110 Метод разделения переменных для решения смешанных задач . <...> 110 Метод разделения переменных первой смешанной задачи для однородного уравнения колебаний струны . <...> 117 Сведение смешанной задачи с неоднородными граничными условиями к задаче с однородными граничными условиями . <...> 117 Метод разделения переменных для решения смешанных задач с неоднородным уравнением . <...> 124 Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для однородного уравнения теплопроводности в стержне . <...> 126 Непрерывная зависимость решения от начальной и граничных функций 130 Контрольные вопросы . <...> 132 Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для однородного уравнения теплопроводности в пластине . <...> Уравнение ∂u/∂x = 0 в плоскости (x,y) имеет общее решение u(x,y) = f(y), где f - произвольная функция. <...> T Получилось линейное уравнение второго порядка, называемое одномерным волновым (или телеграфным) уравнением. <...> Уравнение теплопроводности Полная энергия, которая при отсутствии химических реакций с выделением или поглощением тепла может меняться только за счет потока через поверхность: t c TdVp QdS , где pс - теплоёмкость, T - температура, Tсp - плотность внутренней энергии сплошной среды. <...> Преобразуя уравнение к дифференциальному и считая теплоемкость pс и теплопроводность χ не зависящими ни от температуры, ни от координат или времени, получим уравнение теплопроводности: T t где T , (1.13) / сp называют коэффициентом температуропроводности. <...> Получилось уравнение второго порядка по пространственным переменным, но первого порядка по времени. <...> Такое уравнение называют уравнением параболического типа, в отличие от волнового, которое относится к гиперболическому типу. <...> К эллиптическому типу относится уравнение Лапласа ∆u = 0, которое получается из (1.14) в стационарном случае, когда температура не зависит от времени. <...> Уравнение Лапласа для скалярного 13 ∇ потенциала получается в стационарном случае и из уравнений <...>
Уравнения_математической_физики_Учебное_пособие.pdf
УДК 519.2
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ,
протокол № 2, от 02.02.2016 г.
Рецензент:
Зав каф.ЭиА ПГУТИ ,
д.ф.-м.н, доцент, Клюев Д.С.
Алашеева, Е. А.
А Математика: учебное пособие / Е. А. Алашеева. – Самара: ПГУТИ,
2016. –162 с.
Учебное пособие «Уравнения математической физики» содержит
основные понятия об уравнениях в частных производных и методах их
решения, данное пособие разработано в соответствии с ФГОС ВО по
направлению подготовки 02.03.03 Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем и предназначено для студентов
4 курса факультета ИСТ для самостоятельной подготовки.
ISBN
©, Алашеева Е.А., 2016
2
Стр.2
Содержание
Лекция 1 ................................................................................................................... 7
Уравнения в частных производных ................................................................... 7
Примеры уравнений математической физики .................................................. 8
Методы решения ................................................................................................ 14
Контрольные вопросы ....................................................................................... 15
Лекция 2 ................................................................................................................. 16
Уравнения первого порядка .............................................................................. 16
Линейные однородные уравнений первого порядка ...................................... 18
Квазилинейные уравнения первого порядка ................................................... 23
Геометрическая интерпретация, задача Коши ................................................ 24
Контрольные вопросы ....................................................................................... 27
Лекция 3 ................................................................................................................. 28
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков ....................... 28
Классификация линейных уравнений второго порядка ................................. 31
Системы уравнений с частными производными ............................................ 32
Контрольные вопросы ....................................................................................... 36
Лекция 4 ................................................................................................................. 37
Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка с двумя
переменными ...................................................................................................... 37
Контрольные вопросы ....................................................................................... 46
Лекция 5 ................................................................................................................. 47
Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя
независимыми переменными ............................................................................ 47
Уравнения гиперболического типа .................................................................. 47
Уравнения параболического типа .................................................................... 48
Уравнения эллиптического типа ...................................................................... 50
Классификация и приведение к каноническому виду уравнений второго
порядка со многими независимыми переменными. ....................................... 51
Приведение к каноническому виду уравнений с постоянными
коэффициентами. ............................................................................................... 53
Контрольные вопросы ....................................................................................... 55
Лекция 6 ................................................................................................................. 56
3
Стр.3
Исключение в уравнениях младших производных ........................................ 56
Классические решения простейших уравнений с частными производными
второго порядка .................................................................................................. 57
Фундаментальное решение параболического уравнения .............................. 61
Общее решение уравнений с частными производными первого порядка ... 63
Контрольные вопросы ....................................................................................... 65
Лекция 7 ................................................................................................................. 66
Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской ........................................... 66
Контрольные вопросы ....................................................................................... 74
Лекция 8 ................................................................................................................. 75
О корректной постановке задачи Коши ........................................................... 75
Примеры некорректно поставленных задач Коши ......................................... 77
Задача Коши для уравнения колебаний струны ............................................. 80
Контрольные вопросы ....................................................................................... 83
Лекция 9 ................................................................................................................. 84
