Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии : электронное учебно-методическое пособие (220,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.4

Стр.5

+  ++ ()2+ +20 2D 2 2у D 2 y D  R+ =2AС 2A 2 A C А х С х С =АR22A С y+ + 2 +  С   +  A x y D =  + C 22А+  2 222A  −     С 2 А22 =  = 2Здесь x + +yy D   −   С  +  +Cy D2C2 2D2by b D2 20 . 2A2 Dx + + 2A +2А= R + +    +         A x C = − 22A, y C2A 2A   + A y D () () 2 2 () () 2 2  =        K = 0 x 2x + 2А + + 2R+ D +  2 , Добавляем недостающие2 a2, b2 (столько ж = 0 A2by b DyA=2− 2 А.изменилось):2А 2A y D2 + A x C ти получили число отрицательное, то окисло равно нулю, окружность вырожА х С     ющие a2= − 2 , (столько же вычитаем, чтобы 2R D=  С +  A+ = 0 у Dy D 22 2А x +2 =  =  = 2 . 2  + =  2A 2 A A y K A x D y C =  =A + 2 A A y K C x D a2,+ b2 (столько же вычитаем, чтобы уравнение2y не+ + С х С   +  +  A a a C ax C RC2A y + D 2A CAx Ay Cx Dy K 0 . + = 02АA ружность мнимая; если это число равно нулю, окружность вырож денная, т. е. 2 C ()2 Cx++ + = А20KyD+ + + D y D2()2 ()2 ()2 y + = + + =  2x2 + ) = += − 2 .D +  x А 222А C x + Dx + K = 0 2 A =  2 А х С   ающие a2, b2 (столько же вычитаем, чтобы уравнение0 не R 2А20  щие a2, b2 (столько же вычитаем Здесь, чтобы уравнение не22 = R y D+ + = 0KyD =  =  + +2А +  А х С х С лось): +  у D 2 A A y K A x D C 2 Здесь R 2 2 2 + A =+02xa a+ ;, b2 R2 yющие a2x + + 2xa + a2 С  2A D  = y22C 2 22 А х С   А х С y2А 2 xА() С А2A()2 2() 2 2 y  −   =  =  = 2 .  + +   +  +  2 D+ 2 Если в правой части получили число отрицательное, то окCAx− + Ay D02А x 0 22изменилось):A A 22A y D А у D  +− 2A 2 D  −   A a a C ax C      −  A K A A y K A x D y C 2А2x + ++  22 R = C2 22 y 2 D  +  +  2А y D 2 + y D22 +2+ = 0x 22+ ++ 2 2АD+     2=  С 2 2by b D (столько же вычитаем, чтобы0 сь С  2А +y b) = + 2by b . xИз+ него легко можно получить канонический вид методоby b 222  = А++ =A2+ +2А 22A 222 A A y K A x D y C ата, воспользовавшись алгебраическими2А22A 2 y D2 ,2 +А2+ 2А Dолучить канонический вид методом вы- y D  22 2by b D A a a C ax C шись алгебраическими формулами 2 A y Dx+ +  ): 2 + 2 + A ()20 A  =  = 2 . 2полного квадрата+, воспользовавши. ; (y + b)2 y D+ + +22  =  = 2 .  +  +  полного квадрата, воспользовавшись алгебраическими формулами 2 А х С яем недостающие a2, b2 (столько2 же вычитаем, чтобы уравнение не2 2С  ь алгебраическими формулами a a 2+ ; не изменилось): x 2 + недостающие a2, b2 (столько2 же вычитаем, чтобы уравнение не2 С x22 м недостающие a2 0 A A y K x D + b)2+ 2 + y + x + 2 + +y b С y2 2 где А = В. Из него легко можно получить канонический вид методом выд + yRЗдесь y ить канонический вид методом выделения + D  A+(+ =) 0 = +22xa a 2;А 2А 2 A a a C C где А = В. Из него легко можно получить канонический вид методом выделе +  2          =    A K A C = − 2 Здесь,2A y D + 22 + 2 2 изменилось):  + =  y D 2 02A2D  2  +   2 R D.+= − 2 . Добавляем2 недостающие a2, b2 (столько+ же в 2AD + A+−А + 2 , + + +А =   А+ D 2      + +  деления полного квадрата, воспользовавшись алгебраич формулами (x + a)2    + +С  +A y D22A2  +2 y D  2   А х С   А х С х С пс – это множество точек (х, у), сумма расстояни двух данных точек, называемых фокусами равная 2а.  