Методические указания для самостоятельной работы студентов по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (110,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ФГБОУ ВО ВГУ) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов 2 курса экономического факультета по направлениям «Экономика» и «Экономическая безопасность» Воронеж 2015 3

Стр.1

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМА 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ…………………………………………...6 Методические указания и примеры выполнения заданий……………………...6 Индивидуальные задания……………………………………………………….14 ТЕМА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА……………………………..21 Методические указания и примеры выполнения заданий…………………….21 Индивидуальные задания……………………………………………………….33 ПРИЛОЖЕНИЯ………………………………………………………………….40 ПЕРЕЧЕНЬ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ…………………………..46 ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………………...48 . 5

Стр.3

Пример 4. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем – 0,7. Для выхода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях - с вероятностью 0,6. 1) Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя. 2) Известно, что самолет выведен из строя, найти вероятность, что в него попало три снаряда. Решение: Пусть событие A - самолет выведен из строя. Рассмотрим четыре гипотезы: - в самолет не попало ни одного снаряда, B0 P B      P B 1 0,4 1 0,5 1 0,7 1 0,4 0,51 0,7 1 0,4 1 0,50,7 0,36 B2 - в самолет попало два снаряда,      P B   2 1 0,4 0,5 0,7 0,4 1 0,5 0,7 0,4 0,5 1 0,7 0,41         B3 - в самолет попало три снаряда, P B   Контрольная формула: P B P B P B P B 3 0,09 0,36 0,41 0,14 1 .  0   1    2 P  AB0 гипотезы ,B0 PB0 A  P  AB1 P  AB2 B2 P  AB3 B3     - вероятность выхода самолета из строя при осуществлении   0 . гипотезы ,B1 PB1 A  0,2 . , PB2 A  0,6 . , PB3 A  - вероятность выхода самолета из строя при осуществлении   - вероятность выхода самолета из строя при осуществлении гипотезы   - вероятность выхода самолета из строя при осуществлении гипотезы   1 . 1) Применяя формулу полной вероятности, получим:   P A P B PB0 A P B PB1 A P B PB2 A P B P A3B    0,36 0,2 0,41 0,6 0,14 1 0,458   0     1       2         3 . 2) По формуле Байеса вычислим условные вероятности событий (гипотез). 8  3 0,4 0,5 0,7 0,14 .                   . 0 1 0,4 1 0,5 1 0,7 0,6 0,5 0,3 0,09   B1 - в самолет попал один снаряд,       . .

Стр.6

PB A    3 P B P AB   3   3 PA ( )  0,14 1 0,458   0,306 . Пример 5. В каждом из 6 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,3. Вычислить все вероятности k , где k – частота события А. Найти наивероятнейшую частоту. Решение: Используем формулу Бернулли p C p p n k помощью которой p n k p    1 n   0 0 66 Тогда 1 6 kk nn p p p C 0,3 (0,7) (0,7) 0,117649. 0 kp 0 1 p   p k  6 1  , 1,2, ,n 6 6 1 1 0,3 0,117649 0,302526. 1 0,7    p p p p p p p Контроль     0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6  k Значит, наивероятнейшая p  2 6    p  n i 1  Аналогично вычисляем все остальные значения. Результаты занесем в таблицу. 0,117649 0,302526 0,324135 0,18522 0,059535 0,010206 0,000729 1 Найдём наивероятнейшую частоту по заданным условиям: np q k np p, 6 0,3 0,7 6 0,3 0,3, 1,1 2,1.        k частота 6 2 1 0,3 0,302526 0,324135 2 0,7 k 2 и значение является максимальным. k n вычисляются по значению : . k 1 n nn (1 ) и формулу, с p  k k k Вычислим значение pk0,1, ,6 , 9