Обобщенные функции ....................................................................................... 84
Регулярные обобщенные функции ................................................................... 86
δ-функция Дирака .............................................................................................. 86
Дифференцирование обобщенных функций ................................................... 88
Фундаментальные решения дифференциальных уравнений ........................ 89
Фундаментальное решение уравнения Лапласа ............................................. 90
Контрольные вопросы ....................................................................................... 90
Лекция 10 ............................................................................................................... 92
Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны ................ 92
Первая смешанная задача .................................................................................. 92
Вторая смешанная краевая задача .................................................................... 94
Третья смешанная задача .................................................................................. 95
Смешанная задача для обобщенного уравнения колебаний струны ............ 96
Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в стержне
.............................................................................................................................. 96
Первая смешанная задача .................................................................................. 97
Вторая смешанная задача .................................................................................. 98
Третья смешанная задача .................................................................................. 98
4
Стр.4
Контрольные вопросы ....................................................................................... 99
Лекция 11 ............................................................................................................. 100
Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в пластине
............................................................................................................................ 100
Задача Штурма-Лиувилля ............................................................................... 102
Свойства собственных значений и собственных функций .......................... 104
Контрольные вопросы ..................................................................................... 108
Лекция 12 ............................................................................................................. 110
Метод разделения переменных для решения смешанных задач ................ 110
Метод разделения переменных первой смешанной задачи для однородного
уравнения колебаний струны .......................................................................... 113
Контрольные вопросы ..................................................................................... 116
Лекция 13 ............................................................................................................. 117
Сведение смешанной задачи с неоднородными граничными условиями к
задаче с однородными граничными условиями ........................................... 117
Метод разделения переменных для решения смешанных задач с
неоднородным уравнением ............................................................................. 120
Контрольные вопросы ..................................................................................... 123
Лекция 14 ............................................................................................................. 124
Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для
однородного уравнения теплопроводности в стержне ................................ 124
Корректность первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности
............................................................................................................................ 126
Непрерывная зависимость решения от начальной и граничных функций 130
Контрольные вопросы ..................................................................................... 131
Лекция 15 ............................................................................................................. 132
Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для
однородного уравнения теплопроводности в пластине ............................... 132
Спектральная задача ........................................................................................ 133
Формулы Грина для оператора Лапласа ........................................................ 136
Первая, вторая и третья формулы Грина ....................................................... 137
Контрольные вопросы ..................................................................................... 138
Лекция 16 ............................................................................................................. 139
Интегральная формула Грина ......................................................................... 139
5
Стр.5
Свойства гармонических функций ................................................................. 142
Принцип максимума и минимума для гармонических функций ................ 144
Контрольные вопросы ..................................................................................... 146
Глоссарий ............................................................................................................. 147
К лекции 1 ......................................................................................................... 147
К лекции 2 ......................................................................................................... 148
К лекции 3 ......................................................................................................... 149
К лекции 4 ......................................................................................................... 151
К лекции 5 ......................................................................................................... 152
К лекции 6 ......................................................................................................... 153
К лекции 7 ......................................................................................................... 154
К лекции 8 ......................................................................................................... 155
К лекции 9 ......................................................................................................... 156
К лекции 10 ....................................................................................................... 159
К лекции 11 ....................................................................................................... 159
К лекции 14 ....................................................................................................... 159
К лекции 15 ....................................................................................................... 160
К лекции 16 ....................................................................................................... 161
Литература ........................................................................................................... 162
6
Стр.6