С А22 у D A y D2A+ 2 +  2D+ A + =A02+C D+  2 , b2=A− 2 .R =  С2     А х С А х С х С 2 − Ax2 ++ Ay22D =R С + = 0 +2D2 22 2 А х С A K   A A y K A x D y C  =  K = 0ько же вычитаем, чтобы2 уравнение не= yС 2D y + – это точка с координатами2 C 2   DСx = − 2 С, y 2A y D А+ 2    + +  А х С  =  2 Добавляем недостающие a22А ,()2 R +   −   авляем недостающие a2,2 b2 (столько же D y D2A А A С 2x = −2 , C А0  +  +    + С 22А = RА−Здесь+ = 022 D2 22 A A y K A x D y C + +y D + 2A 2 =  = 2 2 D2у y 2  + +    А х С   2 C  2= − 2 .D22 2 x 22 2  +  +  A2    +  + A y D А х С     2   A 2 + xD++А =0RAby 0b D (столь е не изменилось):)2 () 2 R = 0 2 ()2x авнение эллипса, воспользу ы эллипса F2    +  +   −     А х С   2A2 2 22 2 С  +остающие a2, b2 (столькоD А2  R+ += +2    =    −  + + 2 яний каждой ть велиС2 22 KK = 0 ,222АxA y D2K (−c, 0),2Аy  A A y K A x D y C  = 022А y D + + =A0  +  −     A 2 R =  = x2 −=A 2 22A 0 2y Dy D2+ +2А 2A2 C 2 x +      +  +          A x C   A K  +  +  в правой части мая; если э А х С х С 22А, 2 + 2А2 2+ C2A у DС АD   =    а координат. тавим        −   А х С     −  2   + A D y   + 2 2 D −  2A 22А 22А 22 D A(2K  +     = − 2 , Элл  =         +   +  +   +   A y D  + =  A C 2С     −    =   −   ружность мнима денная, т. е. A y D  =  2+ +С++ A +2 y D x + () , b2R А   А х С х С 2 A C =  =  = 2 . 22278 +22А  =  A K     A A y K A x D y C  −    −  2 = R 20. + 2D2 А 2 Здесь  + +    +  +   +   A x C   =  =  = 2 . x = − 2 ,2y= − 2 .D2 2 А х С х С     A y D +  у D+2А 2x + +  + +   +        +  +  А х С х С  +  +     −     =      2 уравнение не изменилось):2А y D+ =2A + Cx2 + DxА +2 K = 0 Cx2 + +С A22А А02А А х С  −     2 (x a)A+= x + R =+0. . R =  С 02 C22 2y 2+ =Cx D (y Ab)2 = + 2by bAD+ = А Добавляем недостающие a2, b2 (сто 2+2 А х С х С x + + 2 22А 2 C ()2 x + C А х С х С A C  −   (   2A ) = +22by bA 2 + 22 ,  −   2 x2 + ++  2А2  +  +   +  +  A A y K A x D y C  +   A A y K A x D y C A A y K A x D y C   2 (x a)A 2  =      () () 2 2 A+ +y2 2 D y +   А х С   22x + 2А + +2А ,20xa a2 22A = − 2 ,y K  −   () () 2 2 А х С       2A 2A  2,С 2A A  −   2x + + D Добавляем недостающие a2 2 A K A K  =   −    A K A K A A y K A x D y C 2     ,А у Dу D+ =20+x2by b D (стольк у D  222A y DA y Dx+ 2A R Если в правой2АА2  + =  A A y K A x D y C + 2 2  + =   +  +   =   −  A K  −   20  =     −   2 R  =    y+ D=2 =Добавляем недостающие a2, b2 ( (y b+x 2 + +Ay x + 2byx + b2 y 22 D yR++ = 22A 2  −    + +  Здесь2 у D 2А+ + + R= = 2А x 2 2 Ax + Ay2 D = + .2xa a=  алгебраическими формулами , b2 2  + +   +  +  2A 2 2 Ay + Cx + Dx + K = 0K С  x x+ +D222D + + +0 2A Ax22у D2D 2+ − 20 D2y − D  + +    2D+ 2 А+y DA y DC −     A K 2 D()2 С 2()2 ()2 20С + = 0  + =    A K   A K  +   0 – это точка с координат22 + = − 2 .C()2+ y С+ + = 0D 2 + 2xa + a2C 02; (y + b)2 + 22 = y2 + 2by + bA y xA= − 2 ,x + +2А 2 C С y+ +   .изменилось): 2A C2A  ;+. D=  = А+у D 2+ 2 , 22 22 2AR +2уравнение не изменилось):. 2А;. 2 y 2 2A 2xAДобавляем недостающие a2 22A D  2 ( А х С   2 + + + = x yC+ Cx R .D  A A y K A x D y C x + +22  2 A A y K A x D y C 2 2 + у D + 2+ + А х С х С 22A y DAx By Cx Dy K , +y +b)02 x + Ay +().2 () () A канонический вид методом выделения 22 Общее уравнение окружности не содержит произведения координат: 0 +b) динат, уравнение упрощается: x + = . Cx Dy K 0 2 = + 2by b . жит произведения координат: + + =0KyD ический вид методом вывавшись алгебраическими бщее уравнение окружности не содержит произведения координат: 0 произведения координат: Dy + =0K , ) A A y K A x D y C кими формулами 2 2 = + 2by b . 