МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Т.И. Смагина
ПРОЕКЦИОННО-ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
Воронеж
2016
Стр.1
Проекционно-вариационные методы в прикладных задачах
Введение. Математические модели содержательных прикладных задач
могут быть различными (краевые или начальные задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, интегральные
и алгебраические уравнения и т.п.). Методы функционального анализа
позволяют рассматривать их как операторные уравнения в соответствующих
функциональных пространствах и, следовательно, исследовать эти модели
с единых позиций. По существу, любая задача, для которой можно выписать
определяющие уравнения, может быть исследована и решена с помощью
одной из разновидностей метода моментов либо вариационных методов,
которые и изучаются в настоящем пособии.
Изложение материала имеет трёхуровневую структуру. Первый, поверхностный,
уровень содержит расчётные формулы конкретных методов для
нахождения приближённых решений абстрактных уравнений. Второй, более
глубокий, уровень позволяет исследовать сходимость приближённых решений
к точному. На третьем уровне выясняются условия устойчивости вычислительных
схем.
Необходимые для усвоения курса основы функционального анализа даются
в главе I, а также в случае необходимости, в начале других глав. Пособие
содержит подборку задач, которые предлагаются для решения на практических
занятиях. Подробно разбираются примеры решения некоторых из них.
Сведения о пространстввах Лебега вынесены в приложение I. В приложении
II приведён алгоритм выполнения лабораторной работы, а в приложении
III дан образец оформления лабораторной работы.
Для удобства пользования пособием конец доказательства утверждений
отмечается значком .
В списке литературы приводятся использованные при написании данного
пособия источники [1 – 7]. Ониже рекомендуются для самостоятельного более
глубокого изучения предмета.
Глава I. Гильбертовы пространства и линейные операторы
1.1. Гильбертовы пространства. Векторное пространство H над полем
комплексных чисел называется предгильбертовым, если для любых x, y ∈
H определено число (x, y), называемое скалярным произведением, так что
выполнены следующие аксиомы:
1)(x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0,
2) (x, y) = (y, x),
3) (αx, y) = α(x, y),
3
Стр.3
Теорема 1.1 (о разложении гильбертова пространства в прямую
сумму двух подпространств). Пусть L - подпространство в гильбертовом
пространстве H. Тогда любой элемент x ∈ H представим единственным
образом в виде
x = y +z, где y ∈ L, z⊥L.
(1.2)
При этом говорят, что y есть проекция элемента x на подпространство
L и обозначают y = PrLx.
Теорема 1.2 (о проекции на конечномерное подпространство).
Пусть L = L(e1, ..., en)– подпространство в H, где e1, ..., en – ортонормированный
базис в L. Тогда ортогональная проекция элемента x ∈ H на
подпространство L имеет вид
PrLx =
k=1
n
(x, ek)ek.
Упражнения
1. Вычислить скалярное произведение (x, y) в L2[0, π], если: a) x = cos t,
y = sin2 t; b) x = t, y = et; c) x = t3, y = t2. Вычислить x.
2. Вычислить x для x ∈ C[0, 1], если: a) x = cos t; b) x = 2t2; c) x = et.
3. Найти проекцию в L2[0, 1] элемента x = et на подпространство многочленов
степени 2.
4. Проверить, что система функций {e2int, n ∈ Z} образует ортогональную
систему в комплексном пространстве L2[0, 1].
5. Проверить, что система функций 1, cos πnt, sin πnt, n ∈ N, образует
ортогональную систему в пространстве L2[−1, 1].
1.2. Линейные операторы. Пусть (X, ·X) и (Y, ·Y ) - линейные нормированные
пространства над одним и тем же полем чисел K = {R,C}.
Пусть существует оператор (отображение) A : D(A) ⊂ X → Y , ставящий в
соответствие элементу x ∈ D(A) единственный элемент y ∈ Y . Множество
D(A) ⊂ X называется областью определения оператора A. Множество элементов
вида R(A) = {y ∈ Y : y = Ax, x ∈ D(A)} называется областью
значений оператора A. Говорят, что элемент y является образом элемента x,
а элемент x - прообразом элемента y.
Оператор A : D(A) ⊂ X →Y называется линейным, если:
1) D(A) - линейное пространство;
6
Стр.6
α, β ∈ K.
такая константа M > 0, что для всех x ∈ X
AxY ≤MxX.
