ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ФГБОУ ВО ВГУ) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ по курсам: «Математический анализ» «Многомерный математический анализ» для студентов 1 курса экономического факультета по направлениям «Экономика» и «Экономическая безопасность» Воронеж 2015 3 Утверждено Научно-методическим советом экономического факультета ( протокол №6 от 19.06.2015) Методические рекомендации разработаны на кафедре Информационных технологий и математических методов в экономике экономического факультета Воронежского государственного университета Составители: д.э.н., проф., зав. кафедрой ИТ и ММЭ В.В. <...> ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Теоретические вопросы 1. <...> Непрерывность функции в интервале и на отрезке. <...> Решение: Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида 0 0 . <...> В подобных примерах, для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель необходимо делить на степень х с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу, применяя теоремы о пределах 3 x im l 2 3 5 x 2 3 5 xlim 3lim 3 2 Ответ: 2 x 3 Пример 5. <...> Вычислить предел lim n n n n 2 1 Решение: В этом примере предел основания равен 1 (следует разделить числитель на знаменатель), а показатель степени стремится к бесконечности. <...> Используем правило дифференцирования произведения и таблицу x x 2 x. <...> Методами дифференциального исчисления исследовать функции и построить их графики по следующей схеме: 1. <...> Особо были исследованы на выпуклость и вогнутость окрестности точек, в которых () 7. <...> Найти частные производные первого рядков функции z arctg y x . <...> Вычислить частные производные первого и второго порядка: z y . x Вариант №2 1. <...> Вычислить частные производные первого и второго порядка: z 22x y . <...> Вычислить производные следующих функций: а) y x x y sinx <...>
Методические_указания_для_самостоятельной_работы_студентов_по_курсу_Линейная_алгебра_.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВО ВГУ)
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
по курсам: «Математический анализ»
«Многомерный математический анализ»
для студентов 1 курса экономического факультета по направлениям
«Экономика» и «Экономическая безопасность»
Воронеж 2015
3
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА……………………….6
1.1. Функции. Предел и непрерывность функции ………………….........6
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ…………………………………………......10
1.2. Производная функции. Приложения дифференциального исчисления………………………………………………………………………………...16
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ
ЗАДАНИЯ…………………………………………......24
1.3. Интегральное исчисление и его приложения……………………...35
ИДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ……………………………………………….38
ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ…………………………..48
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ…………………………………………......52
ТЕМА 3. РЯДЫ…………………………………………………………………..56
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ…………………………………………......61
ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ (1 семестр)…………………………………………..67
ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ (2 семестр)…………………………………………..69
ПРИЛОЖЕНИЯ……………………………………………………………….....73
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………………...75
5
Стр.3
Пример 4.
Вычислить предел x
lim 2 3 5
32
xxx
x
35
Решение:
В данном примере имеем неопределенность вида
. В подобных примерах,
для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель необходимо
делить на степень х с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу,
применяя теоремы о пределах
3
x im
l 2 3 5
x
2 3 5
xlim
3lim 3
2
Ответ: 2
x
3
Пример 5.
Вычислить предел limsinx
xa
x a
Решение:
Преобразуем разность синусов и используем формулу
(первый замечательный предел) и свойства пределов.
2cos
x a
lim sin x
x a
c 2os
2 1 cosa
a
8
x a
sin a
lim
x a
2 sin
x a
x a
2
limcos
x a
x a
2 lim
x a
sin
2
lim
0
x a
2
x a
sin x
x x
1
sina
.
xxx
3 2
35
xlim
1` 1
1
2 3 5
x
x
x x10
6
xx
3
x
xlim 2 3 lim 5 lim 3
x6
1
1 x
2
x
x
x
2 3 5
332
2
xlim
xx
1
10
2
3
.
x
x
x
x
5
3
5
Стр.6
Ответ: cosa.
Пример 6.
Вычислить предел lim
n
n
n
n
2
1
Решение:
В этом примере предел основания равен 1 (следует разделить числитель
на знаменатель), а показатель степени стремится к бесконечности. Имеем
неопределенность вида 1 . Используем второй замечательный пределx
1
x
lim
1 lim 1 2,71828.... Сделав очевидные преобраx
1
зования,
получим
3
lim
n
n
n
en
lim
2
1
n
3 2 1
n2
2 1
n
lim 1
n
e
3 iml 2 1
n n2
n
e
Ответ: e6
.
Весьма полезными при нахождении пределов функций является знание
следующих пределов
limln 1 1
0
x x
lim
0
x
x
x
loga1 loga e
x
x
lim
0
x
ax
l 1im
0
Пример 7.
