Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 482014)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента

Лекции по функциональному анализу (99,00 руб.)

0   0
Первый авторСухинов А. И.
АвторыФирсов И. П., Южный федеральный ун-т
ИздательствоРостов н/Д.: Изд-во ЮФУ
Страниц192
ID637148
АннотацияПособие состоит из семи глав. В первой из них дается мера и интеграл Лебега на линейном множестве. Во второй излагаются основные понятия топологического пространства. В третьей рассматриваются свойства метрических пространств. В частности полнота и пополнение, принцип сжимающих отображений, компактность и предкомпактность. В четвертой главе рассматриваются свойства топологических линейных пространств, в частности нормированные и локально выпуклые пространства, гильбертовы пространства, ряды Фурье. В пятой и шестой главах рассматриваются пространства линейных операторов и функционалов, сопряженные пространства и операторы, спектр оператора. Последняя глава посвящена пространствам с мерой. Пособие содержит многочисленные примеры.
Кому рекомендованоПредназначено для студентов второго курса ТТИ ЮФУ специальности 010500 «Прикладная математика и информатика» и студентов других специальностей, у которых программой предусмотрен этот курс.
ISBN978-5-9275-0671-2
УДК517(075.8)
ББК22.162я73
Сухинов, А.И. Лекции по функциональному анализу : [учеб. пособие] / И.П. Фирсов, Южный федеральный ун-т, А.И. Сухинов .— Ростов н/Д. : Изд-во ЮФУ, 2009 .— 192 с. — ISBN 978-5-9275-0671-2

Предпросмотр (выдержки из произведения)