2) A(αx1+βx2) = αAx1+βAx2 для всех x1, x2 ∈ D(A) и любых скаляров
Линейный оператор A : X →Y называют ограниченным, если существует
(1.3)
Нормой A оператора A называют наименьшую из констант M, для которых
выполнено условие (1.3).
Замечание 1.2. Если для всех x ∈ X выполнено неравенство (1.3) и
существует элемент x0 такой, что Ax0 =Mx0, то A =M.
Имеют место равенства
A = sup
x=0
AxY
xX
= sup
xX≤1 AxY = sup
xX=1 AxY .
Замечание 1.3. Пусть X = Rn - гильбертово пространство из примера
1 и A - самосопряжённая положительно определённая матрица. Тогда
её собственные числа вещественные, положительные и могут быть занумерованы
в порядке неубывания 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn. Можно показать,
что A = λn.
Оператор A : X → Y называется непрерывным в точке x0 ∈ X, если
Ax−Ax0Y →0 при x−x0X →0. Если линейный оператор непрерывен
в одной точке, то он непрерывен во всех точках пространства и называется
просто непрерывным. Для линейных операторов непрерывность и ограниченность
эквивалентны.
Оператор ортогонального проектирования. Пусть X = Y = H –
гильбертово пространство и L ⊂ H – подпространство в нём. По теореме 1.1
любой элемент x ∈ H единственным образом можно представить в виде (1.2),
т.е.
x = y +z, где y ∈ L, z⊥L.
H называется отображение P : H → L, ставящее в соответствие элементу x
его ортогональную проекцию, т.е. ортопроектор определяется соотношением
Px = y, где y = PrLx. Отметим некоторые свойства ортопроектора P
1. P - линейный ограниченный оператор и P = 1;
2. Py = y для y ∈ L;
3. P2 = P;
4. P - самосопряжённый оператор, т.е. (Px1, x2) = (x1,Px2).
7
Ортогональным проектором (ортопроектором) на подпространство L ⊂
Стр.7
Обратный оператор. Пусть линейный оператор A : D(A) ⊂ X → Y
переводит D(A) в R(A) взаимнооднозначно. Тогда существует обратный оператор
A−1 : R(A) → D(A), действующий по правилу A−1y = x, где y и x
связаны соотношением y = Ax. Оператор A−1 также является линейным.
Теорема 1.3. Оператор A переводит D(A) в R(A) взаимнооднозначно
тогда и только тогда, когда его ядро KerA = {x ∈ D(A) : Ax = 0} состоит
только из нулевого элемента.
Обратный к линейному ограниченному оператору может не быть ограниченным
оператором. Говорят, что линейный оператор A непрерывно обратим,
если R(A) = Y, оператор A обратим и A−1 является ограниченным оператором.
Теорема
1.4 (Банаха). Если A – линейный ограниченный оператор,
отображающий взаимнооднозначно банахово пространство X на банахово
пространство Y , то обратный оператор A−1 ограничен.
Иными словами, оператор A непрерывно обратим, если выполнены два
условия: 1) KerA = {0} и 2) R(A) = Y .
С точки зрения разрешимости уравнения Ax = y непрерывная обратимость
оператора A означает, что это уравнение имеет единственное решение
x = A−1y для любой правой части y ∈ Y .
Замечание 1.4. Если существует линейный ограниченный оператор B
такой, что BA = AB = I, то B = A−1.
Теорема 1.5. Если A – линейный ограниченный оператор и A = q < 1,
то оператор I −A непрерывно обратим, причём
(I −A)−1 =
k=1
∞
и справедлива оценка
(I −A)−1 ≤ (1−q)−1.
(1.5)
вается Ak ≤ qk через общий член сходящегося ряда. Обозначим через B
сумму этого ряда: B =∞
B(I −A) =
k=1
∞
k=1
∞
(I −A)Ak = I.
Доказательство. Ряд в (1.4) сходится, так как его общий член оцениk=1Ak.
Легко проверить, что
Ak(I −A) = I, (I −A)B =
Т.о., B = (I −A)−1. Наконец,
(I −A)−1 ≤
k=1
∞
Ak ≤
8
k=1
∞
qk = (1−q)−1.
Ak
(1.4)
Стр.8
Ряд (1.4) называется рядом Неймана.
Пример 1. Пусть ϕ - непрерывная на отрезке [a, b] функция. Рассмотрим
отображение A : C[a, b]→C[a, b], определяемое соотношением
(Ax)(t) = ϕ(t)x(t).