Вычислить предел lim lnn n 3 lnn.
n
9
x
x
1 lna
x
1
(a>0)
(1)
(2)
(3)
(4)
6
n
n
2 1
1
2 1
n
lim 1 3 3
n
n 2
n2
n2
n2 1
0
e
2 1
Стр.7
Решение:
Заменяя разность логарифмов логарифмом дроби, и, используя формулу
(1), получим
n
Ответ: 3.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1. а). y arcsin2 x
а) Найти область определения функции.
б) Вычислить следующие пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
б)
lnx
lim3 2
2
x
lim
0
x
2. а). y lg 3 3 x
2
x
3. а). y x x
2
б)
lim
1
lim
x
б)
lim3 2
4
x
x
l 2im
0
4.
y 16 2 3
x
2
3
x
а).
б)
lim 2
3
x
x
x
2
10
4
8
x 6 8
x 4
x
x
4
x
x 4 3
2
x
x
1
x
x x 1
4
1
1
1
x 5 2
x 2
x
x
x
1
l 10 2
n n
im 1
n
10
x0
2
lim 1
2
lim
x 1
x2
x0
x
1 x
3
x
x
3
1 x
1
lim ln 1 5x
x
x
1
1
limsinx 1
x x 1
3
n
limlnn lnn 3n
lim 5 7 2
n n
2
3
2
lim s 3in
0
n
5
x
x x2 9
lim2 4
lim x
2
x tg x
x 1
2
2
5
limcosx co 3s x
x
x
lim lnn n 3 lnn lim lnn n
n
n
3 lim ln 1 3
n
n
n
lim
n
3ln 1 3
n
3
n
3.
Стр.8
x
5. а). y lg sin x
lim
16
б)
lim 2
2
x
x1 x
x4 x
lim
6. а). y arccos2sinx
б)
lim
1
x 1
3
x 1 x
lim 24
x x
7.
а).
y lgx 2 arccos
x
3
б)
x
lim 2 2
2
5
lim
3
8. а). y sinx
б)
x 2 x
lim1
lim
2
x1 1 x
9. а).
y xx
2
x
1
56
x1
lim
lim
x 0
б)
x 3 2
2
3
x x
x
x 1 1
x
11
x 4
2
x
x 9 10
x
x
2 5
2 3 3
x
x 3 x
x
16
2
6 4
6 8
x
x
x
1
x
2
x
x
4
4
2
lim
n
n 10
n 3
lim 2
x
x sinx cosx
3
lim
4
n
2 2
lim 2 1
lim
m
lim ln 1 3x
x
x0
lim
x
lim
0
x
t
x x x
x
2
2
3
1
2 1
3sin
2 1
lim 2 4
t
lim 2
x
x
lim 2x 1
x
lim
x a sin
x 1
lim
x
x
x a
x a
2
2
x
2
2
limsin
1
t
t
x x 1
x
x
4x x3 2x
x 1 ;
3 1
lim 3 1
x
2x 1
2
2
x
x 1
1
x
;
x1sinx 1
lim
n
n
n
m m
3
m m 1
4
2
2 5
x 1
2
x 10 x x
c 2os x
2 1
n
Стр.9
10.
y 24 3 x
1
x
а).
б)
x
lim
2
c 2 s 2in
os
cosx
x
limx2
x 1
1
11. а). y arcsint gx
б)
l 15im
x
lim
x 4
12. а). y
2 xx
3
б)
lim 33
3
x x
lim
x0
13.
y
9 x x
2
2
4
а).
б)
lim
3
x 2 1
2
x
x x 3
x
x1 x
lim
14. а). y
x
2
x
x
7 12
8
б)
x
lim
x
x
2
4
2 2
lim0 x
x 22
x
x
1
2
x
3 1 1
x
27
x
5
1
3
2
x 2 1
x
x
2
x
5
1
2x 1
x
x
x
x
im
lim
x0
x
lim
x
x x
lim
x0
lim
x
lim ctg x2 2sin
x0
lim
x
l cosim
x a
3 7
3 5
x
x
l 2 5 3
x 9 5
im 1
x
x
x
lim1 sin2
2
2
lim1 sin
x
0
n n
x
lim
lim
n
x0 2x
x
15. а). y lg cosx
б)
lim 22
x x
12
x
x
3 1
2
5 2
lim 5 6
x
x
n 3 7
lim 7 2
n
3
1 c 2os
2
x
2
n 1
n
4
x
x
x 3 x
1
3 1
x
x a
4x
cosa
x
x
2 2
2 5
x
x
3
lim 1 sin
x
x
2
x
1
1
x
l 1 2x
x
tgxsin x
3
x
x 2
3
2
x 1
x
2 1
Стр.10