МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
А. В. Звягин
ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ АЛГЕБРЫ
Учебно-методическое пособие
Издательский дом ВГУ
2016
Воронеж
Стр.1
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. Элементы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Фактор-множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Глава 2. Определения основных алгебраических структур 13
2.1. Определение алгебраической структуры . . . . . . . . . . . 13
2.2. Полугруппа. Моноид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Глава 3. Группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1. Определение группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Подгруппа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Циклические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4. Изоморфизмы групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5. Смежные классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6. Фактор-группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7. Группа вычетов по модулю p . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Глава 4. Кольцо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1. Определение кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2. Подкольцо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Идеалы кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4. Простые и максимальные идеалы . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец . . . . . . . . . . . . 31
3
Стр.3
ляется элементом множества A, а запись a /∈ A или a∈A означает, что
элемент a не принадлежит множеству A.
Возможны различные способы задания множества. Один из способов
состоит в простом перечислении его элементов. Так, например, запись
A = {a, b, c} указывает, что множество A состоит из элементов a, b, c.
Другой способ состоит в определении множества с помощью некоторого
характеристического свойства, которым обладают те и только те
элементы, которые принадлежат данному множеству. Обозначая символом
P(a) характеристическое свойство элементов множества A, множество
A в данном случае задают записью A = {a : P(a)}. Например,
множество целых чисел, принадлежащих отрезку [0, 5] можно задать
следующим образом: A = {a ∈ Z : 0 ≤ a ≤ 5}.
Не всегда заранее известно, что рассматриваемое множество содержит
хотя бы один элемент, поэтому для правомочности рассуждений
целесообразно ввести понятие множества, не содержащего ни одного
элемента. Такое множество называется пустым и обозначается ∅.
Определение 1.1. Всякое множество, число элементов которого
равно одному из чисел 0, 1, 2, ..., называется конечным. Множества,
не являющиеся конечными, называются бесконечными.
Определение 1.2. Множества A и B, состоящие из одних и тех же
элементов, называют равными и пишут A = B.
На практике для доказательства равенства двух множеств показывают,
что всякий элемент одного множества принадлежит другому, и
наоборот.
Если множество A состоит из элементов, принадлежащих множеству
X, то говорят, что A является подмножеством множества X (или
A включено в X), и в этом случае пишут A ⊂ X (или A ⊆ X). Например,
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Используют также обозначение X ⊃ A, которое
читается так: X содержит A.
Для всякого множества A имеют место вложения ∅ ⊂ A, A ⊆ A.
6
Подмножества множества A, отличные от ∅ и A, называются собственными
подмножествами множества A.
Стр.6
1.2. Операции над множествами
Из данных множеств можно конструировать другие множества.
Приведем наиболее важные и необходимые в дальнейшем способы конструирования.
Определение
1.3. Объединением двух множеств A и B называется
множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы
одному из множеств A и B, т.е.
A ∪ B = {a : a ∈ A или a ∈ B}.
Определение 1.4. Пересечением двух множеств A и B называется
множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как A,
так и B, т.е.
Если A∩B = ∅, то множества A, B называются непересекающимися.
Аналогично определяется объединение и пересечение любого (конечA
∩ B = {a : a ∈ A и a ∈ B}.
ного или бесконечного) числа множеств Aα, α ∈ I, где I – произвольное
множество индексов. А именно, положим
α∈I
Aα = {a : a ∈ Aα хотя бы для одного α ∈ I};
Aα = {a : a ∈ Aα для всех α ∈ I}.
Определение 1.5. Разностью двух множеств A и B называется
множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих A и не
принадлежащих B, т.е.
α∈I
A \ B = {a : a ∈ A и a /∈ B}.
Если A – подмножество множества X, то множество X\A называют
дополнением множества A до множества X и обозначают CA или A.
Определение 1.6. Симметрической разностью двух множеств A и
B называется множество
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).
7
Стр.7
ми:
Отметим следующие свойства введенных операций над множества1)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C;
2) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;
3) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
4) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
5) (A ∪ B) = A ∩ B;
6) (A ∩ B) = A ∪ B;
7) A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B);
8) (A∆B)∆C = A∆(B∆C);
9) (A∆B)∆C = (A ∪ B ∪ C) \ (A ∩ B ∩ C).