Доказать, что A - линейный ограниченный оператор и найти его норму.
Решение. Линейность оператора следует из соотношения
(A(αx+βy))(t) = ϕ(t)(αx(t)+βy(t)) = α(Ax)(t)+β(Ay)(t).
Покажем, что A - ограниченный оператор. Имеем
AxC = max
t∈[a,b] |(Ax)(t)| = max
t∈[a,b] |ϕ(t)x(t)| ≤ ϕCxC,
поэтому AC ≤ ϕC.
Докажем, что A = ϕC. Рассмотрим функцию x0(t) ≡ 1. Очевидно,
что x0C = 1 и Ax0C = max
1
0 t2sx(s) ds если: a) A : C[0, 1]→C[0, 1], b) A : L2[0, 1]→C[0, 1].
Решение. В случае а) имеем оценку
AxC = max
t∈[0,1]
t2 1
0
sx(s) ds ≤
1
0
s|x(s)| ds ≤
Пример 2. Доказать ограниченность и найти норму оператора (Ax)(t) =
t∈[a,b] |ϕ(t)| = ϕC. Таким образом, A = ϕC.
1
2xC.
ство Ax0C = x0C/2 и поэтому A = 1/2.
В случае b) заметим, что если x ∈ L2[a, b], то x ∈ L1[a, b] и Ax(t) - непреСледовательно,
A ≤ 1/2. Очевидно, что для x0(t) ≡ 1 выполнено равенрывная
функция. Установим оценку (1.3). Пользуясь неравенством Шварца,
получаем
AxC =
1
0
sx(s) ds ≤
1
0
1
0
s2 ds
1/2
xL2 ≤ √3xL2
1
.
ется, когда сомножители линейно зависимы, то выберем x0(t) = t. Получим
Ax0C =
sx(s) ds =
Следовательно, A = 1/√3.
9
1
0
s2 ds = 1
3 = 1
√3x0L2
.
Т. о., A ≤ 1/√3. Так как знак равенства в неравенстве Шварца достига
Стр.9
Пример 3. Является ли ограниченным оператор дифференцирования
Ax(t) = x(t), если:
D(A) такой, что AxC >MxC. Действительно, пусть задано произвольное
число M > 0. Возьмем n >M и x(t) = sin nt. Тогда xC = 1 и
a) A : D(A) ⊂ C[0, 1]→C[0, 1], где D(A) = C1[0, 1] ?
b)A : C1[0, 1]→C[0, 1] ?
Решение. В случае a) покажем, что для любого M > 0 найдется x ∈
AxC = maxt
|Ax(t)| = maxt
|ncos nt| = n >M,
что доказывает неограниченность оператора A.
В случае b) оператор дифференцирования будет ограниченным, т. к. имеет
место оценка AxC ≤ MxC1. Действительно, зададим норму в C1[0, 1]
формулой xC1
A ≤ 1. Для x0(t) = t имеем x0C1
= max{xC, xC}. Тогда AxC = x ≤ xC1
. Отсюда
A = 1.
2) пусть x1 = xC +xC. Тогда имеет место такая же оценка
AxC = xC ≤ xC +xC = x1
Задачи
Доказать линейность, ограниченность и найти норму оператора:
1) (Ax)t) = x(0)+tx(1), A : C[0, 1]→C[0, 1];
2) (Ax)(t) = tx(t), а) A : C[0, 1]→C[0, 1];
3) (Ax)(t) = sin t x(t), а) A : C[0, 1]→C[0, 1] ; б) A : L2[0, 1]→L2[0, 1];
4) (Ax)(t) = 1
В пунктах 4) - 5) рассмотреть случаи:
а) A : C[0, 1]→C[0, 1],
0 et−sx(s) ds;
5) (Ax)t) = 1
б) A : L2[0, 1]→C[0, 1],
A : D(A) ⊂ H →Y – линейный оператор.
Рассмотрим уравнение
Ax = f.
(2.1)
Будем предполагать, что A непрерывно обратим, так что уравнение (2.1)
имеет единственное решение. Нас будут интересовать приближённые методы
нахождения этого решения.
10
0 tsx(s) ds;
.
Глава II. Проекционные методы
2.1. Метод моментов. Пусть H,Y – гильбертовы пространства,
= 1 и Ax0C = x0C = 1. Поэтому
(1.6)
и A ≤ 1. Однако в этом случае не существует элемента x0 = 0, на котором
бы в (1.6) достигалось равенство.
Стр.10