2 нат, уравнение упрощается: x + = . + 2 , точке С2 (x0, y0) (рис22. 3.13). В частности, если центром является нача2у D ий вид методом выделения +   A A y K A x D y C   полного квадрата, воспользовавшись алгебраическими формулами 2 = y2 + 2by + b2+ =, b2 +   A y D x2 + + + = 0+   полного квадрата, воспользовавшись алгебраическими формулами 2 где А = В. Из него легко можно получить канонический вид методом выдел 2by b D (столько же вычитаем, чтобы + = 0   ми формулами 2 A x C A x C A y D y деления полного квадрата, воспользовавшись алгебраиче формулами (x + a)2 + Из него легко можно получить канонический вид+ методом 2+ + + = (R =  =  = 2 . 222by b D + =  =  ++ = 2 + y D2+ + Cx + Dx + K = 0+R= + 2by b .2А 2 A A y K A x D y C A a a C ax C + . + =+  . 02.      22Аx a+ + (x a2)+AA.x By Cx Dy K ,+ +y b) Здесь A y D2A; 2  + +  А х С  −   Cx D2А y K 02; (y + b)2 = y2 + 2by2 + b2 D  0 2 x0= − 2 , y −= 2 у D2      =   +   2    −    =   + +    A 78 Здесь22 +С y+А x Rby b D 22A 2 A K  + +  A a a C ax C A a a C ax C 2 C ()22RА       2 D2А K D  =            А2y А−= у    −   x 2A + C +  + А х С   2    +  C  +   х С     +  А х С  +    +   А х С  −   С =  2А 2 2A22А, 2 A A y K A x D y C  +2 A  + =   −    x = − x2 ,+ y x + А2 A 2( 2 A y D22A 2 D2 D2( A K 2A     А х С A y D A K А х С х С    −    +  +  2   А  х С  А х С х С 2 2       +    +  2         2    +      +           −     2А 2    +  +  2    −   0 =  =  + ++  2 + 2A 2 A C А х С х С A C A y A x D y C   A A x D y C 2A y D    −       −   +     =     х С    () 2 2   y = − 2 .2А2+ x = −22 ,D + 2+  x22 ++  2 2 , b2 А х С х С   2 D      A x C   A x C A y D  + =   +   y = − 2 . =  =  = 2 .   A A y K A x D y C A a a C ax C 2by b D 22by +bA++ 7 D    +   A y K A x D y C  + +    A y A x D y C + A + =22 2 2 + хА х С  −  A K А  х С  A   =  =  = 2 . A K 2 А2   2 A a a C ax C + + + = 02А+ = 0 2А , 2 2А− 2D A A y K A x D y C  −    −    2 2 0 +       A K A K  −  A K    −     A K      −   С  + = 0 22,С + =  = 2 2A  +  +   −    −     2 2А x+ + + = (2 2А2,+ = 22 + 2xa2 + a2 Здесь2xa a++ +  x Ax2 ++ Ay2 Здесь   2  =  2  + =   −   2  + =    A x C A K   A x C A y D А х С х С A y D    +   A K С  2А 2А =  = + A x D y C =  = 2 A y A x D y C 2+2    + =   −  2 A K A a ax C A K C A A y K A x D y C A y A x D y C + +by b D+ 2 =  =  2 2 = + 2by +b . .  −   A a ax C 2 y y   2А +   D 2А 2 + +  + =   Ax Ay Cx Dy K2 2 2 2  =  =0  2 x + + Cy х2 + С  +   2 A K   A y C 22 + 2D   , де А = В. Из него легко можно получить канонический вид методом выд 2= + 2xa a ; 2 R2+ y y− 0) 2 вид методом выделения . ке( С (x0, y0) (рис. 3.13). В частности, если центром являетс Из2 него легко можно получить кано y R x + K = 0сли центром является нача-++ 2 + .y + = 0K Общее уравнение окружности не содержит про 2 + (y y− 0) центромx является нача+окружности радиуса + = 0Kинат;, уравнение упрощается:+ = 0 2 R = CM  2R + 2by + b2 2 . щее уравнение окружности не содx2 y+ a + a2; (y + b)2 + y я координат:(y +b)2 a 2 2+ –каноническое уравнение+ окружности= 0 2 +Ax By Cx Dy K ,= 0 xполного квадрата2, воспользовавшись ++ = . 