Заметим также, если Aα система подмножеств множества X, то
X \ α
Aα =α
X \ Aα ; X \ α
Aα =α
X \ Aα .
Определение 1.7. Декартовым произведением (или просто произведением)
A Ч B множеств A и B называется множество всех упорядоченных
пар вида (a, b), у которых на первом месте стоит элемент
из множества A, а на втором – из B, т.е.
A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
Аналогичным образом дается определение произведения A1×...× An
любого конечного набора множеств A1, ..., An как множество всех упорядоченных
наборов из n элементов.
Пример 1.2. Если множества A и B состоят из вещественных чисел,
то пару (a, b), где a ∈ A, b ∈ B, можно рассмотреть как точку плоскости
с абсциссой a и ординатой b. Заметим также, что произведение R Ч R
образует множество всех точек плоскости.
8
Стр.8
1.3. Фактор-множество
Рассмотрим произвольное множество A. По данному множеству
можно строить новые множества, рассматривая множество некоторых
подмножеств множества A. Среди таких множеств важную роль играют
так называемые покрытия и разбиения.
Определение 1.8. Всякое семейство S = {Bα}, α ∈ I непустых подмножеств
множества A называется покрытием множества A, если
каждый элемент множества A принадлежит хотя бы одному из
множеств Bα семейства S.
Определение 1.9. Покрытие S = {Bα}, α ∈ I множества A называется
разбиением множества A, если каждый элемент множества A
множеств множества A называется разбиением множества A, если его
множества попарно не пересекаются, а объединение всех множеств семейства
есть множество A.
Определение 1.10. Подмножество Bα разбиения S называют классом
данного разбиения, а само разбиение S называют также фактормножеством
множества A.
Таким образом, задание фактор-множества сводится к заданию
классов разбиения. Основным инструментом для описания классов разбиения
является понятие отношения эквивалентности.
Определение 1.11. Бинарным отношением называется любое множество
упорядоченных пар.
Из определения следует, что бинарным отношением является любое
подмножество прямого произведения двух множеств.
Если R – бинарное отношение и (a, b) ∈ R, то говорят, что a и b
связаны отношением R, или что для a и b выполняется отношение R.
Вместо записи (a, b) ∈ R часто используют более простую aRb.
Замечание 1.1. Если R ∈ A Ч A, то говорят, что R есть бинарное
отношение на множестве A.
9
принадлежит только одному из множеств Bα покрытия S.
Иными словами, всякое семейство S = {Bα}, α ∈ I непустых под
Стр.9
Определение 1.12. Бинарное отношение R на множестве A называется
рефлексивным на A, если для каждого a из A выполнено aRa.
В качестве примеров рефлексивных отношений можно указать отношение
параллельности на множестве прямых плоскости, отношение
равенства на каком-либо множестве чисел и отношение делимости на
какой-либо совокупности целых чисел.
Определение 1.13. Бинарное отношение R (на A) называется транзитивным
(на A), если для любых a, b, c из области отношения R (на
A) из aRb и bRc следует aRc.
ся транзитивным.
Например, отношение делимости на множестве целых чисел являетОпределение
1.14. Бинарное отношение R (на A) называется симметричным
(на A), если для любых a, b из области отношения R (на
A) из aRb следует bRa.
Например, симметричными являются отношение параллельности
лентности.
Важным видом бинарного отношения является отношение эквивапрямых,
отношение перпендикулярности прямых и отношение равенства.
Определение
1.15. Бинарное отношение R на A называется отношением
эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и
транзитивно.
Отношение эквивалентности часто обозначают символом a ∼ b. Элементы
a и b будем называть эквивалентными.
Пример 1.3. Пусть A – множество прямых на плоскости и R = {(a, b) :
a, b ∈ R и a параллельно b} – отношение параллельности. Отношение
параллельности на A есть отношение эквивалентности.
Пример 1.4. Пусть Z – множество всех целых чисел и n – целое
число, отличное от нуля. Отношение R = {(a, b) : a, b ∈ Z и (a −
10
b) делится на n} называется отношением сравнения по модулю n. Это
отношение является отношением эквивалентности на Z.
Стр.10