Проинтегрированные полугруппы (110,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОИНТЕГРИРОВАННЫЕ ПОЛУГРУППЫ Учебное пособие для вузов Составители: В.В. Васильев, Л.В. Хливненко Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2009

Стр.1

Введение Предлагаемое пособие основано на курсе, который в течение нескольких лет читался авторами на математическом факультете Воронежского государственного университета. Хотя идейно (по мнению авторов) проинтегрированные полугруппы присутствуют еще в классической книге [Кре], но, видимо, следует считать, что оформление этого раздела математики в самостоятельное направление началось именно с работы [Are], после которой в течение последних двадцати лет это направление находится в состоянии постоянного развития. Структура представленного курса соответствует авторскому видению вопроса, подробно разработанному в книге [Вас] для обычных 0C -полугрупп, которая, по замыслу авторов, является базовой для изучения настоящего курса. Этим обусловлено большое количество ссылок на [Вас]. Материал пособия сгруппирован в главы, состоящие из пунктов. Определения выделяются более крупным шрифтом. Формулировки утверждений набраны жирным шрифтом, замечания и комментарии – курсивом. Начало и конец логически связного текста (чаще всего – доказательства) выделены знаками ♣ и ♠. При проведении цепочек преобразований нередко вставляются комментарии, поясняющие выпротивное) и полняемые действия. В тексте используются символы (получили противоречие). (предположим В цепочках преобразований иногда по ходу добавлены курсивом пояснения и комментарии. Стиль изложения, возможно, местами излишне подробен и содержит избыточную нумерацию, что оправдано для учебного пособия. Авторы хотели бы выразить благодарность профессорам Tanaka, Sen Yen-Shao, Xiao, Zheng, любезно предоставившим свои работы для ознакомления и изучения, а также другим коллегам, чьи внимание и заинтересованность способствовали появлению этого пособия. 1. Проинтегрированные полугруппы (ПП). Алгебраический подход (АП) 1.1. Как мы видели ранее, теория полугрупп тесно связана с теорией абстрактных дифференциальных уравнений. В частности, как хорошо известно (см., напр., главы 3–4 книги [Вас]), 0C -полугруппы есть разрешающие семейства задач Коши (1.1.1), равномерно корректных на D A (). развивающаяся два последние десятилетия, соответствует классу задач Коши, разрешимых на DAn Теория проинтегрированных полугрупп с целым показателем, бурно () с натуральным n ≥ 1. 3

Стр.3

1.3. Пример 1. [Мел114] Простейшим примером проинтегрированной полугруппы S( )t может служить n -кратный интеграл от обычной C0 -полугруппы: St x ds ds U s xds U t x − t s1 12 sn 1 () :==... 00 0 ∫∫ ∫ ( ) nn : () −n ( ) , (1.3.1) где U t() есть C0 -полугруппа, а x – произвольный элемент E . ♣ Первые два свойства (1.2(i)–(1.2(ii)) проинтегрированной полугруппы групповое тождество UU x U x по () ( ) =12 1 ( 1 2 0 0 ветствующая k -ПП, то, обозначив St x S xd t 0 чаем, что S t Ss x = dd ts 1 0 ∫∫ 1 kk xd 0 ()! () ~() 2 k −1 12 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ = dd ts 0 ∫∫ 1 −−1kk xd 0 1 ∫∫ ) ~() 1 2 ()! () ~() ( 12− + k − −+ −Sxd 2 1 ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 1 0 0 22 S = ( 1)! 1 k s d 0 − ∫∫∫ − st k ( 2 − ) 1 d 2 ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ 6 0 S ~( 1 + )xd 1 ⎠ ⎞ 1 12 ∫∫ ) ~() −1 + +− − + − 0 (делаем в первом интеграле замену () ( ) = Sxd = +1 ( 12 ) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎟ − ⎟ = (в первом интеграле меняем порядок интегрирования, во втором интегрируем по 1 2 −1 S ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = Если теперь тождество (1.2.1) справедливо для n k= , и ~()S ⋅ – соот() := ~()∫ =+ − 0 1 () (S x = 11 () ) Sxd S xd s − 0 , аналогично полу∫dS s x () ∫∫ () t ( 12 + ts 2 ) t 1 2 от 0 до s : St S s x d d U x ts () ( )=+) =∫∫ 0 ∫∫ t . очевидны. Проверим третье. Докажем свойство 1.2(iii) по индукции. Пусть n = 1. Возьмем произвольный элемент x E∈ , и проинтегрируем полу+ 1 от 0 до t и по 1+s dd U x() = (1.3.2) 1 22 ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξξ ξξ ξξ ξ ξξ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ τ ξξ τ τ τ ξα α α ξ ξ ξ α ξ ξ α α α ξ ξ ξ α ξ ξξ ξ ξξ ξ ξξ ζζ ξ τ ξ τ τ τ τ τ