0. + x + + 2 A A y K A x D y C 2 =  = 2 A + =A0x + Ay + = + + = x2(y b2+А 2 + 2А =  =  = 2 . A a a C ax C А х С х С A 2 A, 2y R 2 2А2x a   полного квадрата, воспользовавшись алгебраиче 2 –каноническое уравнение окружности радиуса 2+ где А = В. Из него легко можно получить ка 2 + + + = 0 где А = В. Из него легко можно п A A y K A x D y C + = y2 с= CM 2 деления полного квадрата, воспользовавши формулами (x + a)2 Ax By Cx Dy K , 2 2 (x a)  22 + ( + )2  + +  x 2 2= + 2xa a +  x 22A y D ; 2  2 + 2 + 2xa + a2; (y + b)2+ ) = + 2 2    −     A x y C  −   = y2+ y2 2   2А + + ( by + )2 С  A A y K A x D y C , 2 = + 2by b . 2, . ат;, уравнение упрощаетс ужности радиуса 2 очке С (x0, y0) (рис.2 3.13) R = CM  R с= CM ть каноническ оспользовавшись алг ординат: яется нача-гебраическими фОбще –ка (y b+ )2 е( С (x0, y0) + y y− 0) анониче браи иуса R с 2 ся нало ко = + y 2 Министерство образования и науки Российской Федерации Тольяттинский государственный университет Институт математики, физики и информационных технологий Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Координатные плоскости – плоскости симметрии, начало координат – центр симметрии. При сечении плоскостями z = h (|h| ≥ c) образуются эллипсы a x 2 2 + b y 2 2 = − c h 2 1 2 О.А. Кузнецова С.Ш. Палфёрова с полуосями ak и bk, где k = c h 2 1 2 − , которые неограниченно возрастают при h→ ∞. При |h| = c эллипс вырождается в точку – вершину гиперболоида, лежащую на оси Oz. Плоскости x = h и y = h пересекают гиперболоид по гиперболам. Если полуоси a и b равны, то он называется гиперболоидом ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ вращения и получается при вращении вокруг оси Oz гиперболы 1 a x 2 2 − = − c z 2 2 АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Электронное учебно-методическое пособие . 4. Конус (рис. 36) оси конуса. Координатные плоскости – плоскости симметрии, на© ФГБОУ ВПО «Тольяттинский Рис. 3.25 + a x 2 2 b y 2 2 − = c z 2 0 2 – каноническое уравнение, где a, b, c – полугосударственный университет», 2014 Рис. 36

Стр.1

+  ++ ()2+ +20 2D 2 2у D 2 y D  R+ =2AС 2A 2 A C А х С х С =АR22A С y+ + 2 +  С   +  A x y D =  + C 22А+  2 222A  −     С 2 А22 =  = 2Здесь x + +yy D   −   С  +  +Cy D2C2 2D2by b D2 20 . 2A2 Dx + + 2A +2А= R + +    +         A x C = − 22A, y C2A 2A   + A y D () () 2 2 () () 2 2  =        K = 0 x 2x + 2А + + 2R+ D +  2 , Добавляем недостающие2 a2, b2 (столько ж = 0 A2by b DyA=2− 2 А.изменилось):2А 2A y D2 + A x C ти получили число отрицательное, то окисло равно нулю, окружность вырожА х С     ющие a2= − 2 , (столько же вычитаем, чтобы 2R D=  С +  A+ = 0 у Dy D 22 2А x +2 =  =  = 2 . 2  + =  2A 2 A A y K A x D y C =  =A + 2 A A y K C x D a2,+ b2 (столько же вычитаем, чтобы уравнение2y не+ + С х С   +  +  A a a C ax C RC2A y + D 2A CAx Ay Cx Dy K 0 . + = 02АA ружность мнимая; если это число равно нулю, окружность вырож денная, т. е. 2 C ()2 Cx++ + = А20KyD+ + + D y D2()2 ()2 ()2 y + = + + =  2x2 + ) = += − 2 .D +  x А 222А C x + Dx + K = 0 2 A =  2 А х С   ающие a2, b2 (столько же вычитаем, чтобы уравнение0 не R 2А20  щие a2, b2 (столько же вычитаем Здесь, чтобы уравнение не22 = R y D+ + = 0KyD =  =  + +2А +  А х С х С лось): +  у D 2 A A y K A x D C 2 Здесь R 2 2 2 + A =+02xa a+ ;, b2 R2 yющие a2x + + 2xa + a2 С  2A D  = y22C 2 22 А х С   А х С y2А 2 xА() С А2A()2 2() 2 2 y  −   =  =  = 2 .  + +   +  +  2 D+ 2 Если в правой части получили число отрицательное, то окCAx− + Ay D02А x 0 22изменилось):A A 22A y D А у D  +− 2A 2 D  −   A a a C ax C      −  A K A A y K A x D y C 2А2x + ++  22 R = C2 22 y 2 D  +  +  2А y D 2 + y D22 +2+ = 0x 22+ ++ 2 2АD+     2=  С 2 2by b D (столько же вычитаем, чтобы0 сь С  2А +y b) = + 2by b . xИз+ него легко можно получить канонический вид методоby b 222  = А++ =A2+ +2А 22A 222 A A y K A x D y C ата, воспользовавшись алгебраическими2А22A 2 y D2 ,2 +А2+ 2А Dолучить канонический вид методом вы- y D  22 2by b D A a a C ax C шись алгебраическими формулами 2 A y Dx+ +  ): 2 + 2 + A ()20 A  =  = 2 . 2полного квадрата+, воспользовавши. ; (y + b)2 y D+ + +22  =  = 2 .  +  +  полного квадрата, воспользовавшись алгебраическими формулами 2 А х С яем недостающие a2, b2 (столько2 же вычитаем, чтобы уравнение не2 2С  ь алгебраическими формулами a a 2+ ; не изменилось): x 2 + недостающие a2, b2 (столько2 же вычитаем, чтобы уравнение не2 С x22 м недостающие a2 0 A A y K x D + b)2+ 2 + y + x + 2 + +y b С y2 2 где А = В. Из него легко можно получить канонический вид методом выд + yRЗдесь y ить канонический вид методом выделения + D  A+(+ =) 0 = +22xa a 2;А 2А 2 A a a C C где А = В. Из него легко можно получить канонический вид методом выделе +  2          =    A K A C = − 2 Здесь,2A y D + 22 + 2 2 изменилось):  + =  y D 2 02A2D  2  +   2 R D.+= − 2 . Добавляем2 недостающие a2, b2 (столько+ же в 2AD + A+−А + 2 , + + +А =   А+ D 2      + +  деления полного квадрата, воспользовавшись алгебраич формулами (x + a)2    + +С  +A y D22A2  +2 y D  2   А х С   А х С х С пс – это множество точек (х, у), сумма расстояни двух данных точек, называемых фокусами равная 2а.  С А22 у D A y D2A+ 2 +  2D+ A + =A02+C D+  2 , b2=A− 2 .R =  С2     А х С А х С х С 2 − Ax2 ++ Ay22D =R С + = 0 +2D2 22 2 А х С A K   A A y K A x D y C  =  K = 0ько же вычитаем, чтобы2 уравнение не= yС 2D y + – это точка с координатами2 C 2   DСx = − 2 С, y 2A y D А+ 2    + +  А х С  =  2 Добавляем недостающие a22А ,()2 R +   −   авляем недостающие a2,2 b2 (столько же D y D2A А A С 2x = −2 , C А0  +  +    + С 22А = RА−Здесь+ = 022 D2 22 A A y K A x D y C + +y D + 2A 2 =  = 2 2 D2у y 2  + +    А х С   2 C  2= − 2 .D22 2 x 22 2  +  +  A2    +  + A y D А х С     2   A 2 + xD++А =0RAby 0b D (столь е не изменилось):)2 () 2 R = 0 2 ()2x авнение эллипса, воспользу ы эллипса F2    +  +   −     А х С   2A2 2 22 2 С  +остающие a2, b2 (столькоD А2  R+ += +2    =    −  + + 2 яний каждой ть велиС2 22 KK = 0 ,222АxA y D2K (−c, 0),2Аy  A A y K A x D y C  = 022А y D + + =A0  +  −     A 2 R =  = x2 −=A 2 22A 0 2y Dy D2+ +2А 2A2 C 2 x +      +  +          A x C   A K  +  +  в правой части мая; если э А х С х С 22А, 2 + 2А2 2+ C2A у DС АD   =    а координат. тавим        −   А х С     −  2   + A D y   + 2 2 D −  2A 22А 22А 22 D A(2K  +     = − 2 , Элл  =         +   +  +   +   A y D  + =  A C 2С     −    =   −   ружность мнима денная, т. е. A y D  =  2+ +С++ A +2 y D x + () , b2R А   А х С х С 2 A C =  =  = 2 . 