К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ
Учебник
5-е издание, стереотипное
Под общей редакцией доктора экономических наук,
профессора К.В. Балдина
Рекомендовано Редакционно-издательским Советом
Российской академии образования к использованию
в качестве учебника
Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2021
Стр.1
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.17я73
Б20
Г л а в н ы й р е д а к т о р д-р псих. н., проф., акад. РАО Д.И. Фельдштейн
З а м. г л а в н о г о р е д а к т о р а д-р псих. н., проф., акад. РАО С.К. Бондырева
Ч л е н ы р е д а к ц и о н н о й к о л л е г и и:
д-р псих. н., проф., акад. РАО Ш.А. Амонашвили; д-р пед. н., член-корр. РАО
В.А. Болотов; д-р псих. н., проф., акад. РАО А.А. Деркач; д-р псих. н., проф.,
акад. РАО А.И. Донцов; д-р псих. н., проф., акад. РАО И.В. Дубровина;
д-р псих. н., проф. В.П. Зинченко; д-р филол. н., проф., акад. РАО
В.Г. Костомаров; д-р пед. н., проф., акад. РАО Н.Н. Малофеев;
д-р физ.-мат. н., проф., акад. РАО В.Л. Матросов; д-р пед. н., проф.,
акад. РАО Н.Д. Никандров; д-р псих. н., проф., акад. РАО В.В. Рубцов;
д-р пед. н., проф., акад. РАО М.В. Рыжаков; д-р ист. н., проф. Э.В. Сайко
Б20
Балдин К.В.
Основы теории вероятностей и математической статистики
[Электронный ресурс] : учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков,
А.В. Рукосуев. – 5-е изд., стер. — М. :
ФЛИНТА, 2021. — 489 с.
ISBN 978-5-9765-2069-1
Учебник написан на базе лекционных курсов, прочитанных авторами
в ряде вузов столицы. Рассмотрены все аспекты дисциплины «Основы
теории вероятностей и математической статистики» Федерального
государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования и учебных программ по направлениям бакалавриата
«Менеджмент» и «Экономика». Учебник содержит два раздела «Основы
теории вероятностей» и «Основы математической статистики». Включены
вопросы для самоконтроля, примеры использования классических методов
и заданий для самостоятельной работы обучаемых.
Для студентов, аспирантов и молодых преподавателей, а также для
научных сотрудников, предпринимателей и менеджеров.
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.17я73
ISBN 978-5-9765-2069-1
© Балдин К.В., Башлыков В.Н.,
Рукосуев А.В., 2016
© Издательство «ФЛИНТА», 2016
Стр.2
Оглавление
Введение ...................................................................................................8
Раздел I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ...............................15
Глава 1. Случайные события ..................................................................16
1.1. Предмет теории вероятностей ....................................................16
1.2. Основные понятия и определения .............................................21
1.3. Частота и вероятность. Способы нахождения
вероятностей случайных событий ...............................................27
1.3.1. Аксиоматическое построение теории вероятностей ........29
1.3.2. Классический способ определения вероятности ..............30
1.4. Понятие условной вероятности. Стохастическая
зависимость случайных событий ................................................32
1.5. Правила действий с вероятностями ...........................................33
1.6. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли ...........39
1.7. Формула полной вероятности .....................................................42
1.8. Формула Байеса ..........................................................................44
Вопросы для самопроверки .....................................................................47
Задачи для самостоятельного решения .......................................................47
Глава 2. Случайные величины ...............................................................53
2.1. Случайные величины и их классификация ................................53
2.2. Закон распределения случайной величины
и формы его представления ........................................................54
2.2.1. Понятие распределения случайной величины ..................54
2.2.2. Функция вероятности ........................................................56
2.2.3. Функция распределения ....................................................57
2.2.4. Плотность распределения ..................................................63
2.3. Числовые характеристики скалярных случайных величин .......66
2.3.1. Характеристики положения ...............................................66
2.3.2. Характеристики рассеивания ............................................71
2.3.3. Моменты случайной величины .........................................75
2.4. Основные теоретические распределения
скалярных случайных величин ...................................................78
2.5. Распределение случайного вектора ............................................91
2.6. Частные и условные распределения компонент
случайного вектора ......................................................................97
3
Стр.3
2.6.1. Частные распределения .....................................................97
2.6.2. Условные распределения. Стохастическая
зависимость случайных величин ..................................... 101
2.7. Числовые характеристики векторных случайных величин ..... 106
2.8. Нормальное распределение двумерного случайного вектора ... 111
Вопросы для самопроверки .................................................................... 115
Задачи для самостоятельного решения .....................................................116
Глава 3. Функции случайных аргументов ............................................122
3.1. Общая характеристика задач исследования функций
случайных аргументов ...............................................................122
3.2. Теоремы о числовых характеристиках случайных величин .....123
3.3. Определение числовых характеристик функций
случайных аргументов ...............................................................129
3.4. Распределение однозначного преобразования
случайных величин ....................................................................138
3.5. Распределение неоднозначного преобразования
случайных величин ....................................................................143
3.6. Распределение функции двух случайных величин ..................145
3.7. Композиция распределений .....................................................147
3.7.1. Композиция нормального и равномерного
распределений ..................................................................147
3.7.2. Композиция нормальных распределений .......................150
Вопросы для самопроверки ....................................................................152
Задачи для самостоятельного решения .....................................................153
Глава 4. Случайные процессы ..............................................................157
4.1. Понятие случайного процесса. Классификация
случайных процессов .................................................................157
4.2. Вероятностные характеристики случайных функций .............162
4.3. Основные типы случайных процессов .....................................172
4.4. Основное уравнение Маркова для марковских
случайных процессов .................................................................177
4.5. Дискретный марковский случайный процесс
с дискретным временем .............................................................180
4.6. Потоки событий ........................................................................187
4.7. Дискретный марковский случайный процесс
с непрерывным временем ........................................................... 191
4.8. Процесс гибели и размножения ...............................................200
