Всероссийские студенческие турниры математических боев. Тула, 2002-2015 гг. В 2 ч. Ч. 1. Сборник задач и другие материалы (220,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.144

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого» Факультет математики, физики и информатики ВСЕРОССИЙСКИЕ СТУДЕНЧЕСКИЕ ТУРНИРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЁВ Тула, 2002–2015 гг. В 2 частях Часть I СБОРНИК ЗАДАЧ И ДРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ Учебно-методическое пособие Под редакцией В. А. Шулюпова Тула Издательство ТГПУ им. Л. Н. Толстого 2016

Стр.1

ББК 22.1я73 В85 Рецензенты: доктор педагогических наук, профессор А. Р. Есаян; (Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого); кандидат физико-математических наук, доцент Н. В. Белецкая; (Московский технологический университет (МИРЭА)) Авторы-составители: кандидат физико-математических наук, доцент Ю. А. Игнатов (ТГПУ им. Л. Н. Толстого); кандидат физико-математических наук, доцент В. А. Шулюпов (ТГПУ им. Л. Н. Толстого); кандидат физико-математических наук, доцент И. Ю. Реброва (ТГПУ им. Л. Н. Толстого); кандидат физико-математических наук, профессор А. Е. Устян (ТГПУ им. Л.Н.Толстого); кандидат педагогических наук, доцент А. Ю. Эвнин (Южно-Уральский государственный университет) Всероссийские студенческие турниры математических бов. ТуВ85 ла, 2002–2015 гг.: Учеб.-метод. пособие: В 2 ч. / Авт.-сост. Ю. А. Игнатов, В. А. Шулюпов, И. Ю. Реброва и др.; Под ред. В. А. Шулюпова.– Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2016.– Ч. I. Сборник задач и другие материалы.– 144 с. ISBN 978-5-9908300-0-4 Учебно-методическое пособие предназначается студентам и преподавателям вузов для оказания помощи в подготовке к будущим олимпиадам, математическим боям и другим математическим соревнованиям. Основной частью пособия является сборник задач с решениями, включающий в себя все 440 задач, предлагавшихся на семи всероссийских студенческих турнирах математических бов, проходивших в Туле в 2002–2015 годах. Задачи систематизированы по тематическому признаку. Кроме того, приводятся правила проведения математических бов в Туле, регламент турниров математических бов, результаты всех турниров, включая результаты всех математических бов. ББК 22.1я73 ISBN 978-5-9908300-0-4 © Авторы-составители: Ю. А. Игнатов, В. А. Шулюпов, И. Ю. Реброва, А. Е. Устян, А. Ю. Эвнин, 2016 © ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2016

Стр.2

ПРЕДИСЛОВИЕ Математический бой является второй по популярности формой проведения математических соревнований после классических олимпиад. Математический бой совмещает в себе математику, спортивную игру, театральное действо, формирует математическое мышление, а также в отличие от олимпиад способствует развитию умения коллективного решения задач, особенно ценного в современной науке, когда зачастую одна глобальная задача решается большим коллективом научных сотрудников. В математическом бою предлагаются задачи олимпиадного, а также исследовательского характера. Математический бой был изобретн в середине 60-х годов учителем математики школы № 30 г. Ленинграда И. Я. Веребейчиком, был и остатся особенно популярным в Ленинграде (Санкт-Петербурге), Москве, в различных физико-математических школах и ведущих вузах СССР, России, Украины, в других государствах бывшего Советского Союза. Правила математического боя изложены в журнале «Квант» № 10 за 1972 год, в журнале «Математика в школе» № 4 за 1990 год, в книге 1994 года «Ленинградские математические бои» [2]. С осени 1997 года в память о великом математике и замечательном педагоге Андрее Николаевиче Колмогорове ежегодно проводятся математические турниры для старшеклассников. Эти турниры традиционно собирают самых сильных участников и по праву признаны неофициальным командным первенством России по математике среди школьников. Проходящие в г. Туле с 1983 года математические бои проводятся по правилам, значительно отличающимся от ленинградских. В этих соревнованиях участвовали студенты ТГПИ (ныне – ТГПУ), школьники многих школ города, участники летних математических школ, летних многопрофильных школ. С 2002 года в Туле проводятся всероссийские студенческие турниры математических бов, всего было проведено 7 турниров (кроме них, ещ 2 (III и IV) были проведены в Екате3