22278 +22А  =  A K     A A y K A x D y C  −    −  2 = R 20. + 2D2 А 2 Здесь  + +    +  +   +   A x C   =  =  = 2 . x = − 2 ,2y= − 2 .D2 2 А х С х С     A y D +  у D+2А 2x + +  + +   +        +  +  А х С х С  +  +     −     =      2 уравнение не изменилось):2А y D+ =2A + Cx2 + DxА +2 K = 0 Cx2 + +С A22А А02А А х С  −     2 (x a)A+= x + R =+0. . R =  С 02 C22 2y 2+ =Cx D (y Ab)2 = + 2by bAD+ = А Добавляем недостающие a2, b2 (сто 2+2 А х С х С x + + 2 22А 2 C ()2 x + C А х С х С A C  −   (   2A ) = +22by bA 2 + 22 ,  −   2 x2 + ++  2А2  +  +   +  +  A A y K A x D y C  +   A A y K A x D y C A A y K A x D y C   2 (x a)A 2  =      () () 2 2 A+ +y2 2 D y +   А х С   22x + 2А + +2А ,20xa a2 22A = − 2 ,y K  −   () () 2 2 А х С       2A 2A  2,С 2A A  −   2x + + D Добавляем недостающие a2 2 A K A K  =   −    A K A K A A y K A x D y C 2     ,А у Dу D+ =20+x2by b D (стольк у D  222A y DA y Dx+ 2A R Если в правой2АА2  + =  A A y K A x D y C + 2 2  + =   +  +   =   −  A K  −   20  =     −   2 R  =    y+ D=2 =Добавляем недостающие a2, b2 ( (y b+x 2 + +Ay x + 2byx + b2 y 22 D yR++ = 22A 2  −    + +  Здесь2 у D 2А+ + + R= = 2А x 2 2 Ax + Ay2 D = + .2xa a=  алгебраическими формулами , b2 2  + +   +  +  2A 2 2 Ay + Cx + Dx + K = 0K С  x x+ +D222D + + +0 2A Ax22у D2D 2+ − 20 D2y − D  + +    2D+ 2 А+y DA y DC −     A K 2 D()2 С 2()2 ()2 20С + = 0  + =    A K   A K  +   0 – это точка с координат22 + = − 2 .C()2+ y С+ + = 0D 2 + 2xa + a2C 02; (y + b)2 + 22 = y2 + 2by + bA y xA= − 2 ,x + +2А 2 C С y+ +   .изменилось): 2A C2A  ;+. D=  = А+у D 2+ 2 , 22 22 2AR +2уравнение не изменилось):. 2А;. 2 y 2 2A 2xAДобавляем недостающие a2 22A D  2 ( А х С   2 + + + = x yC+ Cx R .D  A A y K A x D y C x + +22  2 A A y K A x D y C 2 2 + у D + 2+ + А х С х С 22A y DAx By Cx Dy K , +y +b)02 x + Ay +().2 () () A канонический вид методом выделения 22 Общее уравнение окружности не содержит произведения координат: 0 +b) динат, уравнение упрощается: x + = . Cx Dy K 0 2 = + 2by b . жит произведения координат: + + =0KyD ический вид методом вывавшись алгебраическими бщее уравнение окружности не содержит произведения координат: 0 произведения координат: Dy + =0K , ) A A y K A x D y C кими формулами 2 2 = + 2by b . 2 нат, уравнение упрощается: x + = . + 2 , точке С2 (x0, y0) (рис22. 3.13). В частности, если центром является нача2у D ий вид методом выделения +   A A y K A x D y C   полного квадрата, воспользовавшись алгебраическими формулами 2 = y2 + 2by + b2+ =, b2 +   A y D x2 + + + = 0+   полного квадрата, воспользовавшись алгебраическими формулами 2 где А = В. Из него легко можно получить канонический вид методом выдел 2by b D (столько же вычитаем, чтобы + = 0   ми формулами 2 A x C A x C A y D y деления полного квадрата, воспользовавшись алгебраиче формулами (x + a)2 + Из него легко можно получить канонический вид+ методом 2+ + + = (R =  =  = 2 . 222by b D + =  =  ++ = 2 + y D2+ + Cx + Dx + K = 0+R= + 2by b .2А 2 A A y K A x D y C A a a C ax C + . + =+  . 02.      22Аx a+ + (x a2)+AA.x By Cx Dy K ,+ +y b) Здесь A y D2A; 2  + +  А х С  −   Cx D2А y K 02; (y + b)2 = y2 + 2by2 + b2 D  0 2 x0= − 2 , y −= 2 у D2      =   +   2    −    =   + +    A 78 Здесь22 +С y+А x Rby b D 22A 2 A K  + +  A a a C ax C A a a C ax C 2 C ()22RА       2 D2А K D  =            А2y А−= у    −   x 2A + C +  + А х С   2    +  C  +   х С     +  А х С  +    +   А х С  −   С =  2А 2 2A22А, 2 A A y K A x D y C  +2 A  + =   −    x = − x2 ,+ y x + А2 A 2( 2 A y D22A 2 D2 D2( A K 2A     А х С A y D A K А х С х С    −    +  +  2   А  х С  А х С х С 2 2       +    +  2         2    +      +           −     2А 2    +  +  2    −   0 =  =  + ++  2 + 2A 2 A C А х С х С A C A y A x D y C   A A x D y C 2A y D    −       −   +     =     х С    () 2 2   y = − 2 .2А2+ x = −22 ,D + 2+  x22 ++  2 2 , b2 А х С х С   2 D      A x C   A x C A y D  + =   +   y = − 2 . =  =  = 2 .   