Теория вероятностей. Случайные величины, закон распределения, числовые характеристики (110,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» С.А. Переселков, Е.Г. Беломытцева, В.Е. Чернов ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Учебно-методическое пособие для вузов Воронеж Издательский дом ВГУ 2014 1

Стр.1

§ 1. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Определение  Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает одно и только одно из некоторого множества возможных значений. Причем до проведения испытания, нам неизвестно какое именно значение примет случайная величина. Для обозначения случайных величин используются заглавные буквы: X , Y,Z…  Совокупность всех значений случайной величины называется возможными значениями случайной величины. Для обозначения возможных значений случайной величины используются соответствующие строчные буквы: x , y , z…Например, совокупность 1 x , x , x , … – возможные значе2 2 3 3 ния случайной величины X . Говорят, что случайная величина X определена на множестве возможных значений 1 x , x , x , … Согласно определению случайной величины результатом испытания может быть появление одного из следующих случайных событий: = , A : Xx A : Xx A : Xx A : Xx 11} 22} { { = , A , 2 AA A 12 3 2) любые два события iA и j Отсюда следует, что ∑PA = или () 1i i () 1i i Случайная величина, определенная на дискретном множестве возможных значений, называется дискретной случайной величиной. Возможные значения дискретной случайной величины представляют собой изолированные точки на оси вещественных значений (см. рис. 1.1). Рис 1.1. Возможные значения дискретной случайной величины  Случайная величина, определенная на непрерывном интервале возможных значений от 1x до 2x , называется непрерывной случайной величиной. Очевидно, возможные значения непрерывной случайной величины представляют собой точки, принадлежащие непрерывному интервалу 12 (, ) x x на оси вещественных значений. Рис. 1.2. Возможные значения непрерывной случайной величины 3 ∑PX x= = . (1.3) { = , { Эти случайные события обладают свойствами: 1) совокупность событий 1 A , 3 33} 44} = , … A ,… образует полную группу: + ++ =K . (1.1) A являются несовместными: ij AA = . (1.2) σ γ

Стр.3

Fx Fx−() ( Согласно выражению (3.8), разница значений функций распределения: 21 ность события больше нуля, то: Следовательно, Свойство 4 Доказательство Если x→−∞, то событие { x→− Fx∞ lim ( ) 0= . (3.11) A: Xx}< является невозможным событием. Как известно, вероятность невозможного события равна нулю. Таким образом, lim ( ) lim ( xx→ −∞ →−∞Fx P X x) 0 = Свойство 5 Доказательство Если x→∞, то событие { x→+ Fx∞ lim ( ) 1= . (3.13) A: Xx}< является достоверным событием. Как известно, вероятность достоверного события равна1. Таким образом, lim ( ) lim ( xx →∞Fx P X x) 1. = →∞ случайной величины, заданной таблицей: Χ Ρ p 1 x 2 p 2 x 3 p 3 Согласно определению (3.2): 0, ⎧ ⎪ Fx p p if x x x pp p ()=+ < K ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ , ⎩ 12 NNif ⎪ ++ + = 1, K x > x Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины имеет вид, представленный на рис. 3.1. 11 2 12 2 ⎪pif , x x <≤x ≤ 3 (3.15) if x x 1 ≤ <= x 4 p 4 x 5 p 5 ч. т. д. Рассмотрим график функции распределения вероятностей дискретной x 1 … … x N p N (3.14) <= (3.12) ч. т. д. Fx Fx≥ . (3.10) ч. т. д. 21) 0≥ . (3.9) () ( 21) )равна вероятности случайного события. Поскольку вероятFx Fx−() ( 6

Стр.6

Рис. 3.1. График функции распределения дискретной случайной величины Рассмотрим график функции непрерывной случайной величины, определенной на непрерывном интервале ( 1 x , 2 x ) на рис. 3.2. Рис. 3.2. График функции распределения непрерывной случайной величины, заданной на интервале ( 1 x , 2 x , 2 x ) Согласно свойствам функции распределения, это должен быть график функции, не убывающей на интервале ( 1 x ), равной нулю при x x≤ , равной единице при 1 x x≥ (см. рис. 3.2). § 4. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2 Определение  Функцией плотности вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию ()f x , определяемую производной функции распределения: fx dF x dx () = Свойство 1 f () 0. x ≥ (4.2) Доказательство Согласно определению (4.1) функция плотности вероятностей является производной функции распределения. Так как функция распределения слу7 def () . (4.1)

Стр.7

чайной величины является неубывающей функцией, то ее производная является неотрицательной функцией: f () 0. x ≥ ч. т. д. Свойство 2 F xf x dx −∞ () () x = ∫ , (4.4) Доказательство Из определения плотности вероятностей (4.1) следует, что: F xf x dx C x=+ , x 0 () () ( ) x ∫ () 0 Fx f x dx C −∞ Таким образом, F xf x dx −∞ () () x Свойство 3 («условие нормировки») X () 1 ∞ −∞ ∫ , (4.9) f xdx = Доказательство Согласно свойству функции распределения (3.13): lim ( ) = x→∞ Свойство 4 Px X x≤< f x)dx () ( 1 12 = ∫ . (4.11) x x Доказательство Согласно свойству функции распределения (3.8): Px X x F x F x ) () ( 12 8 2) ≤< = − . (4.12)( 1 Используя представление функции распределения (4.4), 2 F xf x dx ∞ −∞ ∫ . (4.10) ч. т. д. ( ) 1 = 0 (4.5) где значение константы интегрирования Cx зависит от нижнего предела интервала интегрирования 0x . Пусть 0x →−∞. В этом случае: () () ( ) x = ∫ +−∞. (4.6) Согласно свойству функции распределения вероятностей (3.11): x →−∞Fx C= −∞ = . (4.7) lim ( ) ( ) 0 = ∫ . (4.8) ч. т. д. (4.3)

Стр.8