Центральное место в первой
главе занимает правило множителей Лагранжа. <...> Завершают главу теоремы об
очистке и теорема Хелли. <...> В частности,
устанавливается негладкий относительный вариант теоремы о перевале. <...> Существенную роль здесь играет понятие рода множества, введённое моим научным руководителем – профессором М. А. Красносельским. <...> Изучаются числовые характеристики
5
компактных подмножеств конечномерного пространства – радиус Чебышёва и
диаметр множества. <...> Вводится понятие ширины выпуклого компакта как функции направления, устанавливаются свойства этой функции. <...> Несколько разделов третьей главы посвящёно задачам кусочно-линейной оптимизации
(КЛиО). <...> Основные приложения: приближения функций в метрике Чебышёва
(дискретный и непрерывный варианты); задача о максимальном овалоиде, содержащемся в полиэдре; проблемы матричных игр и близкая к ним задача о
существовании седловой точки у выпукло-вогнутой функции. <...> Климов В. С., доктор физико-математических наук
6
Основные обозначения:
A¯ − замыкание множества A <...> A − внутренность множества A
∂A − граница множества A
A × B − декартово произведение множеств А и В
∅ − пустое множество
def
= − равно по определению
R − множество всех действительных чисел
RN − евклидово пространство размерности N
|x| − длина (евклидова норма) вектора x
(x, y) − скалярное произведение векторов x, y
B − замкнутый шар радиуса 1 с центром в нуле
B(z, r) − замкнутый шар радиуса r c центром в точке z
∇ − оператор градиента
s(·, A) − опорная функция множества A
TA (x) − касательный конус к множеству А в точке x
NA (x) − нормальный конус к множеству А в точке x
KA (x) − конус гиперкасательных к множеству А в точке x
%(x, A) − расстояние точки x до множества A <...> (Q) − cовокупность липшицевых функций на множестве Q
Λloc (Q) − совокупность локально липшицевых функций, определённых на множестве Q
P (RN ) − совокупность сублинейных функций на пространстве RN
f 0 (x; v) − производная функцииf по направлению v ∈ RN
f ◦ (x; v) − производная <...>
Дополнительные_главы_математического_анализа_учебное_пособие.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
В. С. Климов
Дополнительные главы
математического анализа
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по направлению
Математика и компьютерные науки
Ярославль
ЯрГУ
2013
Стр.1
УДК 517(075.8)
ББК В16я73
К49
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2013 года
Рецензенты:
кафедра высшей математики ЯГТУ;
доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой
математического анализа ЯГПУ Е.И. Смирнов
К 49
Климов, Владимир Степанович.
Дополнительные главы математического анализа: учебное пособие /
В. С. Климов ; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. — Ярославль : ЯрГУ,
2013. — 128 c.
ISBN 978-5-8397-0970-6
Предназначено для студентов университетов, обучающихся по направлению
010200.62 Математика и компьютерные науки (дисциплина «Дополнительные
главы математического анализа», цикл Б3), очной формы обучения.
УДК 517(075.8)
ББК В16я73
ISBN 978-5-8387-0970-6
-ЯрГУ, 2013
c
Стр.2
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Критические точки
7
1.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Регулярные и критические точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Правило множителей Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Теоремы об очистке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Минимаксные критические значения
39
2.1 Аппроксимации многозначных отображений . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Понижающие деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Минимаксный принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Критические точки чётных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 Собственные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6 Дополнения, задачи и замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Экстремальные задачи
70
3.1 Минимальный охватывающий шар . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2 Линейная оптимизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 Кусочно-линейная оптимизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 Теоремы о минимаксе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5 Ширина множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6 Оптимальные проекции многогранников . . . . . . . . . . . . . . . 106
A Задачи по выпуклому анализу
B Теоремы о доминировании
112
116
C Индивидуальные задания по теме ”Кусочно-линейная оптимизация“
122
3
Стр.3