Оглавление
Введение
5
9
12
15
5. Точное представление полугруппой преобразований
полурешетки полугрупп правых нулей..
6. Изучение правых сдвигов полурешетки полугрупп правых
нулей
....
6.1. Описание правых сдвигов полугруппы S для простейших
случаев
6.2. Связь разбиений подполугрупп, порождаемых правыми
сдвигами элементов из одной подполугруппы полугруппы S..
6.3. Связь разбиений подполугрупп полугруппы S,
порождаемых правыми сдвигами элементов из разных
подполугрупп полугруппы S
7. Оценка числа полугрупп, являющихся полурешетками
полугрупп правых нулей
8. Точное матричное представление полугруппы
идемпотентов
Глава II. Полугруппы характеров. Аппроксимация
полугрупп
1. Полугруппы характеров и их свойства
2. Примеры полугрупп характеров
3. Вполне простые идеалы и характеры
4. Аппроксимация полугрупп
5. Минимальная полугруппа аппроксимации
6. Слабая двойственность полугрупп
7. Аппроксимация трехосновных полугрупповых
дистрибутивных алгебр
Глава III . Полугруппы некоторых отображений
конечного и счетного множеств
1. Определение полугруппы IS
2. Идемпотенты полугруппы IS
n
n
3
17
19
22
22
30
32
37
46
49
51
55
61
64
71
77
82
86
87
88
Глава I. Точные представления полугрупп идемпотентов.. 8
1. Частично упорядоченные множества и решетки
2. Полугруппы идемпотентов
3. Полугруппа преобразований
4. Точные представления полугруппы полугруппой
преобразований
Стр.3
3. Подгруппы и максимальные подгруппы полугруппы IS ....
4. Обратимые и групповые элементы полугруппы IS
5. Центр полугруппы IS
n
n
n
6. Подполугруппы полугруппы IS„
7. Определение и свойства подполугруппы Ю
8. Двустороннее разложение полугруппы IS
9. Одностороннее разложение полугруппы IS
n
n
10. Гомоморфные отображения полугруппы
на свою максимальную подгруппу
11. Определение полугруппы ISoo
Заключение
Приложение. О наших учителях
Библиографический список
п
89
94
95
97
99
103
106
110
112
115
116
122
4
Стр.4
Введение
Теория полугрупп принадлежит к числу сравнительно
молодых областей алгебры. Первые исследования, посвященные
полутруппам, относятся к 20-м годам XX века и связаны с именем
А.К. Сушкевича. Другие ранние исследования по теории
полугрупп принадлежат А. Клиффорду. К концу 60-х годов теория
полугрупп сформировалась в самостоятельную ветвь современной
алгебры. В те годы появились и первые монографии, целиком
посвященные
алгебраической ' теории
полугрупп
[22,43].
Представление о современном состоянии этой теории можно
получить по главе IV справочника «Общая алгебра» [59],
где содержатся детальные сведения по основным разделам теории
и приводится достаточно полная (на конец 80-х годов) библиография
основных источников - книг и обзорных статей. На данный момент
времени понятие полугруппы участвует
в
разнообразных
приложениях алгебры, в том числе в приложениях в теории
автоматов, теории кодов, математической лингвистике и многих
других областях, включая даже биологию и социологию.
Упомянутые выше приложения подробно
рассматриваются
в монографии Ж. Лаллемана [35], где содержится и достаточно
полная (на середину 80-х годов) библиография по соответствующей
проблематике. Приложениям полутрупп - от автоматов и формальных
языков до некоторых биологических и социологических моделей -
посвящены две главы учебного пособия «Прикладная абстрактная
алгебра» [42].
Напомним основные определения теории полугрупп.
Полугруппой в современной алгебре называют множество Р
с определенной на нем алгебраической операцией о , подчиненной
закону ассоциативности. В этом случае пишут: (Р, о) . В том случае,
если эта операция является коммутативной, полугруппу называют
коммутативной. Если в полугруппе есть нейтральный элемент,
то полугруппу называют моноидом. Моноид, в котором для любого
элемента есть симметричный ему элемент, называют группой.
Примеры полугрупп чрезвычайно многочисленны. Приведем
наиболее известные из них. Полугруппы с операцией сложения
5
Стр.5
(умножения) будем называть аддитивными (мультипликативными)
полугруппами.
Наиболее знакомыми всем полугруппами являются числовые
полугруппы: это аддитивные и мультипликативные полугруппы
натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных
чисел.
относительно
На этих множествах можно задать и другие операции,
которых
эти множества
также
являются
полугруппами. Так, если на множестве натуральных чисел задать
операцию хоу = НОД(х, у), то мы получим полугруппу. Также,
к примеру, если на любом из множеств N, Z, Q, R задать операции
следующим образом: хоу = min(x; у) или хоу = max(x; у), то также
получаются полугруппы.
Также известными полугруппами являются полугруппы
подмножеств некоторого множества с операциями объединения
или пересечения, аддитивные и мультипликативные полугруппы
квадратных матриц с элементами, к примеру, из множества целых
чисел, полугруппы преобразований некоторого множества.
Подполугруппой полугруппы называют такое непустое
подмножество этой полугруппы, что для любых элементов этого
подмножества оно будет содержать и результат операции,
примененный к этим элементам.
К примеру, подполугруппой в полугруппе (Z, +) является (N, +).
Множество квадратных матриц с определителем, равным единице,
является подполугруппой в мультипликативной полугруппе
квадратных матриц.
К важнейшим понятиям теории полугрупп относятся
гомоморфизм и изоморфизм.
Пусть S и Т - полугруппы с операциями о и *
соответственно. Гомоморфизмом полугрупп называется всякое
отображениеf:S—>T, удовлетворяющее условию: для любых х, ye S
верно равенство: fixoy) =J(x)*J(y). Если это отображение является
взаимно
однозначным (биекцией),
то
оно
называется
изоморфизмом. Полугруппы, для которых существует изоморфизм
одной на другую, называются изоморфными. Изоморфные
полугруппы, впрочем, как и другие алгебраические системы,
считаются одинаковыми объектами.
6
Стр.6
Аддитивная
Приведем несколько примеров изоморфных полугрупп.
полугруппа R изоморфна
мультипликативной
полугруппе положительных действительных чисел. Изоморфизмом
первой на вторую будет, например, отображение, сопоставляющее
любому числу х е R его логарифм lgx. Аддитивная полугруппа
натуральных чисел изоморфна аддитивной полутруппе четных
натуральных чисел, изоморфизм первой на вторую сопоставляет
любому п число 2п. А вот мультипликативные полугруппы всех
натуральных чисел и всех четных натуральных чисел неизоморфны:
в первой есть нейтральный элемент (единица), а во второй такового
нет; между тем легко установить, что при изоморфизме нейтральный
элемент обязан переходить в нейтральный.
^
Представленная монография состоит из
свойства
полугрупп
трех глав,
посвященным некоторым важным в теории полугруппам и их
гомоморфизмам. В первой
главе рассматриваются точные
характеров
и
условия
представления полугрупп идемпотентов. Во второй главе
выясняются
аппроксимации полугрупп характерами относительно предикатов.
В третьей главе изучаются полугруппы всех (возможно
частичных) отображений и-элементного множества в себя.
Эту книгу мы посвящаем светлой памяти своих научных
руководителей М.М. Лесохина и И.С. Понизовского, выдающихся
математиков и замечательных людей, определивших наш
жизненный путь и тематику научных исследований.
7
Стр.7