С позиций линейной алгебры проанализированы основные положения теории физической размерности. <...> Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 010801.65 Радиофизика и электроника, 210302.65 Радиотехника, направлениям 010700.62 Физика, 210400.62 Телекоммуникации, 210100.62 Электроника и наноэлектроника (дисциплины «Аналитическая геометрия и алгеба», «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», блок ЕН), очной формы обучения. <...> СЛАУ (1.4) – пример системы с бесконечным количеством решений. <...> Разобранные примеры показывают, что при решении СЛАУ могут реализоваться следующие три ситуации: либо существует один набор неизвестных 1 x , 2 x ,… n x , 2 x , образующий единственное решение, либо СЛАУ не имеет решения, либо существует бесконечное множество наборов 1 x ,… n x , разрешающих СЛАУ. <...> СЛАУ называется системой ступенчатого вида, Если с увеличением номера уравнения увеличивается количество нулевых первых последовательных коэффициентов при неизвестных. <...> Каждое уравнение в СЛАУ ступенчатого вида образует свою «ступеньку». <...> Если при записи СЛАУ коэффициенты при одноименных неизвестных располагать друг под другом, то в СЛАУ ступенчатого вида длина нижнего уравнения, отсчитанная от первого ненулевого коэффициента, должна быть меньше длины верхнего уравнения. <...> Если в системе есть противоречивое уравнение вида 0 b , где b – ненулевое число, то СЛАУ следует считать несовместной. <...> Проверяя первый пункт алгоритма, убеждаемся, что противоречивых уравнений в системе нет. <...> Решение СЛАУ единственно тогда и только тогда, когда все неизвестные в системе являются базовыми. <...> Любая последовательность эквивалентных преобразований СЛАУ тоже будет эквивалентным преобразованием, поэтому важно определиться, какие эквивалентные преобразования принять за основные. <...> Основными эквивалентными преобразованиями СЛАУ называются: 7 1) умножение обеих частей какого-либо уравнения СЛАУ на ненулевое число; 2) прибавление к обеим частям одного <...>
Введение_в_линейную_алгебру_в_примерах_и_задачах_Учебное_пособие.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Д. Ф. Белоножко
Введение в линейную алгебру
в примерах и задачах
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальностям
Радиофизика и электроника, Радиотехника,
направлениям Физика, Телекоммуникации,
Электроника и наноэлектроника
Ярославль 2011
1
Стр.1
УДК 512
ББК В143я73
Б 43
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2010/2011 учебного года
Рецензенты:
В. А. Коромыслов, д-р физ.-мат. наук, проф. Ярославского филиала
МИИТ; кафедра высшей математики Ярославского государственного
технического университета
Белоножко, Д. Ф. Введение в линейную алгебру в приБ
43
мерах и задачах: учеб. пособие ; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова.
– Ярославль : ЯрГУ, 2011. –112 с.
ISBN 978-5-8397-0798-6
Представлены практические приемы решения и исследования
на совместность систем линейных алгебраических уравнений.
С позиций линейной алгебры проанализированы основные
положения теории физической размерности. Разобран
физический пример, раскрывающий взаимосвязь формальных
алгебраических понятий «собственные значения и собственные
векторы» с физическими терминами «собственные частоты
и собственные колебания».
Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям
010801.65 Радиофизика и электроника, 210302.65
Радиотехника, направлениям 010700.62 Физика, 210400.62
Телекоммуникации, 210100.62 Электроника и наноэлектроника
(дисциплины «Аналитическая геометрия и алгеба»,
«Аналитическая геометрия и линейная алгебра», блок ЕН),
очной формы обучения.
УДК 512
ББК В143я73
ISBN 978-5-8397-0798-6
© Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2011
2
Стр.2
Оглавление
Глава 1. Основные практические правила
и алгоритмы решения систем линейных алгебраических
уравнений ................................................................................. 3
1. Принцип решения систем линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) .............................................................................................. 3
2. Приемы преобразования матрицы СЛАУ и связанные с ними
алгоритмы решения ....................................................................... 12
3. Примеры решения СЛАУ и исследования на совместность ....... 32
Глава 2. Структура решения СЛАУ ................................................... 37
4. Фундаментальная система решений (ФСР)
однородной СЛАУ ......................................................................... 37
5. Теорема о строении решения неоднородной СЛАУ ................... 44
6. Приложение к теории размерностей физических величин ......... 48
Глава 3. Использование определителей для решения СЛАУ ........ 60
7. Формулы Крамера ........................................................................... 60
8. Физическое содержание задачи на собственные значения и
собственные векторы ..................................................................... 69
Дополнение. Теорема Кронекера – Капелли – критерий
совместности СЛАУ ............................................................. 77
Приложения ............................................................................................ 79
Приложение I. Комплексные числа и арифметические операции
над ними.......................................................................................... 79
Приложение II. Векторное пространство .......................................... 82
Приложение III. Линейная зависимость системы векторов, базис и
размерность векторного пространства ......................................... 85
Приложение IV. Определитель квадратной матрицы ...................... 91
Приложение V. Ранг матрицы и ее базисный минор ....................... 98
Контрольные вопросы по теме «Решение и исследование систем
линейных алгебраических уравнений» ............................... 105
Список литературы ............................................................................... 108
109
Стр.109