Стр.3

ринбурге. В этих турнирах участвовали 33 команды, представляющие 26 вузов из 18 городов России. Многие участники турниров оставили заметный след в математике. Андрей Бадзян (в 2002 г., будучи 9-классником, выступал за команду ЮУрГУ) трижды побеждал на международных математических олимпиадах, ныне работает в Лондоне финансовым аналитиком. Михаил Патракеев (УрГУ, 2002 г.) придумал, как разрезать равносторонний треугольник на 5 одинаковых частей («Квант» № 1 за 2016 г.). Михаил Игнатьев (СамГУ) опубликовал огромную обзорную статью в ежегоднике «Математическое просвещение». Наталья Бондаренко (СарГУ, 2007 г.) достигла серьзных успехов в олимпиадах по программированию. За год в аспирантуре написала диссертацию, кандидат физико-математических наук, в 2015 г. являлась руководителем команды Саратовского университета. Андрей Плющенко и Евгения Смирнова (УрГУ) также прошли путь от участника до руководителя; кандидаты физикоматематических наук. Александр Бескодаров (МПГУ, 2007 г.) стал известным в Москве репетитором. Кроме турниров, проводятся соревнования среди команд школ г. Тулы и Тульской области. В 1997–2002 годах проводились игры математической лиги школ города Тулы [1, 7], а с 2013 года проходят математические бои школ Тульской области [8–10]. В этих турнирах участвуют команды, представляющие несколько десятков школ Тулы и области. Организатором мероприятия является факультет математики, физики и информатики (ранее – факультет математики и информатики) ТГПУ им. Л. Н. Толстого (деканы факультета – до 2010 г. А. Е. Устян, с 2010 г. – И. Ю. Реброва – осуществляют руководство турниром). Подбором и составлением задач руководит доцент ка4

Стр.4

федры АМАГ Ю. А. Игнатов, турнирными вопросами, ведением сайта турниров занимается доцент кафедры АМАГ В. А. Шулюпов, в жюри математических бов входят преподаватели факультета, руководители команд-участниц. Основной частью данного пособия является сборник задач с решениями, включающий в себя 440 задач, предлагавшихся во всех семи всероссийских студенческих турнирах математических бов, состоявшихся в Туле. Многие задачи не являются новыми, они взяты из разных сборников, включались в различные олимпиады и другие математические соревнования. Вместе с тем основная их часть малоизвестна, условия некоторых изменены. Задачи систематизированы по тематическому признаку. При разбиении на разделы учтн опыт известных задачников [5–6], хотя авторы понимают, что включение задачи в тот или иной раздел часто носит весьма условный характер, как и само разделение задачного материала на разделы. Также приводятся правила проведения математических бов в г. Туле, регламент турнира (правила), его результаты. Настоящее учебно-методическое пособие предназначается студентам и преподавателям вузов для подготовки к математическим олимпиадам, математическим боям и другим математическим соревнованиям. В связи с тем, что значительная часть задач, предлагавшаяся на турнирах, посвящена различным вопросам элементарной математики, пособие может быть полезно ученикам старших классов средних школ и учителям. Авторский коллектив будет признателен всем, кто сообщит свои замечания и пожелания, касающиеся настоящего сборника, по адресу: 300026, Тула, просп. Ленина, 125, ТГПУ им. Л. Н. Толстого, факультет математики, физики и информатики, тел. (4872)-65-78-29. Пособие издатся в двух частях. В первую часть включены 275 задач, относящихся к математическому анализу, алгебре, теории чисел, комбинаторики, теории вероятностей и планиметрии, а также решения, указания и ответы к ним. 5

Стр.5

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ .................................................................................................... 1 ЗАДАЧИ .................................................................................................................. 6 Введение в анализ .............................................................................................. 6 Дифференциальное исчисление ........................................................................ 7 Интегральное исчисление .................................................................................. 8 Ряды ................................................................................................................... 11 Множества, мощность, метрические пространства ...................................... 11 Функции комплексного переменного ............................................................. 13 Функциональные уравнения ........................................................................... 13 Многочлены ...................................................................................................... 14 Уравнения, неравенства, системы .................................................................. 16 Матрицы и определители ................................................................................ 19 Абстрактная алгебра ........................................................................................ 22 Теория чисел, целые числа, уравнения в целых числах, делимость ........... 23 Комбинаторика ................................................................................................. 28 Теория вероятностей ........................................................................................ 30 Планиметрия ..................................................................................................... 32 РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ .................................................................. 37 ЛИТЕРАТУРА .................................................................................................... 143 144

Стр.144