Кандаурова, В.В. Миткин, С.И. Шишкина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические указания к решению задач Москва Издательство МГТУ им. <...> Дифференциальные уравнения первого порядка: Метод. указания к решению задач. <...> Формально решение дифференциального уравнения представляет собой задачу обратную дифференцированию. <...> К простейшему уравнению такого вида приводит задача поиска первообразной некоторой заданной функции ( ) образом: dy = ()f x dx f x . <...> Это уравнение содержит первую производную неизвестной функции и представляет собой простейшее дифференциальное уравнение. <...> ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида ( Fx,, ) 0=′ y y , (1.1) которое связывает независимую переменную х, неизвестную функцию y и ее первую производную y dy ′= dx . <...> Если уравнение первого порядка имеет вид dy = (), dx f xy, (1.2) т. е. производная явно выражена через функцию и аргумент, то такое уравнение называется разрешенным относительно производной. ренцируемая функция yx , которая при подстановке ее в уравнение (1.1) или (1.2) обратит его в тождество. <...> Геометрически решение уравнения есть кривая на плоскости. <...> График этой функции yx =ϕ на плоскости (x, )y называется интегральной кривой. <...> Общим решением уравнения (1.1) называется функция =ϕ (, ) yxC , зависящая от аргумента и одной произвольной константы ∈ CR, обращающая данное уравнение в тождество, причем различным значениям С соответствуют различные частные решения. <...> 4 Решением дифференциального уравнения называется диффе=ϕ () Частным решением уравнения (1.1) обычно называют решение этого уравнения при конкретном значении параметра C . <...> Если общее решение уравнения (1.2) задано в неявном виде () или (ϕ=, )x yC, то оно называется общим интегралом этого уравнения. <...> Функция (),ϕ x y при конкретном значении C наΦ= xy C,, 0 ка формулируется следующим образом: найти решение yx дифференциального уравнения yf , ) ′= x y , удовлетворяющее на( чальному условию yx ( )00 = y, (1.3) где <...>
Дифференциальные_уравнения_первого_порядка.pdf
УДК 517.9
ББК 22.161.6
К192
Рецензент В.Ю. Чуев
К192
Кандаурова И.Е., Миткин В.В., Шишкина С.И.
Дифференциальные уравнения первого порядка: Метод. указания
к решению задач. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2008. 48 с.: ил.
Рассмотрены методы решения обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка. Даны краткие теоретические
сведения, приведены примеры решения уравнений, а также задачи
для самостоятельного решения.
Для студентов 1-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана.
УДК 517.9
ББК 22.161.6
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008
2
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ..................................................................................................... 3
1. Основные понятия.................................................................................. 4
2. Уравнения с разделяющимися переменными...................................... 6
3. Однородные уравнения ......................................................................... 9
4. Линейные уравнения.............................................................................. 13
5. Уравнение Бернулли.............................................................................. 17
6. Уравнения в полных дифференциалах................................................. 22
7. Уравнения Лагранжа и Клеро ............................................................... 27
8. Уравнение Риккати ................................................................................ 29
9. Метод изоклин........................................................................................ 34
10. Решение типовых задач ....................................................................... 38
11. Задачи для самостоятельного решения.............................................. 41
Список рекомендуемой литературы......................................................... 46
47
Стр.47