МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» С. Д. Кургалин, Т. А. Чураков ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие для вузов Воронеж Издательский дом ВГУ 2014 Утверждено научно-методическим советом факультета компьютерных наук 24 декабря 2013 г., протокол № 2 Рецензент кандидат физико-математических наук профессор кафедры математики и физико-математического моделирования Воронежского государственного технического университета Г.А. Шунин Учебное пособие подготовлено на кафедре цифровых технологий факультета компьютерных наук Воронежского государственного университета. <...> Рекомендуется для студентов 1-го курса дневного отделения факультета компьютерных наук. <...> Для направлений 230400 – Информационные системы и технологии, 010200 – Математика и компьютерные науки, 231000 – Программная инженерия Содержание Введение 1. <...> Уравнение прямой в пространстве Литература 42 51 60 67 74 3 Введение Учебное пособие является введением в алгебру и аналитическую геометрию, читаемые на естественных факультетах вузов, и включает в себя основные темы курсов «Алгебра и геометрия», «Аналитическая геометрия» и «Фундаментальная и компьютерная алгебра», которые преподаются для студентов первого и второго курсов дневного отделения факультета компьютерных наук Воронежского государственного университета. <...> Для матрицы A построим новую матрицу B, в которой строки и столбцы поменяем местами: B = чается AT . <...> Квадратную матрицу называют диагональной, если все её элементы, находящиеся вне главной диагонали, равны нулю: 5 5 3 0 −1 . <...> Матрица A = {aij} называется верхней треугольной, если aij = 0 при i > j (т. е. все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю). <...> Аналогично матрица B = {bij} называется нижней треугольной, если bij = 0 при i < j (т. е. все элементы выше главной диагонали <...>
Основы_линейной_алгебры_и_аналитической_геометрии.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
С. Д. Кургалин, Т. А. Чураков
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Учебное пособие для вузов
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2014
Стр.1
Содержание
Введение
1. Матрицы и определители
2. Системы линейных уравнений
3. Линейные векторные пространства
4
5
19
26
4. Фундаментальные решения однородной системы уравнений 35
5. Векторы в трехмерном пространстве
6. Уравнение прямой на плоскости
7. Уравнение плоскости в пространстве
8. Уравнение прямой в пространстве
Литература
42
51
60
67
74
3
Стр.3
d1 0 . . . 0
...
0 d2 . . . 0
...
. . .
...
0 0 . . . dn
.
Если в диагональной матрице все di = 1, то матрицу называют единичной
и обозначают I, а если все элементы di = 0, то называют нулевой и
обозначают O.
I =
1 0 . . . 0
... . . . ...
0 1 . . . 0
...
0 0 . . . 1
, O =
0 0 . . . 0
... . . . ...
0 0 . . . 0
...
0 0 . . . 0
.
Матрица A = {aij} называется верхней треугольной, если aij = 0 при
i > j (т. е. все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны
нулю). Аналогично матрица B = {bij} называется нижней треугольной,
если bij = 0 при i < j (т. е. все элементы выше главной диагонали равны 0).
Для верхней и нижней треугольных матриц специально используются
условные обозначения (рис. 1).
Рис.1. Условные обозначения для верхней A и нижней B треугольных
матриц
(т. е. все элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны
между собой).
Условие симметричности матрицы можно записать в виде равенства A =
Матрица A = {aij} называется симметричной, если элементы aij = aji
AT .
6
Стр.6
размера называют матрицу C = {cij} того же размера, состоящую из элементов
cij = aij +bij (или cij = aij −bij). При этом C = A+B - для суммы
матриц или C = A−B - для разности.
Пример. Пусть даны две матрицы A и B :
A =
( 2 0 −1
1 3 4
)
, B =
( 0 5 3
2 1 4
Найдем их сумму A+B и разность A−B :
A+B =
( 2+0 0+5 −1+3
1+2 3+1 4+4
A−B =
)
( 2 −5 −4
−1 2 0
=
)
.
( 2 5 2
3 4 8
)
.
вают матрицу C = {cij} состоящую из элементов cij = α · aij.
Пример.
Пусть α = 2 и A =
( 0 −1 2
−2 3 4
)
. Тогда 2 · A =
Произведением αA действительного числа α и матрицы A = {aij} назы(
0 −2 4
−4 6 8
Введённые операции обладают следующими свойствами:
1) A+B = B +A
2) (A+B)+C = A+(B +C)
3) I · A = A
4) (λ · µ)A = λ(µA)
5) λ(A±B) = λA±λB
6) (λ+µ)A = λA+µA
размера n×p называют матрицу C = {cij} размера m×p, элементы которой
выражаются как:
Произведением матрицы A = {aij} размера m×n и матрицы B = {bij}
cij =
∑
k=1
n
aikbkj.
Кратко это произведение матриц записывается так: C = A ·B.
Пример.
7
)
.
)
Рассмотрим операции над матрицами.
Суммой (разностью) двух матриц A = {aij} и B = {bij} одинакового
,
Стр.7
Пусть A =
Тогда
в то же время
B · A =
( 2 −1
1 0
)
и B =
( 3 0
1 −1
A ·B =
)
( 5 1
3 0
.
)
( 6 −3
1 −1
,
)
.
Есть общее правило : матрицы можно перемножать только в том случае,
когда число столбцов первого сомножителя - матрицы A равно числу строк
второго сомножителя - матрицы B. Кроме того, умножение матриц некоммутативно,
т. е. при перестановке сомножителей результат может измениться.
1. Вычислить 3A+2B, где A =
2. Вычислить A ·B, где A =
Найти BT · AT и (A ·B)T .
3. Вычислить:
а)
0 0 1
1 1 2
2 2 3
3 3 4
Матрице A =
число
·
( a11 a12
a21 a22
−1 −1
2 2
1 1
·
( 4
1
)
; б)
( 1 −2
3 −4
)3
.
1.2. Определители второго и третьего порядка
)
Задачи для самостоятельного решения
)
( 2 1 −1
0 1 4
( 1 −1 0
2 3 4
)
, B =
, B =
1 1
( −2 1 0
−3 2 2
2 −1
3 0
.
)
.
размера 2×2 можно поставить в соответствие
a11a22 −a21a12,
которое называется определителем второго порядка матрицы A и обозначается
Пример.
Если A =
∆ ≡ detA ≡ |A| ≡
)
( 3 2
1 5
, то ∆ =
8
a11 a12
a21 a22
Определителем третьего порядка матрицы A размером 3×3 называется
число, полученное по формуле:
3 2
1 5
.
= 3 · 5−1 · 2 = 13.
Стр.8