Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 482013)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента

Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным работам по математическим дисциплинам. Ч. II (199,00 руб.)

0   0
АвторыСухинов А. И., Бородицкий М. П., Зуев В. Н., Кодачигова Л. К., Южный федеральный ун-т
ИздательствоРостов н/Д.: Изд-во ЮФУ
Страниц539
ID637294
АннотацияСборник содержит задачи по теории функций комплексной переменной, операционному исчислению, векторному анализу, уравнениям математической физики, теории вероятности и математической статистики. В начале каждой главы приводится сводка теоретических положений, определений и формул, а также дается подробное решение типичных заданий, входящих в варианты. В «Сборнике» содержится более 5000 задач для самостоятельного решения.
Кому рекомендованоПособие рекомендуется для студентов, аспирантов и преподавателей технических и экономических вузов; может быть использовано как при очной, так и при дистанционной формах обучения.
ISBN978-5-9275-0666-5 (Ч. 2)
УДК51(075.8)
ББК22.1я73
Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным работам по математическим дисциплинам. Ч. II : [учеб. пособие] / М.П. Бородицкий, В.Н. Зуев, Л.К. Кодачигова, ред.: А.И. Сухинов, Южный федеральный ун-т .— Ростов н/Д. : Изд-во ЮФУ, 2009 .— 539 с. — Авт. указаны на обороте тит. л. — ISBN 978-5-9275-0666-5 (Ч. 2) .— ISBN 978-5-9275-0665-1

Предпросмотр (выдержки из произведения)