4.9. Системы массового обслуживания ...........................................202
4
Стр.4
4.9.1. Система массового обслуживания с отказами ................204
4.9.2. Система массового обслуживания с ожиданием ..............212
Вопросы для самопроверки ....................................................................218
Задачи для самостоятельного решения ................................................220
Раздел II. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ..........223
Глава 5. Статистические методы оценивания характеристик
продукции ........................................................................................224
5.1. Общая характеристика статистических методов
оценивания характеристик продукции .....................................224
5.2. Общая схема эксперимента ......................................................227
5.3. Сущность выборочного метода .................................................229
5.4. Понятие о законе больших чисел и центральной
предельной теореме ...................................................................235
Вопросы для самопроверки ....................................................................242
Задачи для самостоятельного решения .....................................................243
Глава 6. Методы статистической обработки результатов
испытаний ........................................................................................245
6.1. Постановка задачи оценивания вероятностных
характеристик случайных величин ...........................................245
6.2. Основные требования к оценкам .............................................246
6.3. Оценивание законов распределения случайных величин .......250
6.4. Точечное оценивание числовых характеристик
случайных переменных .............................................................257
6.4.1. Оценивание вероятности наступления
случайного события .........................................................257
6.4.2. Оценивание математического ожидания
случайной величины ........................................................259
6.4.3. Оценивание дисперсии и стандартного
отклонения случайной величины ...................................263
6.4.4. Определение числовых характеристик случайных
величин при большом объеме измерений ......................265
6.5. Интервальное оценивание числовых характеристик
случайных переменных .............................................................265
6.5.1. Понятие доверительной вероятности
и доверительного интервала ............................................265
5
Стр.5
6.5.2. Оценивание вероятности наступления
случайного события .........................................................270
6.5.3. Оценивание математического ожидания ........................274
6.5.4. Оценивание стандартного отклонения ...........................280
Вопросы для самопроверки ....................................................................285
Задачи для самостоятельного решения .....................................................286
Глава 7. Статистическая проверка гипотез ..........................................290
7.1. Сущность проверки статистических гипотез ...........................290
7.2. Методы проверки гипотез о законах распределения ...............298
7.2.1. Постановка задачи ...........................................................298
7.2.2. Проверка гипотез о законе распределения .....................301
7.3. Методы проверки гипотез о параметрах законов
распределения ............................................................................310
7.3.1. Проверка гипотез о равенстве математических
ожиданий ..........................................................................310
7.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий .......................316
7.4. Проверка гипотез методом последовательного анализа ..........322
7.4.1. Сущность метода последовательного анализа ................322
7.4.2. Проверка гипотезы о вероятности наступления
случайного события .........................................................325
7.4.3. Проверка гипотезы о математическом ожидании ..........327
Вопросы для самопроверки ....................................................................329
Задачи для самостоятельного решения .....................................................330
Глава 8. Методы статистического анализа результатов испытаний .....334
8.1. Общая характеристика методов статистического
анализа результатов испытаний ................................................334
8.2. Основы дисперсионного анализа .............................................336
8.2.1. Сущность дисперсионного анализа .................................336
8.2.2. Однофакторный дисперсионный анализ ........................338
8.2.3. Проверка существенности влияния фактора
в однофакторном дисперсионном анализе .....................343
8.2.4. Выявление уровня фактора, влияющего
на результаты испытаний ................................................347
8.2.5. Примеры однофакторного дисперсионного анализа .....350
8.2.6. Особенности проведения двухфакторного
дисперсионного анализа .................................................354
Вопросы для самопроверки ....................................................................359
Задачи для самостоятельного решения ................................................360
6
Стр.6
Глава 9. Основы регрессионного анализа ............................................362
9.1. Сущность регрессионного анализа ...........................................362
9.2. Задача регрессионного анализа ................................................365
9.3. Метод наименьших квадратов ..................................................367
9.4. Предпосылки регрессионного анализа ....................................375
9.5. Статистический анализ уравнения регрессии ..........................377
9.6. Спецификация регрессионной модели ....................................405
9.7. Регрессионные модели с гетероскедастичными остатками ......409
9.8. Метод взвешенных наименьших квадратов (МВНК) ..............419
9.9. Нелинейные регрессионные модели и их линеаризация ........423
9.10. Оценки коэффициентов нелинейных регрессионных
моделей ....................................................................................432
9.10.1. Оценки коэффициентов параболы второго порядка ....432
9.10.2. Определение коэффициентов функций,
отличных от полинома ................................................433
Вопросы для самопроверки ....................................................................435
Задачи для самостоятельного решения .....................................................436
Глава 10. Основы корреляционного анализа ......................................439
10.1. Сущность корреляционного анализа ......................................439
10.2. Классификация методов корреляционного анализа .............441
10.3. Однофакторный корреляционный анализ .............................441
10.4. Анализ тесноты связи ..............................................................446
10.5. Многофакторный корреляционный анализ ...........................448
10.6. Автокорреляция .......................................................................454
Вопросы для самопроверки ....................................................................457
Задачи для самостоятельного решения ................................................457
Литература ............................................................................................460
Приложение .........................................................................................462
Стр.7