Предисловие Настоящее учебное пособие написано в результате многолетнего преподавания автором курса высшей математики в КГТУ для студентов экономических специальностей, и охватывает следующие разделы программы по математике: элементы линейной и векторной алгебры с их приложением в экономике, линейное программирование, включая транспортные задачи, целочисленное программирование и теорию матричных игр. <...> Если число строк равно числу столбцов, т.е. m =n , то матрица называется квадратной матрицей порядка n. <...> 3 0 19 2 Эквивалентные матрицы имеют равные ранги, и ранг матрицы обычно находят методом Жордана – Гаусса, который заключается в приведении матрицы к ступенчатому виду (см. решение примера 1.11), а ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых диагональных элементов. <...> Понятие обратной матрицы и ее вычисление Пусть A (a ) , i j, =1 n, = ij - квадратная матрица n-го порядка. <...> Поскольку |A| = 5, то матрица A – невырожденная и, следовательно, для нее существует обратная матрица. <...> Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы Этот метод решения системы (1.2) (или (2.3)), называемый еще матричным методом, применим, если матрица системы является невырожденной, т.е. ∆ = |A| ≠ 0. <...> Решение системы (2.1), в котором все свободные переменные равны нулю, называется базисным решением. <...> Преобразование Жордана Переменная xi системы (2.1) называется разрешенной, если она содержится в некотором из ее уравнений с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы не входит. <...> Запасы станков, произведенных заводами, потребности фабрик в станках, а также стоимость их перевозки к потребителям известны и приведены в таблице 2.4. <...> Заводы 1 2 Потребность фабрик Потребители и стоимость перевозки П1 8 10 120 П2 12 15 180 Запасы заводов 130 170 300 щие балансовые соотношения запишутся в виде системы пяти уравнений с четырьмя неизвестными: 11 x Эта система переопределенная (число уравнений больше числа неизвестных), однако первые четыре <...>
Практикум_по_линейной_алгебре_и_линейному_программированию._Учебное_пособие.pdf
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Казанский государственный технологический университет»
Р.Ш.Хуснутдинов
ПРАКТИКУМ
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
И ЛИНЕЙНОМУ ПРОГРАММИРОВАНИЮ
Учебное пособие
Казань
КГТУ
2009
Стр.1
УДК 517
ББК 22.1
Практикум по линейной алгебре и линейному программированию.
Учебное пособие/ Хуснутдинов Р.Ш., Казань: КГТУ, 2009, 271с.
Приведены необходимые теоретические сведения и формулы,
даны решения типовых задач, приведены задачи для упражнений с
пояснениями и ответами, а также варианты контрольных работ и расчетных
заданий.
Предназначено для бакалавров, специалистов, аспирантов и
преподавателей специальностей социально-экономического профиля,
а также для лиц, использующих экономико-математические методы в
практической работе.
(Индекс учебной дисциплины – ЕН.1математика)
Подготовлено на кафедре высшей математики КГТУ.
Печатается по решению учебно-редакционного совета Казанского
государственного технологического университета.
Рецензенты: зав. кафедрой математического анализа ТГГПУ,
д.ф.-м.н., профессор Мухлисов Ф.Г.
профессор каф. высшей математики КГАСУ,
Семенов И.П.
Стр.2
Оглавление
Предисловие ________________________________________
1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ _______________________
1.1. Матрицы. Действия над матрицами ______________________
3
5
5
1.2. Транспонирование матриц ______________________________ 11
1.3. Определители. Теорема Лапласа. Основные свойства
определителей ___________________________________________ 13
1.4. Элементарные преобразования матриц.
