Тверская, О.Ю. Чигирева РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА Методические указания к выполнению домашнего задания по курсу «Уравнения математической физики» Под редакцией А.Н. Канатникова Москва Издательство МГТУ им. <...> Решение краевых задач для уравнения Лапласа : метод. указания к выполнению домашнего задания по курсу «Уравнения математической физики» / Е.С.Тверская, О.Ю.Чигирева. <...> Методические указания содержат краткий теоретический материал, необходимый для выполнения домашнего задания по курсу «Уравнения математической физики» Подробно разобраны примеры решения задач, а также приведены задачи для самостоятельной работы и условия домашнего задания. <...> Уравнение Лапласа Для описания стационарных процессов в физикe обычно используют уравнения эллиптического типа. <...> Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа ∆u = 0, где ∆ — дифференциальный оператор 2-го порядка, называемый оператором Лапласа. <...> Если гармоническая в ограниченной области Ω функция u ∈ C1(Ω), то Σ ∂u ∂ndσ = 0, где Σ — гладкая поверхность, ограничивающая область Ω; − → n — внешняя нормаль к Σ. <...> Если функция u является гармонической в шаре ΩM0,R радиуса R с центром в точке M0 и непрерывна в замыкании ΩM0,R, то ее значение в центре шара равно среднему значению по сфере ΣM0,R: u(M0) = 1 4πR2 ΣM0,R является гармонической в ограниченной области Ω и непрерывна вплоть до ее границы, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений только на границе Σ этой области. <...> Если функция u является гармонической в ограниченной области Ω и u ∈ CΩ, то |u(M)| max P∈Σ |u(P)|, M ∈ Ω, где Σ — граница области Ω. <...> Постановка краевых задач для уравнения Лапласа Краевая задача для уравнения Лапласа состоит в нахождении функции u, удовлетворяющей в области Ω уравнению Лапласа и некоторому условию, заданному на границе Σ этой области. <...> Такое условие называют граничным и в зависимости от его вида рассматривают следующие <...>
Решение_краевых_задач_для_уравнения_Лапласа.pdf
УДК 517.946
ББК 22.311
Т26
Рецензент А.В. Аттетков
Т26
Тверская Е.С.
Решение краевых задач для уравнения Лапласа : метод. указания
к выполнению домашнего задания по курсу «Уравнения
математической физики» / Е.С.Тверская, О.Ю.Чигирева. – М. :
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 48 с.: ил.
Методические указания содержат краткий теоретический материал,
необходимый для выполнения домашнего задания по курсу «Уравнения
математической физики» Подробно разобраны примеры решения
задач, а также приведены задачи для самостоятельной работы и условия
домашнего задания.
Для самостоятельной работы студентов 2-го курса, обучающихся
по специальностям «Радиоэлектронные системы и устройства», «Технологии
приборостроения», «Защита информации».
УДК 517.946
ББК 22.311
Учебное издание
Тверская Елена Сергеевна
Чигирева Ольга Юрьевна
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
Редактор В.М. Царев
Корректор М.А. Василевская
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 10.08.2009. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 2,79. Тираж 500 экз. Изд. № 6.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
-МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009
c
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА . . . . . . . 3
1.1. Уравнение Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Гармонические функции и их свойства . . . . . . . . . . . 3
1.3. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа . . . . . 4
2. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1. Оператор Штурма — Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Задача Штурма — Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 11
3. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1. Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2. Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 23
4. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1. Уравнение Бесселя. Фундаментальные системы решений
уравнения Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2. Краевая задача на собственные значения и собственные
функции для уравнения Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
В ЦИЛИНДРЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1. Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 33
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Условия домашнего задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Стр.49