В первой из них дается мера и интеграл Лебега на линейном множестве. <...> В пятой и шестой главах рассматриваются пространства линейных операторов и функционалов, сопряженные пространства и операторы, спектр оператора. <...> Любая последовательность также вполне упорядоченное множество (порядок по индексу). <...> Если непустое замкнутое множество F ограничено сверху (справа), то ранее доказано, что оно имеет точную верхнюю грань supF b в себе замкнутое множество F . <...> Следовательно, отрезок [ , ]a b – наименьший, содержащий a, b называется составляющим интервалом открытого множества G, если a, b G , но ,a b G . <...> Любые два составляющих интервала открытого a, b и c, d интервалы множества G и a .c Следует доказать, что , . противного. <...> Но по условию c G как конец составляющего интервала. <...> G Очевидно, множество 1 , где Gc R G дополнение F замкнутое (как пересечение [ , ) c \ двух замкнутых множеств) и ограничено слева точкой x . <...> Складывая два полуинтервала ( , ]a x и [ , )x b , получим интервал ( , )a b , который и будет составляющим интервалом множества G. <...> Пусть a, b наименьший отрезок, содержащий a, \b F G – открытое множество. <...> . Так как F замкнутое, то x не является и предельной точкой множества F , то есть существует некоторая окрестность точки x O , x F . <...> Это означает, что ограничены, так как сумма длин составляющих интервалов не может быть больше длины интервала a, b . можно представить в виде Если множество F замкнутое, то согласно теореме 1 §4 его F a b , \U , k Положим по определению def то положим E k где k – составляющие интервалы множества F U . k c k F b a b ak . k k (4) Пусть теперь E – произвольное множество. <...> Если E – не пустое, то существует открытое множество G , содержащее E (например, сам интервал ), то есть для множества E существует открытое покрытие G. <...> Если внешняя и внутренняя меры множества = E <...>
Лекции_по_функциональному_анализу.pdf
УДК 51(075.8)
ББК 22.162я73
С 91
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор,
зав. кафедрой математического анализа ТГПИ Илюхин А. А.;
доктор физ.-мат. наук, профессор,
зав. кафедрой физики ТТИ ЮФУ Куповых Г. В.
Учебное пособие подготовлено и издано в рамках
национального проекта «Образование»
по «Программе развития федерального государственного образовательного
учреждения «Южный федеральный университет» на 2007–2010 гг.»
С 91
Сухинов А. И., Фирсов И. П.
Лекции по функциональному анализу: учеб. пособие /
А. И. Сухинов, И. П. Фирсов. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ,
2009. – 189 с.
ISBN 978-5-9275-0671-2
Пособие состоит из семи глав. В первой из них дается мера и
интеграл Лебега на линейном множестве. Во второй излагаются основные
понятия топологического пространства. В третьей рассматриваются
свойства метрических пространств. В частности полнота и пополнение,
принцип сжимающих отображений, компактность и предкомпактность. В
четвертой главе рассматриваются свойства топологических линейных
пространств,
в частности нормированные и локально выпуклые пространства,
гильбертовы пространства, ряды Фурье. В пятой и шестой главах
рассматриваются пространства линейных операторов и функционалов,
сопряженные пространства и операторы, спектр оператора. Последняя
глава посвящена пространствам с мерой.
Пособие содержит многочисленные примеры.
Предназначено для студентов второго курса ТТИ ЮФУ
специальности 010500 «Прикладная математика и информатика» и
студентов других специальностей, у которых программой предусмотрен
этот курс.
ISBN 978-5-9275-0671-2
УДК 51(075.8)
ББК 22.162я73
© ТТИ ЮФУ, 2009
© А.И. Сухинов, И.П. Фирсов, 2009
© Южный федеральный
университет, 2009
2
2
Стр.2
СОДЕРЖАНИЕ
I. ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. МЕРА И
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА..................................................................................5
1. Отношение. Отношение эквивалентности..................................5
2. Отображение ..................................................................................8
3. Упорядоченные множества ........................................................10
4. Строение линейного множества.................................................13
5. Мера Лебега линейного множества...........................................14
6. Свойства меры Лебега. Критерий измеримости ......................19
7. Измеримые функции. Свойства измеримых функций ............24
8. Понятие интеграла Лебега. Основные свойства ......................26
II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.........................................32
1. Понятие топологического пространства. Примеры.................32
2. Окрестность и замыкание в топологическом
пространстве. Топология подпространства..............................35
3. База топологии. Аксиомы счётности.........................................39
4. Предел последовательности в топологическом пространстве.
Аксиомы отделимости.................................................................42
5. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм топологических
пространств...................................................................................46
6. Компактность в топологических пространствах......................49
III. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ................................................53
1. Замечательные неравенства........................................................53
2. Примеры метрических пространств ..........................................56
3. Открытый шар. Топология метрического пространства.
Метризуемость.............................................................................60
4. Полнота метрического пространства. Примеры ......................65
5. Теорема о вложенных шарах......................................................72
6. Теорема Бэра о категориях .........................................................76
7. Принцип сжимающих отображений и его приложения..........79
8. Пополнение метрических пространств .....................................86
9. Компактность в метрических пространствах ...........................91
10. Предкомпактность в метрических пространствах.
Теоремы Хаусдорфа и Арцела ..................................................96
IV. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА..............100
1. Понятие топологического векторного пространства.............100
2. Нормированные и топологические нормированные
пространства...............................................................................103
3
3
Стр.3
3. Полунормы и локально выпуклые топологические
пространства...............................................................................106
4. Пространства со скалярным произведением. Гильбертово
пространство...............................................................................110
5. Задача о наилучшем приближении. Ортогональное
дополнение..................................................................................116
6. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве .............................120
V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ..............................................................124
1. Примеры линейных операторов. Ограниченность и
непрерывность оператора .........................................................124
2. Пространство линейных ограниченных операторов. Норма
оператора ....................................................................................129
3. Равномерная и сильная сходимости операторов. Ряды
операторов ..................................................................................133
4. Обратимость линейного оператора .........................................136
5. Основные теоремы функционального анализа ......................138
VI. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ...............142
1. Линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха....................142
2. Примеры сопряжённых пространств. Теорема Рисса............146
3. Сильная и слабая сходимости. Рефлексивность ....................149
4. Обобщённые функции...............................................................152
5. Сопряжённые и самосопряжённые операторы.......................156
6. Компактные операторы.............................................................160
VII. ПРОСТРАНСТВА С МЕРОЙ ........................................................170
1. Мера в абстрактных множествах.............................................170
2. Пространства с мерой. Сходимость почти всюду и по мере 173
3. Интеграл Лебега в nR ................................................................176
4. Пространства S и p
L ................................................................179
5. Ряды Фурье в 2L .........................................................................182
БИБЛИОГАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .....................................................185
7. Разрешимость уравнения A J x y . Понятие спектра
и резольвенты линейного оператора .......................................163
8. Свойства резольвенты и спектра..............................................168
4
4
Стр.4