Стр.6

(в первом интеграле переходим от S ~ −+ − 0 k dt S 2 ∫∫ 0 2 11∫∫! () ~() k ! ()~()xd + k s 2 s 0 2 k dS xd = 2 2 − 0 к S и интегрируем по 2 , во втором и третьем интегралах меняем порядок интегрирования) s = ()1 0 −+ − ) d k Sxd t 22 ! 0 ~() ( − ()+ +− − + − ()!1 0 k d (t s+ − 1 ! ∫ t s t + ) S( ) − ∫d s − ) S( ) + 0 k ( k k ts S d k 1 ! () ( ∫ +− ставление в виде S t x() := Замечание 1. n -ПП, заданная равенством (1.3.1), допускает предs −1 t 0 t ∫ 0 частям, получим, что S t x() := (s t ds2... − ∫ s t ds1 0 s1 1 − ∫ 0 ) 0 t =− 0 ts ds s ∫∫ = () ... ∫ 3 11 ds U s )xds 00 11 sn− ( nn (продолжаем интегрирование по частям) 7 ( 1 − ) ds ds U s xds n s1 1 ∫ 0 t t 2... ∫ 0 ( ) n n = − n ( 1)! ( 1 t ∫ t s U s1 xds1 . 0 − 1) n−1 ( ) (1.3.1) ♣ Действительно, если S( )t определено как в (1.3.1), то, интегрируя по ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ s1 sn−1 ∫ ds U sn xdsn 0 2... ∫ 0 ( ) ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ s1 ′ = ) ts + + k ts S xd k 1 ! () ( ∫ +− ) k Sxd 1 ∫ (интегрируем по частям) = s k dt s S) () (s S) () s 1 ! ⎛ ⎝ t ( +− − d 0 s ) − k ~() (t t (s ( kk k ) ++ + 11 1 k S xd t s+ − + − ) = (s 1 s !∫ ()( ) k s ) 0 (уничтожаем подчеркнутые противоположные слагаемые) = . ♠ k ts + ∫∫ ∫∫ 11 s ss s k k ds S t + ! () ( ! 0 s ∫ −+ − S( k ) ) − k Sxd 22= ~() ( − ) d k (во втором и третьем интегралах вычисляем внутренние интегралы) = ⎜∫∫ ⎟ − k ⎞ ⎠ = τ τ τ ξξ τ τ τ ξξ αα ττ ττ α ξ τ ξ αα τ τ ττ τ τ α α ατ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ττ ξ ξ α ξ τ τ τ τ τ τξ ξ

Стр.7

= − n ( 1)! ( 1 t ∫ t s U s1 xds1 . ♠ 0 − 1) n−1 ( ) (1.3.3) пространстве E . Однако любая n -ПП имеет вид (1.3.1) в специальным образом подобранном банаховом пространстве. Поэтому пример 1 можно считать в определенном смысле универсальным. Лиувилля Следствие. Если U t() есть C0 -полугруппа, то интеграл Римана – t St=−t s U s xds U t x Г(1) 0 (): 1 + ∫( проинтегрировать тождество Г( ) (1 2 − ) ( )( по z от 0 до t и по ( ) S t S s x Г 00 2 (во внутреннем интеграле делаем замену переменной z+ = ∫∫ + − ) U xd = z Г ( ) (t z dz z s ( 1 2 0 − ) емся (1.3.4)) t = Г ( ) ( 1 0 ( + ) (представляем внутренний интеграл как разность ⎜∫∫ ⎟ (...) и пользу00 ⎛ − ⎝ ( ) + ∫ t z S z s xdz Г 00 − ) (в первом интеграле делаем замену переменной z + =s чаем через Ω2 ) 8 − ∫∫ + − ) U xd = , а второй обозна1 2 ( ) (t z dz z s ( − ) ( ) tz ⎞ ⎠ zs z ts ( ) = ∫∫ + )xd = = − z ) 1 ( ) (t z dz s − ) U z ( − ) ( ) ( ) ♣ Поскольку (1) !+= , утверждение легко получается, если t z U z s − ) U x Г( ) (1 Отметим, что при целых Гnn ( ) = 2 t z) (s − ) U z + ) x (1.3.5) − ( от 0 до s , и повторить преобразования (1.3.3). Действительно, проделывая это интегрирование, получим, что ts =: () при () − > − 1 есть (1.3.4) -ПП. формула (1.3.4) совпадает с (1.3.1). Замечание 2. Как мы увидим позже, не любая n -ПП, представима в виде (1.3.1) как интеграл от сильно непрерывной полугруппы, определенной в α αα α α ξ α α ξ α ξ α α α α α α α α τ α α α α α ξ α ξ ξ α ξ τ τ τ τ α α γ τ τ α ξ ξ α

Стр.8