A A y K A x D y C A a a C ax C 2by b D 22by +bA++ 7 D    +   A y K A x D y C  + +    A y A x D y C + A + =22 2 2 + хА х С  −  A K А  х С  A   =  =  = 2 . A K 2 А2   2 A a a C ax C + + + = 02А+ = 0 2А , 2 2А− 2D A A y K A x D y C  −    −    2 2 0 +       A K A K  −  A K    −     A K      −   С  + = 0 22,С + =  = 2 2A  +  +   −    −     2 2А x+ + + = (2 2А2,+ = 22 + 2xa2 + a2 Здесь2xa a++ +  x Ax2 ++ Ay2 Здесь   2  =  2  + =   −   2  + =    A x C A K   A x C A y D А х С х С A y D    +   A K С  2А 2А =  = + A x D y C =  = 2 A y A x D y C 2+2    + =   −  2 A K A a ax C A K C A A y K A x D y C A y A x D y C + +by b D+ 2 =  =  2 2 = + 2by +b . .  −   A a ax C 2 y y   2А +   D 2А 2 + +  + =   Ax Ay Cx Dy K2 2 2 2  =  =0  2 x + + Cy х2 + С  +   2 A K   A y C 22 + 2D   , де А = В. Из него легко можно получить канонический вид методом выд 2= + 2xa a ; 2 R2+ y y− 0) 2 вид методом выделения . ке( С (x0, y0) (рис. 3.13). В частности, если центром являетс Из2 него легко можно получить кано y R x + K = 0сли центром является нача-++ 2 + .y + = 0K Общее уравнение окружности не содержит про 2 + (y y− 0) центромx является нача+окружности радиуса + = 0Kинат;, уравнение упрощается:+ = 0 2 R = CM  2R + 2by + b2 2 . щее уравнение окружности не содx2 y+ a + a2; (y + b)2 + y я координат:(y +b)2 a 2 2+ –каноническое уравнение+ окружности= 0 2 +Ax By Cx Dy K ,= 0 xполного квадрата2, воспользовавшись ++ = . 0. + x + + 2 A A y K A x D y C 2 =  = 2 A + =A0x + Ay + = + + = x2(y b2+А 2 + 2А =  =  = 2 . A a a C ax C А х С х С A 2 A, 2y R 2 2А2x a   полного квадрата, воспользовавшись алгебраиче 2 –каноническое уравнение окружности радиуса 2+ где А = В. Из него легко можно получить ка 2 + + + = 0 где А = В. Из него легко можно п A A y K A x D y C + = y2 с= CM 2 деления полного квадрата, воспользовавши формулами (x + a)2 Ax By Cx Dy K , 2 2 (x a)  22 + ( + )2  + +  x 2 2= + 2xa a +  x 22A y D ; 2  2 + 2 + 2xa + a2; (y + b)2+ ) = + 2 2    −     A x y C  −   = y2+ y2 2   2А + + ( by + )2 С  A A y K A x D y C , 2 = + 2by b . 2, . ат;, уравнение упрощаетс ужности радиуса 2 очке С (x0, y0) (рис.2 3.13) R = CM  R с= CM ть каноническ оспользовавшись алг ординат: яется нача-гебраическими фОбще –ка (y b+ )2 е( С (x0, y0) + y y− 0) анониче браи иуса R с 2 ся нало ко = + y 2 УДК 512.64:514.74(075.8) ББК 22.143:22.151.5я73 Рецензенты: д-р пед. наук, профессор Волжского университета им. В.Н. Татищева А.В. Козлов; д-р техн. наук, профессор Тольяттинского государственного университета П.Ф. Зибров. Кузнецова, О.А. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии : электронное учеб.-метод. пособие / О.А. Кузнецова, С.Ш. Палфёрова. – Тольятти : Изд-во ТГУ, 2014. – 162 с. : 1 оптический диск. Электронное учебно-методическое пособие содержит руководство по изучению дисциплины, сведения основных разделов линейной алгебры и аналитической геометрии. Рассмотрены примеры решения различных задач по темам разделов, приведены материалы для диагностики знаний, включены контрольные вопросы. Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 080100.62 «Экономика», изучающих дисциплину «Линейная алгебра», очной или заочной форм обучения. Текстовое электронное издание Минимальные системные требования: IBM РС-совместимый компьютер: Windows XP/Vista/7/8; 500 МГц или эквивалент; 128 Мб ОЗУ; SVGA; Adobe Reader. Номер государственной регистрации электронного издания © ФГБОУ ВПО «Тольяттинский государственный университет», 2014