В первой из них дается мера и интеграл Лебега на линейном множестве. <...> В пятой и шестой главах рассматриваются пространства линейных операторов и функционалов, сопряженные пространства и операторы, спектр оператора. <...> Любая последовательность также вполне упорядоченное множество (порядок по индексу). <...> Если непустое замкнутое множество F ограничено сверху (справа), то ранее доказано, что оно имеет точную верхнюю грань supF b в себе замкнутое множество F . <...> Следовательно, отрезок [ , ]a b – наименьший, содержащий a, b называется составляющим интервалом открытого множества G, если a, b G , но ,a b G . <...> Любые два составляющих интервала открытого a, b и c,  d интервалы множества G и a .c Следует доказать, что  , . противного. <...> Но  по условию c G как конец составляющего интервала. <...> G Очевидно, множество 1    , где Gc R G дополнение F замкнутое (как пересечение [ , ) c \ двух замкнутых множеств) и ограничено слева точкой x . <...> Складывая два полуинтервала ( , ]a x и [ , )x b , получим интервал ( , )a b , который и будет составляющим интервалом множества G. <...> Пусть a, b наименьший отрезок, содержащий a,  \b F G – открытое множество. <...> . Так как F замкнутое, то x не является и предельной точкой множества F , то есть существует некоторая окрестность точки x O , x F . <...> Это означает, что        ограничены, так как сумма длин составляющих интервалов не может быть больше длины интервала  a, b . можно представить в виде Если множество F   замкнутое, то согласно теореме 1 §4 его F a b  ,  \U , k Положим по определению def то положим E k где k – составляющие интервалы множества F  U . k c k F b a      b ak . k  k (4) Пусть теперь E   – произвольное множество. <...> Если E – не пустое, то существует открытое множество G  , содержащее E (например, сам интервал ), то есть для множества E существует открытое покрытие G. <...> Если внешняя и внутренняя меры множества  = E <...>
Лекции_по_функциональному_анализу.pdf
УДК 51(075.8) ББК 22.162я73 С 91 Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа ТГПИ Илюхин А. А.; доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой физики ТТИ ЮФУ Куповых Г. В. Учебное пособие подготовлено и издано в рамках национального проекта «Образование» по «Программе развития федерального государственного образовательного учреждения «Южный федеральный университет» на 2007–2010 гг.» С 91 Сухинов А. И., Фирсов И. П. Лекции по функциональному анализу: учеб. пособие / А. И. Сухинов, И. П. Фирсов. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. – 189 с. ISBN 978-5-9275-0671-2 Пособие состоит из семи глав. В первой из них дается мера и интеграл Лебега на линейном множестве. Во второй излагаются основные понятия топологического пространства. В третьей рассматриваются свойства метрических пространств. В частности полнота и пополнение, принцип сжимающих отображений, компактность и предкомпактность. В четвертой главе рассматриваются свойства топологических линейных пространств, в частности нормированные и локально выпуклые пространства, гильбертовы пространства, ряды Фурье. В пятой и шестой главах рассматриваются пространства линейных операторов и функционалов, сопряженные пространства и операторы, спектр оператора. Последняя глава посвящена пространствам с мерой. Пособие содержит многочисленные примеры. Предназначено для студентов второго курса ТТИ ЮФУ специальности 010500 «Прикладная математика и информатика» и студентов других специальностей, у которых программой предусмотрен этот курс. ISBN 978-5-9275-0671-2 УДК 51(075.8) ББК 22.162я73 © ТТИ ЮФУ, 2009 © А.И. Сухинов, И.П. Фирсов, 2009 © Южный федеральный университет, 2009 2 2
Стр.2
СОДЕРЖАНИЕ I. ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА..................................................................................5 1. Отношение. Отношение эквивалентности..................................5 2. Отображение ..................................................................................8 3. Упорядоченные множества ........................................................10 4. Строение линейного множества.................................................13 5. Мера Лебега линейного множества...........................................14 6. Свойства меры Лебега. Критерий измеримости ......................19 7. Измеримые функции. Свойства измеримых функций ............24 8. Понятие интеграла Лебега. Основные свойства ......................26 II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.........................................32 1. Понятие топологического пространства. Примеры.................32 2. Окрестность и замыкание в топологическом пространстве. Топология подпространства..............................35 3. База топологии. Аксиомы счётности.........................................39 4. Предел последовательности в топологическом пространстве. Аксиомы отделимости.................................................................42 5. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм топологических пространств...................................................................................46 6. Компактность в топологических пространствах......................49 III. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ................................................53 1. Замечательные неравенства........................................................53 2. Примеры метрических пространств ..........................................56 3. Открытый шар. Топология метрического пространства. Метризуемость.............................................................................60 4. Полнота метрического пространства. Примеры ......................65 5. Теорема о вложенных шарах......................................................72 6. Теорема Бэра о категориях .........................................................76 7. Принцип сжимающих отображений и его приложения..........79 8. Пополнение метрических пространств .....................................86 9. Компактность в метрических пространствах ...........................91 10. Предкомпактность в метрических пространствах. Теоремы Хаусдорфа и Арцела ..................................................96 IV. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА..............100 1. Понятие топологического векторного пространства.............100 2. Нормированные и топологические нормированные пространства...............................................................................103 3 3
Стр.3
3. Полунормы и локально выпуклые топологические пространства...............................................................................106 4. Пространства со скалярным произведением. Гильбертово пространство...............................................................................110 5. Задача о наилучшем приближении. Ортогональное дополнение..................................................................................116 6. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве .............................120 V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ..............................................................124 1. Примеры линейных операторов. Ограниченность и непрерывность оператора .........................................................124 2. Пространство линейных ограниченных операторов. Норма оператора ....................................................................................129 3. Равномерная и сильная сходимости операторов. Ряды операторов ..................................................................................133 4. Обратимость линейного оператора .........................................136 5. Основные теоремы функционального анализа ......................138 VI. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ...............142 1. Линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха....................142 2. Примеры сопряжённых пространств. Теорема Рисса............146 3. Сильная и слабая сходимости. Рефлексивность ....................149 4. Обобщённые функции...............................................................152 5. Сопряжённые и самосопряжённые операторы.......................156 6. Компактные операторы.............................................................160  VII. ПРОСТРАНСТВА С МЕРОЙ ........................................................170 1. Мера в абстрактных множествах.............................................170 2. Пространства с мерой. Сходимость почти всюду и по мере 173 3. Интеграл Лебега в nR ................................................................176 4. Пространства S и p L ................................................................179 5. Ряды Фурье в 2L .........................................................................182 БИБЛИОГАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .....................................................185 7. Разрешимость уравнения  A J x y  . Понятие спектра и резольвенты линейного оператора .......................................163 8. Свойства резольвенты и спектра..............................................168 4 4
Стр.4

Облако ключевых слов *


* - вычисляется автоматически