Эквивалентные матрицы. Ранг матрицы _____________________ 18
1.5. Понятие обратной матрицы и ее вычисление _____________ 20
Задачи и упражнения _______________________________ 22
2. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ ____________________________________________ 29
2.1. Основные определения __________________________________29
2.2. Решение системы линейных алгебраических уравнений
методом Крамера __________________________________________ 31
2.3. Решение систем линейных уравнений методом обратной
матрицы ________________________________________________ 32
2.4. Решение систем уравнений методом Гаусса _______________ 33
2.5. Разрешенные системы. Преобразование Жордана __________ 37
2.6. Приложение систем линейных уравнений к решению
экономических задач ______________________________________ 40
2.7. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики ____________ 43
268
Стр.268
2.8. Решение однородной системы линейных уравнений ________
47
2.9. Экономико-математическая модель линейного обмена ______ 50
Задачи и упражнения _____________________________________ 51
Варианты контрольной работы по темам: «Матрицы
и определители. Система линейных алгебраических
уравнений» ______________________________________________ 55
3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ____ 59
3.1.Векторы в пространстве _________________________________ 59
10. Основные определения __________________________________ 59
20. Координаты вектора. Длина вектора. Направляющие косинусы
вектора __________________________________________________ 60
3◦. Арифметические операции над векторами __________________ 62
4◦ Деление отрезка в данном отношении.______________________ 65
Задачи и упражнения _____________________________________ 68
5◦. Скалярное произведение двух векторов и его приложение в
геометрии и механике _____________________________________ 74
Задачи и упражнения ________________________________ 78
6◦. Векторное произведение двух векторов ___________________ 82
Задачи и упражнения _______________________________ 86
7◦. Смешанное (векторно-скалярное) произведение векторов ____ 88
Задачи и упражнения _______________________________ 91
4. НЕКОТОРЫЕ ОБЪЕКТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ n
И ИХ СВОЙСТВА ______________________________________ 94
4.1. Прямая и плоскость в пространстве n _________________ 94
269
Стр.269
4.2. Выпуклые множества и многогранники n ______________ 95
4.3. Линейные формы (функционалы) в n-мерных
пространствах __________________________________________ 100
4.4. Преобразование линейной формы при переходе к другому
опорному решению ______________________________________ 101
Задачи и упражнения _______________________________ 104
5. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ _________________ 105
5.1. Общая задача линейного программирования ______________ 105
5.2. Исследование системы ограничений ____________________
106
5.3. Упрощенная схема симплексного метода решения ЗЛП _____ 112
5.4. Симплексный метод решения ЗЛП ______________________ 120
5.5. Геометрические методы решения ЗЛП __________________
128
Задачи и упражнения __________________________________ 133
5.6. Метод искусственного базиса __________________________ 137
5.7. Алгоритм метода искусственного базиса _________________ 139
Задачи и упражнения _______________________________ 145
6. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ______________________ 148
6.1. Двойственные задачи. Общие правила составления двойственной
задачи __________________________________________ 148
6.2. Теоремы двойственности ______________________________ 153
Задачи и упражнения _______________________________ 161
7. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА _____________________ 164
7.1. Постановка задачи. Математическая модель
транспортной задачи. Основные теоремы ___________________ 164
270
Стр.270
7.2. Опорное решение транспортной задачи и переход от
одного решения к другому. Распределительный метод
в транспортной задаче ______________________________ _____ 173
7.3. Построение начального опорного решения _______________ 179
7.4. Метод вычеркивания __________________________________ 185
7.5. Открытая модель транспортной задачи __________________ 186
7.6. Транспортная задача с ограничениями __________________
7.7. Транспортная задача по критерию времени ______________
Задачи и упражнения ______________________________ 206
191
198
8. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ _____ 210
8.1. Метод отсечения (метод Гомори) ___________________ 210
Задачи и упражнения _______________________________ 215
Расчетное задание по теме
«Линейное программирование» _______________________ 216
9.МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ _______________________________ 233
9.1.Основные определения. Платежная матрица. Нижняя и
верхняя цена игры _______________________________________ 233
9.2. Смешанные стратегии ________________________________
9.3. Решение матричных игр методом линейного программирования
________________________________________________ 241
Задачи и упражнения ______________________________ 246
Список литературы ______________________________________ 248
Ответы ________________________________________________ 250
Оглавление ____________________________________________
271
238
268
Стр.271