Стр.2

Cодержание Введение.............................................................................................6 1. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.........................12 1.1. Матрицы и действия над ними...........................................12 1.2. Определители. Обратная матрица......................................17 1.3. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений..................22 1.4. Исследование систем линейных уравнений......................26 1.5. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений..................................31 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА....................................................34 2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами......34 2.2. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов...............................................................................44 2.3. Линейные пространства......................................................50 2.4. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Квадратичные формы...........................55 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ............................60 3.1. Декартова прямоугольная и полярная системы координат на плоскости.......................................60 3.2. Прямая линия на плоскости................................................63 3.3. Кривые второго порядка.....................................................71 3.4. Плоскость и прямая в пространстве....................................78 3.5. Поверхности второго порядка. Исследование их геометрических свойств по каноническим уравнениям..........................................................................82 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА..............................................................90 4.1. Определение комплексных чисел и основные операции над ними.............................................................90 4.2. Геометрическое изображение комплексных чисел............91 4

Стр.4

4.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.............................................92 4.4. Показательная функция с комплексным показателем. Формула Эйлера..................................................................93 5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.....................................96 5.1. Матрицы. Определители. Системы линейных алгебраических уравнений..................................................96 5.2. Элементы векторной алгебры. Линейные пространства....................................................112 5.3. Элементы аналитической геометрии................................118 5.4. Комплексные числа............................................................135 Тесты...............................................................................................138 Контрольные вопросы....................................................................148 Задания для самостоятельной работы............................................150 Библиографический список...........................................................162 5

Стр.5