равен o или α = 0, то равенство верно.
2) Пусть α > 0 и x ∦ y. Отложим AB = x, BC = y, AB′ = αAB,
далее через точку B′ проведём прямую, параллельную BC, до пересечения
с прямой AC в точке C′, как показано на рис. 16. Из подобия
△ABC ∼ △AB′C′ и пропорциональности |AB′| : |AB| = α следуют
равенства |B′C′| : |BC| = |AC′| : |AC| = α. Отсюда в силу одинаковой
направленности AC ↑↑ AC′, BC ↑↑ B′C′ получаем AC′ = αAC,
B′C′ = αBC. Из △ABC и △AB′C′ получаем AC = AB + BC и
AC′ = AB′ + B′C′. Итак, AC′ = AB′ + B′C′ = αAB + αBC = αx + αy
и AC′ = αAC = α(AB + BC) = α(x + y), откуда α(x + y) = αx + αy.
C′
C
A
B
B′
Рис. 16
x αx
αx
y αy
αx + αy
x + y α(x + y)
Рис. 17
x
αx
x + y
y
αy αx + αy
α(x + y)
Рис. 18
3) Рассмотрим случай α > 0, x y, x = o, y = o.
Для x ↑↑ y см. рис. 17 имеем x, y, x+y, αx, αy, α(x+y), αx+αy
одинаково направлены и |α(x + y)| = |α||x + y| = α(|x| + |y|), |αx +
+αy| = |αx| + |αy| = α|x| + α|y| = α(|x| + |y|). Следовательно, в этом
случае α(x + y) = αx + αy.
Предположим, что x ↑↓ y.
При |x| = |y| имеем y = (−1)x. Отсюда следует, что αx+αy = αx+
+α((−1)x) = αx + (−1)(αx) = o и α(x + y) = α(x + (−1)x) = αo = o.
Итак, в этом случае α(x + y) = αx + αy.
10
Стр.10