Приведение квазилинейного уравнения второго порядка к каноническому виду . <...> Комплексные числа и действия над ними . <...> Единичные векторы, перпендикулярные плоскости и идущие в положительном направлении оси z, определяют одну ориентацию плоскости, cos = ± 1+ f + fy    f y x 2 2 ; cos = 1 ± 1+f +fy x 2 то единичное поле нормалей задается равенством o n =± где g Ф Ф ,Ф ,Ф . rad  x y z Отметим, что в любой точке поверхности вектор gradФ перпендикулярен к этой поверхности. <...> Основные дифференциальные операции в декартовой системе координат Если каждой точке М некоторой области пространства поставлено в соответствие число (скаляр) (M ) , то говорят, что задано скалярное поле. <...> В прямоугольной системе координат, скалярное поле (M ) станет функцией трех переменных (x,y,z ). <...> Поскольку gradz =0,4 gradz , то угол между gradz и gradz равен нулю. <...> Согласно свойству градиента в этом случае угол между вектором e P 0 то он коллинеарен вектору  и g zrad должен быть тупым, Поскольку gradz =0,4 gradz , то угол между gradz и  rad P1 P 0  P 0 прямой x – 3y = 4 и направлен в сторону убывания поля. <...> Криволинейный интеграл II рода непрерывное векторное поле  должна быть согласована с ориентацией линии. <...> Поток векторного поля Пусть имеем векторное поле F(x,y,z)=F(M)=(P,Q,R) , координаты которого P,Q,R – непрерывны в некоторой области G трёхмерного пространства. <...> Тогда циркуляция вектора F по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность S, натянутую на контур L  F,dr   rot F,n d . o  L S Предполагается, что ориентация нормали o n к поверхности S согласована с ориентацией контура L так, чтобы из конца нормали обход контура в выбранном направлении был виден совершающимся против часовой стрелки. <...> Требуется вычислить: 1) поток векторного поля F через поверхность σ1 в направлении нормали 1n ; 2) поток векторного <...>
Сборник_заданий_к_типовым_расчетам_и_контрольным_работам_по_математическим_дисциплинам._Ч._2.pdf
УДК 51(075.8) ББК 22.1я73 С 23 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа ТГПИ Илюхин А. А.; доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой физики ТТИ ЮФУ Куповых Г. В. Авторский коллектив: Бородицкий М. П., Зуев В. Н., Кодачигова Л. К., Мархель Э. Г., Сапунцов Н. Е., Сухинов А. И. Главный редактор доктор физико-математических наук, профессор А. И. Сухинов. Заместитель гл. редактора: кандидат физико-математических наук, профессор М. П. Бородицкий. Учебное пособие подготовлено и издано в рамках национального проекта «Образование» по «Программе развития федерального государственного образовательного учреждения «Южный федеральный университет» на 2007–2010 гг.» Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным С 23 работам по математическим дисциплинам. Ч. II: учеб. пособие / Под редакцией А. И. Сухинова. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. – 539 с.: ил. 88. ISBN 978-5-9275-0665-1 ISBN 978-5-9275-0666-5 Сборник содержит задачи по теории функций комплексной переменной, операционному исчислению, векторному анализу, уравнениям математической физики, теории вероятности и математической статистики. В начале каждой главы приводится сводка теоретических положений, определений и формул, а также дается подробное решение типичных заданий, входящих в варианты. В «Сборнике» содержится более 5000 задач для самостоятельного решения. Пособие рекомендуется для студентов, аспирантов и преподавателей технических и экономических вузов; может быть использовано как при очной, так и при дистанционной формах обучения. Сборник заданий подготовлен в рамках межвузовской комплексной программы «Наукоемкие технологии образования». ISBN 978-5-9275-0665-1 ISBN 978-5-9275-0666-5 УДК 51(075.8) ББК 22.1я73 © ТТИ ЮФУ, 2009 © Южный федеральный университет, 2009 2 2
Стр.2
CОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………………6 I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ .........................................................................8 1. Вектор-функция скалярного аргумента ......................................8 2. Скалярные и векторные поля. Основные дифференциальные операции в декартовой системе координат ..................................12 3. Криволинейный интеграл II рода. Формула Грина ................19 3.1. Криволинейный интеграл II рода .................................19 3.2. Формула Грина ...............................................................21 4. Поток векторного поля. Теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса................................................................................................23 4.1. Поток векторного поля ...................................................23 4.2. Теорема Гаусса-Остроградского....................................26 4.3. Теорема Стокса................................................................26 5. Потенциальное поле....................................................................47 6. Оператор Гамильтона..................................................................50 6.1. Понятие оператора Гамильтона.....................................50 6.2. Дифференциальные операции 1-го порядка.................51 6.3. Дифференциальные операции 2-го порядка.................53 7. Ортогональные криволинейные координаты. Коэффициенты Ламэ. Основные дифференциальные операции теории поля в криволинейных координатах..........................................................56 7.1. Длина дуги........................................................................56 7.2.Криволинейные координаты. Коэффициенты Ламэ.....56 7.3. Инвариантное определение ротора и дивергенции .....62 Задания..............................................................................................72 II. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ...........................104 1. Определение и классификация дифференциальных уравнений с частными производными........................................104 2. Характеристические поверхности (характеристики) квазилинейного уравнения второго порядка. Приведение квазилинейного уравнения второго порядка к каноническому виду .................................................................................................107 3. Основные уравнения с частными производными. Задачи для уравнений с частными производными .................................113 4. Методы решения задач для уравнений с частными производными………....................................................................115 3 3
Стр.3
4.1. Метод характеристик…………………………………115 4.1.1. Метод Даламбера...............................................115 4.1.2. Фазовая плоскость.............................................119 4.2. Метод разделения переменных (метод Фурье) ..........129 4.2.1.Ортогональные системы....................................129 4.2.2. Функции Бесселя...............................................130 4.2.3. Модифицированные функции Бесселя...........132 4.2.4. Сферические функции Бесселя........................133 4.2.5. Шаровые и сферические функции .................135 4.2.6. Схема метода Фурье .........................................137 4.3. Метод интегральных преобразований ........................269 Задания............................................................................................283 III. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ .....................................................339 1. Комплексные числа и действия над ними ..............................339 1.1. Алгебраическая форма комплексных чисел...............339 1.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел 340 2. Функции комплексного переменного......................................344 2.1. Кривые и области на комплексной плоскости...........344 2.2. Аналитические функции...............................................348 3. Интегрирование функций комплексного переменного.........350 4. Ряды.............................................................................................353 4.1. Ряд Тейлора....................................................................353 4.2. Ряд Лорана......................................................................355 5. Изолированные особые точки..................................................359 6. Вычеты и их применение к вычислению интегралов............363 6.1. Определение и вычисление вычетов...........................363 6.2. Применение вычетов к вычислению интегралов.......366 7. Преобразование Лапласа...........................................................374 7.1. Преобразование Лапласа и его свойства.....................374 7.2. Нахождение изображения по оригиналу ....................379 7.3. Нахождение оригинала по изображению ...................381 7.4. Решение линейных дифференциальных уравнений операционным методом.......................................................384 7.5. Решение систем линейных уравнений операционным методом.......................................................386 Задания.........................................................................................389 4 4
Стр.4
IV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА........................................................................................425 1. Классическое определение вероятности.................................425 2. Элементы комбинаторики……………………………………428 3. Геометрическое определение вероятности.............................433 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.....................437 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса....................440 6. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли .......444 7. δ-функция и ее свойства...........................................................447 8. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин........................................................................448 9. Двумерные случайные величины ...........................................458 10. Функции случайных аргументов ...........................................468 11. Характеристические функции................................................480 12. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева....................482 13. Квантили случайных величин................................................483 14. Точечные и интервальные оценки параметров распределения ................................................................................485 15. Проверка статистических гипотез .........................................488 16. Критерий 2  ..............................................................................499 Задания............................................................................................501 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................................537 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................................538 5 5
Стр.5