ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Учебное пособие для вузов
Составители:
В.З. Мешков,
А.Т. Астахов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
Стр.1
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
В ИЗОТРОПНОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде (из
Rn ) описывается следующим общим уравнением диффузии:
ρ∂u
∂t = div (κgradu)−qu+F(x, t).
(1)
ρ(x) > 0, κ(x) κ0 > 0, q(x) 0, κ(x) ∈ C1(Ω), q(x) ∈ C(Ω),
F(x, t) ∈ C(QT ) .
Рассмотрим твердое тело в R3 , температура которого в точке (x,y,z)
в момент времени t определяется функцией u(x, y, z, t) . Если различные
части тела находятся при различной температуре, то в теле будет происходить
движение тепла от более нагретых частей к менее нагретым.
Возьмем какую-нибудь поверхность S внутри тела и на ней малый элемент
∆S . В теории теплопроводности экспериментально установлено,
что количество тепла ∆Q, проходящего через элемент ∆S за время
∆t , пропорционально ∆t ·∆S и нормальной производной ∂u
∂
∆Q = −κ ·
∂u
∂
n ·∆S ·∆t = −κ ·∆S ·∆t · gradn u,
где κ > 0 — коэффициент внутренней теплопроводности, а
n , т. е.
(2)
n — нормаль
к элементу поверхности ∆S в направлении движения тепла. Будем
считать, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т. е. что
коэффициент внутренней теплопроводности κ зависит только от точки
(x, y, z) тела и не зависит от направления нормали поверхности S в этой
точке.
Обозначим через q тепловой поток, т. е. количество тепла, проходящего
через единицу площади поверхности за единицу времени. Тогда
(2) можно записать в виде
q = −κ∂u
∂
n.
(3)
Для вывода уравнения распространения тепла выделим внутри тела произвольный
объем V , ограниченный гладкой замкнутой поверхностью S ,
и рассмотрим изменение количества тепла в этом объеме за промежуток
времени (t1, t2) . Нетрудно видеть, что через поверхность S за промежуток
времени (t1, t2) , согласно формуле (2), входит количество тепла,
3
Стр.3
Отметим, что при такой форме уравнений не учитывается тепловой
обмен между поверхностью пластинки или стержня с окружающим
пространством.
Мы будем записывать уравнения диффузии единой формулой:
∂u
∂t = a2∆u+f.
Уравнение (7) называется уравнением теплопроводности.
Постановка основных задач
Будем рассматривать следующее уравнение:
ut = a2uxx +f(x, t), 0 < x < , 0 < t T.
Если нам известна температура в стержне в начальный момент времени,
то мы получаем начальное условие:
u(x, 0) = ϕ(x), 0 x ,
а если всегда знаем ход температуры на краях, то некоторые из краевых
условий:
при x = 0, 0 t T
(1) u(0, t) = µ1(t)−первое краевое условие,
(2) ux(0, t) = ν1(t)−второе краевое условие,
(3) ux(0, t) = λ1 (u(0, t)−Θ1(t))−третье краевое условие (λ1 > 0);
при x = , 0 t T
(4) u(, t) = µ2(t)−первое краевое условие,
(5) ux(, t) = ν2(t)−второе краевое условие,
(6) ux(, t) =−λ2 (u(0, t)−Θ2(t))−третье краевое условие (λ2 > 0).
Выбирая несколько из этих условий, можно получить различные
типы задач.
Первая краевая задача.
u(0, t) = µ1(t),
u(, t) = µ2(t),
u(x, 0) = ϕ(x),
ut = a2uxx +f(x, t), 0 < x < , 0 < t T;
0 t T;
0 t T;
0 x .
6
(7)
Стр.6
Вторая краевая задача.
ux(0, t) = ν1(t),
ux(, t) = ν2(t),
u(x, 0) = ϕ(x),
Задача на полупрямой.
u(0, t) = µ(t),
u(x, 0) = ϕ(x),
Задача Коши.
ut = a2uxx +f(x, t), x > 0, 0 < t T;
0 t T;
x 0.
u(x, 0) = ϕ(x),
ut = a2uxx +f(x, t), −∞ < x < +∞, 0 < t T;
−∞ < x+∞.
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Пусть Ω – ограниченная область в пространстве Rn . Пусть T >0
фиксированное число. Обозначим через QT цилиндр вида
QT = {(x, t) : x ∈ Ω ⊂ Rn, 0 < t T}.
При n=2 – цилиндр с основанием в области Ω, его высота равна T .
T
t
T
d
d
d
d
d
d
d
d
ut = a2uxx +f(x, t), 0 < x < , 0 < t T;
0 t T;
0 t T;
0 x .
0
x1
Puc. 1
7
QT
d
E
d
d
d
d
d
d
d
Ω
x2
Стр.7
Обозначим Γ=∂Ω – границу области Ω. S={(x, t) : x ∈ Γ, t ∈ [0,T]} –
боковая поверхность цилиндра. Для множества точек (x, 0) , где x ∈ Ω
оставим то же обозначение.
Теорема (принцип максимума для уравнения теплопроводности).
Всякое решение уравнения теплопроводности ut = ∆u, непрерывное
в QT ∪ Ω ∪ S , принимает наибольшее и наименьшее значение
на Ω ∪ S , т. е. max
QT
Доказательство. Теорема о минимуме сводится к теореме о максиu(x,
t) = max
Ω∪S
муме переменой знака у u(x, t) , поэтому ограничимся доказательством
только теоремы о максимуме. Предположим, что теорема о максимуме
неверна, т. е. найдется в QT точка (x0, t0) , в которой
u(x0, t0) >M = max
Ω∪S
υ(x, t) = u(x, t)+ ε
2
υ(x0, t0) = u(x0, t0)+ ε
2
= ε+υ(x, t)−
ε
2
u(x, t).
Обозначим ε = u(x0, t0)−M > 0, рассмотрим функцию
T −t
T .
Имеем υ(x, t) u(x, t)+ ε
2 ∀(x, t) ∈ QT . Тогда
T −t0
T u(x0, t0) = ε+M ε+u(x, t) =
T −t
T ε+υ(x, t)−
ε
2 = ε
2 +υ(x, t), ∀(x, t) ∈ Ω ∪ S.
Отсюда следует, что υ(x, t) принимает свое максимальное значение
в какой-то внутренней точке цилиндра. Обозначим эту точку через
(x1, t1) ∈ QT . (Точка (x1, t1) может совпадать с (x0, t0) .) Тогда по теореме
из математического анализа в этой точке должно быть
∂υ
∂xκ
= 0, ∆υ 0, ∂υ
∂t 0
т. е. может быть граничный экстремум). Поэтому в точке (x1, t1) имеем
∂υ
(если t1 < T , то ∂υ
∂t = 0 в точке (x1, t1) , если же t1 = T , то ∂υ
∂t −∆υ 0. С другой стороны,
∂υ
∂t −∆υ = ∂u
∂t −∆u− 2T = −2T < 0.
ε
Получили противоречие, теорема доказана.
8
ε
∂t 0,
u(x, t) .
Стр.8