Стр.7

Пример 6. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,3. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена 30 раз. Решение: При решении этой задачи используем локальную теорему МуавраЛапласа: если при n независимых испытаниях событие А происходит с постоянной вероятностью р, которая не очень близка к нулю и единице, то при достаточно большом числе испытаний n вероятность того, что событие произойдет ровно m раз, приближенно равна n() () Pm fx  () npq , где  m np 1 f x( ) , 2 e x  2 , x m np P100 30 p  0,2 21 1    npq  100 0,3 0,7 30 100 0,3       e 0 42 1 , то получим: . 0 x 2 npq . Функция fx чётная и принимает только неотрицательные значения. Так как p  0,3 , q  0,7 , n 100 m 30  Отсюда имеем: 2 1  0,083 . Пример 7. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей. Решение: По условию p  0,2 , q  0,8 , n  400 , k1 70 , k2 100 . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: если при n независимых испытаниях событие А происходит с постоянной вероятностью р, которая не очень близка к нулю и единице, то при достаточно большом числе испытаний n вероятность того, что частота m появления события А находится в интервале m m m 12 P m m m x t ) где   (x) ,  n(12 x x 1 122e dt x 2      2 ( ) npq , x  Функция Ф(x) принимает значения в интервале ( ) так как для x>5 можно принять Ф(0)=0,5. По условию , x Найдем 10 p  0,2 , q  0,8 , n  400 1 70m    P400  70  x. , приближенно равна ,   m np m np npq .  0,1 , является нечётной  xx  ( ) . В приложении 4 приведены значения интеграла лишь до x=5, , m2 100 .    

Стр.8

x m np 1   npq     npq x m np  2 Таким образом, получим: P   400 70 Ф2,5 Ф  0,4938 0,3944 0,8882 . Пример 8. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 бракованных книг. Решение: По условию p  0,0001 , a  np как вероятность события мала используем формулу Пуассона P xi pi 100000  5 10  e10 5! 5  3  0,0375 . Пример 9. Дан ряд распределения случайной величины Х: 1 5 0,1 0,4 0,2 7 0,2 9 0,1 Найти функцию распределения F(x). Вычислить для X её математическое ожидание, дисперсию и моду. Решение: Функцию распределения находим по формуле F x  pi . xxi  Fx       () 0,5, 3 5, 0,7, 5 7,     x 0,9, 7 9, 1,    x x x  9. Математическое ожидание вычислим по формуле: n m x p  x              i 1  i i Для нахождения дисперсии воспользуемся формулами: 11 1 0,1 3 0,4 5 0,2 7 0,2 9 0,1 4,6 . 0, 1, 0,1, 1 3, x x  Pk ae m n()    ! По асимптотической формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна: 70 40 0,20 400 0,2 0,8        400 0,2 0,8 100 400 0,2    1,25 ,  2,5 .  1,25 Ф2,5 Ф1,25  100000  0,0001 10 , m  5 . Так mm .

Стр.9

d x m pi  x  xp            2 n ii i1 Дисперсия случайной величины: D   x 26,6 (4,6) 5,44 , 2  откуда легко определить среднеквадратическое отклонение: . x  5,44 2,33 Моду M0 найдём по максимальной вероятности M 3 . 0 Пример 10. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины . Требуется: 1. Определить коэффициент ; 2. Найти функцию распределения X A F( )x ; 3. Найти математическое ожидание и дисперсию ; 4. Найти вероятность того, что X f x A x( 1) при 2 4 x  ( )        0 при 4 x 0 при 2   x Решение: 1. Для определения коэффициента нормированности плотности распределения:    2 ( ) т.е. 8 1A f x dx   0 dx A x ( 1)dx  0 dx A x     4 2 f x( )          8 0 ( 1) x 4 4 2  , отсюда A1/8 . Таким образом, при x  02 1  A   X примет значение из интервала ( , ) .    3,5. 3; воспользуемся свойством  f ( )  .1dxx    ( 1)dx A x2 2       x      4 2 8A , 1 0,1 9 0,4 25 0,2 49 0,2 81 0,1 26,6 . nn i  x  ii  11 22 2 x p mx i i  при x  при x  4. 2. Для нахождения функции распределения используем формулу x F x( )   f t dt  12 ( ) . 2 4   

Стр.10